Distribusi Normal vs Student-t dalam Keuangan
Bandingkan distribusi normal dan Student-t berdasarkan peluruhan ekor, derajat kebebasan, skala dan varians, likelihood, dependensi multivariat, serta keterbatasannya sebagai model return keuangan
Jawaban langsung
Distribusi normal memiliki ekor yang meluruh secara eksponensial dan ditentukan oleh mean serta variansnya. Distribusi Student-t menambahkan derajat kebebasan ν dan memiliki ekor yang meluruh secara polinomial, sehingga memberikan probabilitas lebih besar pada observasi ekstrem. Distribusi ini dapat mencocokkan return keuangan dengan lebih baik, tetapi satu distribusi statis simetris tidak dapat menjelaskan setiap rezim, kemencengan, atau pengelompokan volatilitas
Kedua model adalah keluarga lokasi-skala yang simetris
Variabel normal dapat ditulis X=μ+σZ dengan Z normal standar dan σ sama dengan simpangan bakunya
Variabel Student-t lokasi-skala dapat ditulis X=μ+sT_ν, dengan s sebagai parameter skala dan ν mengendalikan ketebalan ekor
Keduanya simetris di sekitar μ, sehingga tidak menghasilkan kemencengan return kecuali model diperluas atau ditransformasi
Student-t muncul dari ketidakpastian varians
Statistik klasik T=Z/√(V/ν), dengan Z∼N(0,1) dan V∼χ²_ν independen, memiliki distribusi Student-t standar
Penyebut acak membuat nilai terstandar besar lebih mungkin daripada di bawah hukum normal dengan varians tetap
Ketika ν menuju tak hingga, ketidakpastian penyebut menghilang dan distribusi Student-t mendekati distribusi normal
Derajat kebebasan menentukan momen
Ekor Student-t meluruh seperti power-law yang dikendalikan oleh ν, sedangkan ekor normal meluruh secara eksponensial terhadap jarak kuadrat
Mean ada untuk ν>1, varians untuk ν>2, dan momen keempat untuk ν>4; ν yang lebih rendah menghilangkan momen populasi yang sesuai
Untuk ν>4, kurtosis berlebih adalah 6/(ν−4), yang memperjelas transisi menuju ekor normal
Skala tidak selalu sama dengan simpangan baku
Untuk distribusi t lokasi-skala dengan ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2), sehingga s lebih kecil daripada simpangan baku
Membandingkan σ normal dengan skala s t seolah-olah keduanya merupakan volatilitas dapat menciptakan perbandingan ekor atau likelihood yang keliru
Paket perangkat lunak menggunakan nama parameter yang berbeda dan kadang versi varians-satu yang terstandar, jadi catat konvensi densitas yang tepat
Likelihood menyeimbangkan pusat dan ekor
Maximum likelihood normal membuat residual kuadrat mendominasi dan dapat membiarkan beberapa observasi ekstrem memperbesar estimasi varians
Likelihood Student-t mengurangi bobot residual terstandar besar melalui ν, sehingga menghasilkan fit yang tampak robust tanpa menyatakan observasi itu mustahil
Estimasi ν di dekat batas momen dapat membuat varians, kurtosis, dan ukuran risiko tidak stabil meskipun optimizernya konvergen
Model multivariat mengubah ekstrem gabungan
Hukum normal multivariat menyiratkan copula Gaussian, yang memiliki dependensi ekor asimtotik nol di bawah korelasi sempurna
Hukum t multivariat berbagi skala acak dan menghasilkan dependensi ekor positif simetris untuk ν berhingga
Simetri itu tetap dapat keliru untuk ekuitas jika crash gabungan berbeda dari reli gabungan atau dependensi berubah antarrezim
Pemilihan model memerlukan pemeriksaan ekor di luar sampel
Bandingkan plot probabilitas dan kuantil, pelampauan ambang, likelihood prediktif, cakupan interval, serta backtest VaR atau ES
Lakukan fitting ulang pada jendela bergulir dan uji alternatif skewed-t, campuran, volatilitas stokastik, serta residual terfilter ketika struktur masih tersisa
Fit t yang lebih baik berarti aproksimasi lebih berguna untuk tugas yang dipilih, bukan berarti return secara harfiah mengikuti satu hukum t yang tidak berubah
Pertanyaan umum
Mengapa Student-t memiliki ekor lebih gemuk daripada normal?
Campuran skala acaknya menghasilkan peluruhan ekor polinomial, sedangkan probabilitas normal meluruh secara eksponensial terhadap jarak kuadrat
Apa arti derajat kebebasan?
Parameter ν mengendalikan ketebalan ekor dan keberadaan momen; nilai positif yang lebih kecil menghasilkan ekor lebih berat
Apakah skala Student-t sama dengan volatilitas?
Umumnya tidak. Untuk ν>2, simpangan bakunya adalah s√[ν/(ν−2)] berdasarkan konvensi lokasi-skala umum
Apakah Student-t selalu lebih baik untuk return keuangan?
Tidak. Student-t menangkap ekor berat yang simetris tetapi dapat melewatkan kemencengan, dinamika volatilitas, lompatan, dan dependensi yang bergantung pada rezim