Uji Rasio Varians: Jalan Acak, Horizon, dan Trading

Misalkan \(P_t\) adalah harga yang diamati dan \(x_t=\ln(P_t)\) adalah log harganya. Imbal hasil log satu periode ialah \(r_t=x_t-x_{t-1}\). Imbal hasil log \(q\) periode menjumlahkan \(q\) imbal hasil satu periode yang berurutan. Jika kenaikan tersebut tidak berkorelasi dan variansnya stabil, varians jumlahnya bertambah sebanding dengan \(q\).

Rasio varians populasi adalah:

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Di bawah kondisi penskalaan varians tersebut, \(\operatorname{VR}(q)=1\). Prosedur Lo–MacKinlay mengubah hubungan ini menjadi statistik sampel dan uji atas pembatasan jalan acak. Nilai satu adalah tolok ukur yang tersirat oleh kenaikan yang tidak berkorelasi, bukan klaim bahwa harga bergerak mulus atau dapat diprediksi. Penerapan awal mereka menolak spesifikasi jalan acak pada data historis saham AS, sambil secara eksplisit memperingatkan bahwa penolakan saja tidak membuktikan model harga yang kembali ke rata-rata.

Untuk imbal hasil satu periode yang stasioner dengan autokorelasi \(\rho_j\) pada lag \(j\), rasio populasi yang sama dapat ditulis:

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Setiap autokorelasi mendapat bobot yang menurun seiring panjang lag. Karena itu, rasio merangkum sekumpulan korelasi serial berbobot hingga horizon \(q-1\); rasio tidak sama dengan autokorelasi pada satu lag tertentu.

Untuk \(q=4\), misalkan proses imbal hasil hipotetis memiliki \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\), dan \(\rho_3=0\). Maka:

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

Nilai di atas satu mencerminkan ketergantungan berbobot positif pada horizon tersebut. Jika dua autokorelasi pertama masing-masing \(-0.10\) dan \(-0.04\), sedangkan yang ketiga tetap nol, rasionya menjadi \(0.83\). Ini adalah perhitungan populasi hipotetis. Estimasi sampel yang diamati dapat berbeda karena variasi sampling, volatilitas yang berubah, dan koreksi sampel-terbatas pada estimator.

Pola autokorelasi yang berbeda dapat menghasilkan rasio yang sama pada satu horizon. Kontribusi positif dan negatif dapat saling mengimbangi, sehingga rasio tepat satu tidak mengharuskan semua autokorelasi yang disertakan bernilai nol. Beberapa horizon yang ditentukan sebelumnya dapat mengungkap pola lain, tetapi pengujian hasilnya bersama-sama memerlukan inferensi gabungan.

Uji ini biasanya diterapkan pada log harga dengan interval setara atau selisih pertamanya. Jika pengamatan berupa harga penutupan harian, \(q=5\) berarti imbal hasil lima sesi, bukan satu minggu kalender dengan jumlah sesi perdagangan berbeda. Sesi yang hilang, jeda semalam, dan cap waktu tidak beraturan mengubah arti satu periode. Sebutkan kalender pasar dan apakah harga mencakup distribusi atau aksi korporasi lainnya.

Menggunakan imbal hasil sederhana alih-alih log adalah pilihan pemodelan, bukan sekadar mengganti label tanpa dampak pada semua horizon. Imbal hasil log menjumlah tepat sepanjang waktu; imbal hasil sederhana bertumbuh secara majemuk. Untuk pergerakan kecil, nilainya mungkin berdekatan, tetapi definisi yang dipilih harus sesuai pertanyaan dan konsisten dalam contoh, estimasi, dan backtest. Jangan terapkan rumus pada level harga seolah-olah itu seri imbal hasil.

Kebanyakan implementasi membentuk imbal hasil \(q\)-periode yang saling tumpang tindih agar setiap pengamatan yang tersedia berkontribusi pada estimasi. Ini menambah jumlah pengamatan agregat, tetapi jendela yang berdekatan berbagi banyak imbal hasil satu periode sehingga tidak independen. Galat baku uji memperhitungkan konstruksi ini di bawah asumsi yang dipertahankan; memperlakukan imbal hasil tumpang tindih sebagai independen akan mengecilkan ketidakpastian.

Misalkan varians imbal hasil satu sesi suatu aset hipotetis adalah \(0.0001\), setara dengan simpangan baku satu sesi 1%. Jika kenaikannya tidak berkorelasi, varians imbal hasil empat sesi adalah \(4\times0.0001=0.0004\), simpangan bakunya 2%, dan rasionya \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Sekarang misalkan estimasi varians empat sesi adalah \(0.000468\), sementara estimasi satu sesi tetap \(0.0001\). Rasio sampelnya \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Perhitungan itu menggambarkan perbandingan dispersi pada horizon terpilih. Artinya bukan imbal hasil harapan 17% lebih tinggi, peluang imbal hasil besok positif naik 17%, atau posisi empat sesi memberi imbal hasil harapan 17%.

Untuk membuat klaim inferensial, bandingkan rasio estimasi dengan distribusi uji dan taksiran ketidakpastiannya. Rasio dekat satu dapat terjadi walaupun aspek lain dari proses harga melanggar model jalan acak secara penuh. Sebaliknya, rasio sampel yang jauh dari satu mungkin tidak berbeda signifikan dari satu dalam sampel yang pendek atau bising. Laporkan estimasi, statistik uji, nilai-p, dan interpretasi ekonomi secara terpisah.

Statistik Lo–MacKinlay klasik yang homoskedastik menstandardisasi \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) dengan varians asimtotik yang diturunkan di bawah asumsi varians kenaikan konstan. Jika volatilitas kondisional imbal hasil berubah, galat baku tersebut dapat salah mengukur ukuran uji. Lo dan MacKinlay juga mengembangkan estimator varians yang konsisten terhadap heteroskedastisitas untuk statistik rasio varians.

Istilah konsisten terhadap heteroskedastisitas memiliki cakupan tertentu: inferensi disesuaikan agar dapat mengakomodasi pola perubahan varians imbal hasil yang lebih luas di bawah asumsi uji. Cara ini tidak memperbaiki seri harga yang salah, ketergantungan pada setiap horizon, patahan struktural, kuotasi kedaluwarsa, atau sampel yang terlalu pendek. Jika perangkat lunak memberi label seperti \(Z\) dan \(Z^*\), periksa dokumentasinya untuk mengetahui hipotesis nol dan rumus galat baku yang digunakan.

Studi sampel-terbatas tahun 1989 menemukan bahwa kinerja bergantung pada hipotesis nol dan alternatif yang dipertimbangkan, serta melaporkan reliabilitas yang lebih baik dalam simulasi yang dikaji di bawah hipotesis nol jalan acak heteroskedastik dibanding beberapa uji pesaing. Itu bukan jaminan universal untuk semua sampel atau implementasi. Pada sampel kecil, bootstrap atau prosedur sampel-terbatas lain mungkin berguna, tetapi desain resampling juga perlu mempertahankan ketergantungan dan ciri volatilitas yang relevan.

Uji untuk satu \(q\) menanyakan apakah pembatasan penskalaan varians berlaku pada satu horizon yang dipilih. Jika \(q\) dipilih setelah memeriksa banyak horizon, nilai-p yang dilaporkan tidak memperhitungkan pencarian itu. Mencoba \(q=2,4,8,16\) lalu hanya menonjolkan hasil paling signifikan meningkatkan peluang positif palsu.

Prosedur rasio varians gabungan menguji serangkaian horizon yang ditentukan sebelumnya secara bersama dan menyesuaikan keputusan terhadap perbandingan berganda. Chow dan Denning mengembangkan salah satu uji semacam itu karena memperlakukan banyak rasio individual sebagai keputusan terpisah tanpa penyesuaian dapat sangat meningkatkan tingkat kesalahan Tipe I keseluruhan. Hasil gabungan hanya menyangkut keluarga horizon yang diuji; hasil itu tidak menjelaskan lag, mekanisme, atau pelaku pasar yang menyebabkan penyimpangan.

Pilih horizon berdasarkan frekuensi sampling dan pertanyaan riset. Perbandingan satu hari, satu minggu, dan satu bulan dapat berguna, tetapi masing-masing memiliki himpunan informasi dan struktur imbal hasil tumpang tindih yang berbeda. Laporkan seluruh rangkaian yang diuji, bukan hanya horizon paling menguntungkan, dan bedakan pemindaian eksploratif dari uji konfirmatori.

Estimasi di atas satu konsisten dengan ketergantungan serial berbobot positif pada lag terpilih; estimasi di bawah satu konsisten dengan ketergantungan berbobot negatif. Tak satu pun tanda itu secara unik menunjukkan momentum, mean reversion, penyesuaian harga tertunda, efek persediaan, bid–ask bounce, perdagangan tidak serempak, atau proses volatilitas.

Khususnya, \(\operatorname{VR}(q)<1\) tidak membuktikan level harga stasioner. Suatu seri dapat memiliki rasio di bawah satu pada horizon tertentu tetapi tetap mengandung tren stokastik. Sebaliknya, menolak pembatasan jalan acak tidak dengan sendirinya membuktikan alternatif stasioner yang kembali ke rata-rata; Lo dan MacKinlay secara eksplisit menemukan bahwa penolakan pada data saham yang mereka teliti tidak mendukung kesimpulan tersebut.

Inferensi juga bergantung pada apakah objek yang diuji adalah imbal hasil, log harga, imbal hasil berlebih, atau seri hasil transformasi lain. Hasil untuk imbal hasil penutupan harian tidak otomatis berlaku untuk kuotasi intrahari atau semesta aset lain. Nyatakan objek dan interpretasinya secara terbatas.

Bid–ask bounce dapat menciptakan ketergantungan negatif horizon pendek pada imbal hasil harga transaksi meskipun proses nilai ekonomi yang lebih lambat tidak berbalik arah. Sekuritas tidak likuid dapat memperbarui harga secara tidak serempak, dan harga penutupan di berbagai bursa dapat menangkap jendela informasi yang berbeda. Ciri ini dapat paling kuat memengaruhi horizon terpendek. Periksa kualitas kuotasi, aktivitas perdagangan, keselarasan cap waktu, dan sensitivitas terhadap interval sampling yang lebih lambat sebelum menyebut pola tersebut anomali pasar.

Volatility clustering memengaruhi galat baku sekalipun tanda atau level imbal hasil tidak memiliki pola arah yang stabil. Perubahan struktural pada rata-rata, volatilitas, jam perdagangan, atau komposisi pasar dapat membuat satu rasio seluruh sampel mencampur rezim berbeda. Periksa kestabilan subperiode tanpa hanya memilih jendela yang mendukung interpretasi pilihan.

Pencarian lintas aset, frekuensi, horizon, filter, serta titik awal dan akhir sampel menimbulkan masalah lain: pemilihan berdasarkan noise. Rasio varians yang tampak tidak biasa secara statistik setelah pencarian luas bukan lagi uji hipotesis yang tidak tersentuh. Tentukan horizon utama sebelumnya atau gunakan uji gabungan maupun resampling yang sesuai, lalu validasi pola yang ditemukan pada data kronologis berikutnya.

Uji rasio varians merangkum variasi imbal hasil pada berbagai horizon. Uji ini tidak menentukan arah, masuk, keluar, stop, ukuran posisi, lama kepemilikan, atau apakah sinyal tersedia sebelum eksekusi. Pola ketergantungan yang stabil sekalipun mungkin terlalu kecil untuk menutup biaya, spread, dampak pasar, pendanaan, biaya pinjam, dan turnover.

Untuk studi trading, tentukan sinyal dan waktu keputusan sebelum melihat imbal hasil masa depan. Estimasi parameter pada jendela pembentukan, bekukan, lalu evaluasi pada pengamatan berikutnya. Jika hasil ditemukan setelah mencoba banyak sekuritas atau horizon, sisihkan periode uji yang benar-benar belum tersentuh atau gunakan metode yang memperhitungkan pencarian tersebut. Bandingkan hasil setelah biaya dengan tolok ukur dan masukkan eksekusi realistis, bukan hanya ramalan imbal hasil teoretis.

Gunakan rasio varians sebagai satu alat diagnostik bersama grafik, pemeriksaan autokorelasi, uji akar unit, dan analisis kestabilan. Penyimpangan penskalaan varians dapat memotivasi model yang lebih spesifik, tetapi model itu memerlukan asumsi dan bukti luar sampelnya sendiri. Uji ini adalah ringkasan ringkas suatu pembatasan momen, bukan bukti adanya keunggulan.

Sebutkan definisi harga, transformasi imbal hasil, frekuensi pengamatan, tanggal sampel, jumlah pengamatan yang dapat digunakan, dan apakah imbal hasil saling tumpang tindih. Laporkan setiap horizon \(q\) yang diuji, rasio varians sampel, versi galat baku, statistik uji, nilai-p, tingkat signifikansi, dan setiap penyesuaian gabungan untuk banyak horizon.

Jelaskan cara menangani pengamatan yang hilang, aksi korporasi, penutupan pasar, dan cap waktu. Catat apakah inferensi robust terhadap volatilitas, bootstrap, subperiode, atau interval sampling alternatif mengubah hasil. Untuk aplikasi trading, pisahkan sampel statistik dari periode evaluasi serta ungkap biaya, waktu eksekusi, aturan seleksi, dan semua aset maupun horizon yang dicoba.

Lo dan MacKinlay memperkenalkan uji spesifikasi rasio varians dan mengkaji ukuran serta dayanya dalam sampel terbatas. Chow dan Denning menjelaskan mengapa pengujian banyak rasio varians memerlukan pengendalian ukuran secara gabungan90051-6). Untuk konsep terkait, lihat panduan stasioneritas dan akar unit, kointegrasi Engle–Granger, dan uji peringkat kointegrasi Johansen.