Uji Kointegrasi Johansen: Peringkat, Trace, dan Nilai Eigen Maksimum

Misalkan \(y_t\) memuat \(k\) variabel, masing-masing diperlakukan sebagai \(I(1)\) dalam kerangka pembentukan data yang dinyatakan. Peringkat kointegrasi \(r\) adalah jumlah kombinasi linear independen dari level variabel yang bersifat stasioner. Jika \(r=0\), model tidak menemukan kombinasi semacam itu dalam spesifikasi tersebut. Jika \(0<r<k\), terdapat \(r\) hubungan jangka panjang independen dan, dalam kondisi sistem \(I(1)\) yang lazim, tersisa \(k-r\) tren stokastik bersama. Peringkat satu berarti satu hubungan di seluruh sistem; ini belum tentu berarti satu pasangan aset yang jelas.

Ini adalah pertanyaan tentang sistem. Prosedur Engle–Granger dua langkah mengestimasi satu persamaan jangka panjang yang dinormalisasi, lalu menguji residu hasil estimasinya. Metode likelihood Johansen justru mengestimasi dan menguji dimensi ruang kointegrasi di dalam vector autoregression, sehingga dapat merepresentasikan lebih dari satu hubungan independen. Kedua metode menjawab pertanyaan yang berkaitan tetapi berbeda, dan hasilnya dapat berbeda pada sampel terbatas atau ketika pilihan lag dan komponen deterministik berbeda.

VAR dalam level dapat ditulis ulang sebagai bentuk sederhana vector error-correction, dengan komponen deterministik dihilangkan di sini:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Di sini \(p\) adalah orde lag VAR dalam level. Kolom \(\beta\) menggambarkan kombinasi jangka panjang, sedangkan \(\alpha\) memuat loading penyesuaian yang menghubungkan ketidakseimbangan sebelumnya dengan perubahan saat ini. Jika peringkat \(\Pi\) adalah \(r\), matriks itu dapat difaktorkan menjadi matriks \(\alpha\) dan \(\beta\) berukuran \(k\times r\). Peringkat, bukan jumlah variabel saja, menentukan banyaknya suku koreksi kesalahan dalam sistem.

Jika semua \(k\) deret benar-benar \(I(1)\), kasus kointegrasi yang lazim memiliki \(r<k\). Hasil peringkat penuh mengarah pada level yang stasioner di sekitar komponen deterministik yang diizinkan spesifikasi model, sehingga asumsi awal tentang orde integrasi perlu ditinjau kembali. Peringkat nol tidak membuktikan bahwa variabel tidak memiliki hubungan apa pun; artinya, model terpilih tidak menemukan kombinasi level stasioner pada peringkat yang diuji.

Urutkan nilai eigen estimasi sebagai \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Nilai-nilai ini berasal dari masalah peringkat tereduksi dalam prosedur likelihood. Nilai tersebut bukan persentase biasa dari varians yang dijelaskan. Pada peringkat kandidat \(r\), statistik trace adalah

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

dan menguji \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) terhadap \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Statistik ini mengakumulasikan bukti dari nilai-nilai eigen yang tersisa. Statistik nilai eigen maksimum adalah

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

dan menguji peringkat \(r\) terhadap peringkat berikutnya, \(r+1\). Jadi, uji trace menanyakan apakah jumlah total hubungan lebih dari \(r\), sedangkan uji nilai eigen maksimum menanyakan apakah data mendukung penambahan hubungan berikutnya. Di bawah hipotesis nol peringkat, kedua statistik tidak mengikuti distribusi acuan chi-kuadrat biasa.

Bayangkan sistem tiga variabel dengan 200 observasi yang dapat digunakan serta nilai eigen estimasi berurutan \(0.16\), \(0.05\), dan \(0.01\). Angka-angka ini dibuat untuk pembelajaran, bukan estimasi pasar. Pada \(r=0\), statistik trace menjumlahkan ketiga suku dan bernilai sekitar \(47.14\), sementara statistik nilai eigen maksimum hanya menggunakan suku pertama dan bernilai sekitar \(34.87\). Pada \(r=1\), nilainya masing-masing sekitar \(12.27\) dan \(10.26\); pada \(r=2\), keduanya menggunakan nilai eigen terakhir dan sama-sama sekitar \(2.01\).

Perhitungan menghasilkan statistik uji, bukan keputusan peringkat. Untuk mengambil keputusan, bandingkan setiap statistik dengan nilai kritis atau p-value yang sesuai persis dengan kasus deterministik dan urutan pengujian. Misalnya, label tabel perangkat lunak “tolak pada \(r=0\)” merupakan bukti terhadap peringkat nol hanya di bawah asumsi tabel itu dan tingkat signifikansi yang dipilih; label tersebut bukan probabilitas langsung bahwa spread aset tertentu stasioner. P-value di atas ambang berarti gagal menolak hipotesis nol pada peringkat itu, bukan membuktikan bahwa hipotesis nol benar.

Pilih orde VAR yang dapat dipertanggungjawabkan sebelum menafsirkan peringkat. VAR dalam level berorde \(p\) setara dengan \(p-1\) lagged difference dalam VECM. Lag terlalu sedikit dapat menyisakan korelasi serial dalam residu; lag terlalu banyak menghabiskan derajat kebebasan dan dapat membuat inferensi sampel terbatas tidak stabil. Kriteria informasi dapat membantu menyusun kandidat orde, tetapi diagnostik residu, ukuran sampel, dan waktu terjadinya peristiwa ekonomi juga penting. Laporkan cara memilih orde dan periksa alternatif yang wajar.

Tentukan letak konstanta dan tren: di luar hubungan kointegrasi, dibatasi di dalam hubungan, atau ditiadakan dari model yang dipertahankan. Pilihan ini menyiratkan perilaku jangka panjang dan distribusi uji peringkat yang berbeda. Pilih spesifikasi sesuai pertanyaan dan data, bukan dengan mencari p-value yang paling menguntungkan. Gunakan nilai kritis yang sesuai dengan kasus deterministik, jumlah variabel, dan implementasi yang tepat. Statistik peringkat Johansen memiliki distribusi nonstandar. MacKinnon, Haug, dan Michelis menghitung distribusi response-surface untuk uji rasio likelihood tipe Johansen dengan spesifikasi tertentu, termasuk perluasan yang mengizinkan variabel eksogen \(I(1)\). Nilai tersebut tidak dapat diterapkan begitu saja pada setiap pengaturan uji peringkat.

Penempatan komponen deterministik bukan sekadar opsi kosmetik pada perangkat lunak. Dalam parameterisasi umum, konstanta yang dibatasi di dalam hubungan kointegrasi memungkinkan kombinasi keseimbangan tersebut memiliki mean tak nol; konstanta tak dibatasi di luarnya dapat mengizinkan drift deterministik level yang berbeda. Pembatasan tren juga mengubah lintasan jangka panjang yang diasumsikan. Tabel yang hanya menyebut “konstanta disertakan” tidak lengkap jika tidak menjelaskan letaknya. Baca persamaan model dan laporkan setiap pembatasan.

Ruang kointegrasi adalah objek estimasi utama. Dalam model berperingkat satu, mengalikan vektor \(\beta\) dengan konstanta tak nol tidak mengubah kombinasi level mana yang stasioner, sehingga analis memilih normalisasi, misalnya menetapkan satu koefisien sama dengan satu. Untuk peringkat lebih tinggi, banyak basis dapat merentang ruang yang sama; vektor yang ditampilkan perangkat lunak tidak otomatis merupakan hubungan ekonomi yang unik. Interpretasi vektor tertentu memerlukan pembatasan atau teori tambahan, dan normalisasinya perlu dilaporkan.

Matriks penyesuaian \(\alpha\) menunjukkan variabel mana yang merespons ketidakseimbangan dalam sistem estimasi. Tandanya bergantung pada normalisasi yang dipilih, dan elemennya merupakan koefisien bersyarat dalam sistem, bukan efek kausal yang berdiri sendiri. Loading kecil atau nol dapat memotivasi hipotesis eksogenitas lemah, tetapi kesimpulan itu membutuhkan pembatasan formal yang sesuai dan model yang dipertahankan. Peringkat kointegrasi saja tidak menyatakan variabel mana yang “memimpin”, hubungan mana yang bermakna secara ekonomi, atau bagaimana guncangan memengaruhi harga mendatang.

Ketidakunikan merupakan sifat faktorisasi, bukan sekadar masalah tampilan. Untuk \(H\) nonsingular, \(\beta H\) dan \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) menghasilkan matriks jangka panjang \(\Pi\) yang sama. Karena itu, ruang estimasi dapat teridentifikasi meski himpunan vektor tertentu yang ditampilkan tidak unik. Memilih satu vektor sebagai spread yang dapat diperdagangkan memerlukan normalisasi eksplisit atau pembatasan ekonomi; satuan dan risikonya tetap perlu dianalisis tersendiri.

Peringkat biasanya dinilai dengan menguji nilai-nilai kandidat secara berurutan, mulai dari nol dan naik sampai hipotesis nol pertama yang tidak ditolak. Peringkat terpilih adalah pilihan model di bawah tingkat signifikansi dan spesifikasi yang digunakan. Jika hasil uji trace dan nilai eigen maksimum berbeda, laporkan keduanya dan periksa panjang lag, komponen deterministik, daya uji yang lemah, patahan struktural, serta sensitivitas sampel, alih-alih menyembunyikan perbedaan.

Nilai kritis rasio likelihood bersifat nonstandar dan bergantung pada spesifikasi sistem. Perilaku dekat akar unit, sampel pendek, pencilan, perubahan rezim, variabel \(I(2)\), atau regressor terintegrasi eksogen dapat membuat kerangka sederhana \(I(1)\) tidak sesuai. Tabel peringkat standar tidak otomatis mencakup kasus-kasus ini. Karya awal Johansen mengembangkan inferensi likelihood di bawah asumsi VAR Gaussian; perhitungan response-surface berikutnya menyediakan distribusi acuan untuk pengaturan uji tertentu, bukan untuk semua masalah data.

Sebagai contoh, jika uji trace menolak \(r=0\) dan \(r=1\), tetapi tidak menolak \(r=2\), urutan konvensional memilih peringkat dua di bawah spesifikasi dan tingkat signifikansi tersebut. Ini tidak berarti probabilitas bahwa peringkat dua benar sama dengan satu. Urutan uji nilai eigen maksimum membandingkan hipotesis peringkat yang berdekatan, jadi keputusannya juga perlu ditampilkan. Jangan gunakan nilai kritis satu uji untuk statistik uji lainnya.

Peringkat yang dipilih juga berlaku untuk periode sampel tersebut. Perubahan hubungan ekonomi, struktur pasar, atau definisi variabel dapat membuat estimasi pada bagian awal dan akhir sampel berbeda. Analisis sensitivitas dapat mengungkap ketidakstabilan itu, tetapi pencarian pada banyak titik akhir menimbulkan masalah pengujian berganda tambahan. Jelaskan jendela mana yang direncanakan dan perlakukan pemisahan yang tidak direncanakan sebagai bukti eksploratif.

Dalam studi trading, vektor \(\beta\) yang diestimasi mungkin menjadi salah satu kandidat definisi spread, tetapi peringkat tidak memberikan level masuk dan keluar, ukuran posisi, atau imbal hasil yang diharapkan. Jika ada beberapa vektor kointegrasi, pemilihan satu kombinasi dapat melibatkan normalisasi, pembatasan, dan seleksi data. Bobotnya dapat menyiratkan posisi short, leverage, atau likuiditas yang buruk meski hubungan statistik berhasil diestimasi.

Estimasi sistem hanya dengan informasi yang tersedia pada setiap tanggal keputusan, lalu uji seluruh proses seleksi dan estimasi ulang secara kronologis. Periksa apakah hubungan bertahan di luar sampel dan sertakan dividen, roll kontrak, konversi mata uang, biaya pendanaan, ketersediaan pinjaman, bid–ask spread, dampak pasar, dan waktu eksekusi jika relevan. Penolakan hipotesis peringkat adalah bukti tentang model tertentu, bukan klaim profitabilitas. Panduan uji Engle–Granger dan koreksi kesalahan membahas alternatif persamaan tunggal; kointegrasi versus korelasi dalam pairs trading menjelaskan bahwa korelasi bukan sifat yang sama.

Identifikasi \(k\) variabel, transformasi, frekuensi observasi, tanggal sampel, dan bukti orde integrasi. Laporkan orde lag VAR dalam level, penempatan komponen deterministik, ukuran sampel efektif, statistik trace dan nilai eigen maksimum, nilai kritis atau p-value yang sesuai, tingkat signifikansi, serta keputusan peringkat berurutan. Nyatakan apakah kedua uji sepakat, peringkat mana yang diteruskan, dan pemeriksaan sensitivitas apa yang mengubah hasil.

Saat menyajikan vektor, berikan normalisasi, pembatasan, dan loading penyesuaian terkait. Untuk aplikasi trading, ungkapkan informasi yang tersedia pada setiap penyeimbangan ulang, aturan pemilihan vektor, rancangan di luar sampel, biaya, dan penanganan kegagalan. Analisis vektor kointegrasi Johansen tahun 198890041-3) mengembangkan pendekatan likelihood untuk ruang dan peringkat kointegrasi. Pembahasan VAR Gaussian tahun 1991 mengulas inferensi peringkat dan hipotesis mengenai vektor. MacKinnon, Haug, dan Michelis menyediakan distribusi response-surface untuk uji rasio likelihood kointegrasi. Panduan terkait menjelaskan stasioneritas dan akar unit.