Pengembalian aritmatika vs. geometris: mengapa rata-rata 10% bukanlah pertumbuhan 10%.

Gunakan periode berturut-turut dengan durasi yang sama untuk investasi atau portofolio yang sama. Bekerja dalam satu mata uang, dengan nilai awal positif dan tidak ada arus kas eksternal. Nyatakan apakah pendapatan diinvestasikan kembali dan apakah pengembalian termasuk biaya.

Tulis setiap pengembalian periode dalam desimal r: 40% menjadi 0.40 dan kerugian 20% menjadi −0.20. Faktor pertumbuhannya adalah 1 + r, bukan r itu sendiri.

Rata-rata aritmatika = (r1 + r2 + ... + rn) n. Ini menggambarkan rata-rata pengembalian satu periode yang diamati. Ini tidak merekonstruksi saldo akhir dari akun yang terus diinvestasikan.

Untuk periode berturut-turut, kalikan faktor pertumbuhan: imbal hasil kumulatif = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1.

Pertahankan pengembalian harga dan pengembalian total konsisten sepanjang waktu. Beralih di antara keduanya di tengah rangkaian menghasilkan masalah yang berbeda dari memilih rata-rata.

Misalkan dua tahun penuh dan 10,000 unit mata uang yang tidak berubah. Pengembalian hipotetisnya adalah +40% di tahun pertama dan −20% di tahun kedua. Tidak ada biaya, distribusi, penyetoran, atau penarikan.

Menggabungkan rata-rata aritmatika akan menghasilkan 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Tambahan 900 itu tidak pernah muncul di akun ini; itu milik jalur kembali yang berbeda.

Contohnya adalah aritmatika asli, bukan backtest, hasil investasi langsung, atau perkiraan. Simbol mata uang tidak akan mengubah persentase.

• Mulai: 10,000.
• Setelah tahun pertama: 10,000 × 1.40 = 14,000.
• Setelah tahun kedua: 14,000 × 0.80 = 11,200.
• Rata-rata aritmatika: (40% − 20%) 2 = 10% per tahun.
• Pengembalian kumulatif: 11,200 10,000 − 1 = 12% selama dua tahun.

Pengembalian geometrik adalah tingkat konstan per periode g yang mereproduksi faktor pertumbuhan sebenarnya: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn).

Jadi g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Ambil akar ke-n hasil kali faktor pertumbuhan, bukan persentase pengembalian.

Untuk contoh dua tahun, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% per tahun. Menggunakan tarif yang tidak dibulatkan menghasilkan 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200.

Jika periodenya adalah tahun, keuntungan geometrik ini sama dengan tingkat pertumbuhan tahunan gabungan, atau CAGR. Tanpa aliran eksternal, CAGR = (nilai akhir ± nilai awal)^(1/t) − 1, dengan t adalah tahun yang telah berlalu.

Contoh terpisah tumbuh 10,000 hingga 15,000 selama lima tahun. Total keuntungannya adalah 50%, namun CAGR adalah (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, bukan 50% 5 = 10%.

[Penjelasan pengembalian tahunan FINRA](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) juga membedakan tahunanisasi gabungan dari membagi total keuntungan berdasarkan tahun.

Dua tahun +10% dan +10% memiliki rata-rata aritmatika yang sama dengan +40% dan −20%. Namun 10,000 bertambah menjadi 12,100 pada kasus pertama dan 11,200 pada kasus kedua.

Untuk faktor pertumbuhan positif, rata-rata geometriknya tidak lebih besar dari rata-rata aritmatika. Mereka sama ketika setiap pengembalian periodenya sama. Terapkan pernyataan itu pada pengamatan yang sama, bukan pada dana yang tidak berkaitan.

Kesenjangan tersebut bukanlah komisi tambahan yang harus dikurangi dari saldo. Nilai akhir gabungan sudah mencerminkan keuntungannya. Perbandingan tersebut juga tidak membuktikan bahwa investasi dengan volatilitas rendah pasti memiliki kinerja lebih baik daripada investasi lainnya.

[Diskusi CFA Institute tentang dua cara](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) menjelaskan mengapa penggabungan adalah sebuah produk dan bukan sebuah penjumlahan.

Menyusun ulang pasangan pengembalian tetap ini membuat produk tidak berubah ketika tidak ada arus kas. Itu masih dapat mengubah jalur dan penarikan yang diamati.

Rata-rata geometrik dari pengamatan bulanan adalah tarif bulanan. Jika dua belas bulan berturut-turut masing-masing menghasilkan tepat 1%, pertumbuhan tahunan adalah (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, bukan 12%.

Contoh tersebut menjelaskan keseluruhan dua belas bulan. Menghitung tahunan satu bulan 1% yang diamati akan menggambarkan pengulangan hipotetis, bukan realisasi kinerja atau prediksi dalam satu tahun.

Untuk interval pengamatan yang tidak sama, rata-rata geometrik per pengamatan tidak secara otomatis merupakan laju tahunan. Gunakan tahun berlalu yang sebenarnya untuk CAGR titik akhir yang valid, dan nyatakan konvensi penghitungan hari untuk sebagian tahun.

Angka tahunan memuluskan titik akhir. Namun tidak disebutkan bahwa akun tersebut memperoleh tingkat bunga tersebut setiap tahunnya atau menghindari kerugian interim yang besar.

Misalkan 100 diinvestasikan pada aset A dan 900 pada aset B selama periode yang sama. A mendapat untung 50%, sedangkan B rugi 10%. Nilai akhirnya adalah 150 dan 810, totalnya 960.

Pengembalian portofolio adalah (960 − 1,000) 1,000 = −4%. Demikian pula, bobot awal menghasilkan 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%.

Rata-rata tak tertimbang +50% dan −10% adalah +20%, yang mengabaikan alokasi. Mengalikan 1.50 dengan 0.90 juga salah di sini: kepemilikan tersebut hidup berdampingan dan bukannya mewakili dua periode modal yang sama.

Setoran dan penarikan eksternal menciptakan batasan lain. Saldo meningkat dari 10,000 menjadi 15,000 setelah deposit 5,000 belum tentu merupakan keuntungan investasi 50%.

[Metodologi arus kas GIPS](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) membedakan kinerja tertimbang waktu dari pengembalian yang mencerminkan waktu dan ukuran arus kas.

Persentase keuntungan pada premi opsi kecil tidak sama dengan persentase keuntungan pada keseluruhan akun. Ukuran perdagangan yang berbeda, posisi yang tumpang tindih, dan uang tunai yang menganggur mencegah penggandaan keuntungan tingkat perdagangan.

[Panduan leverage OKI](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) menjelaskan mengapa premi opsi dapat menunjukkan persentase keuntungan dan kerugian yang lebih besar.

Untuk kontrak berjangka, margin yang diposting adalah jaminan dan bukan harga pembelian eksposur. Mengubah penyebut tersebut tidak menghasilkan laba baru atas aset dasar.

[Penjelasan margin CME](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) mengidentifikasi apa yang diwakili oleh dana tersebut.

Gunakan penyebut pengembalian masa depan untuk perbandingan perdagangan, dan penilaian seluruh akun yang konsisten untuk penggabungan portofolio. Sertakan posisi terbuka dan hitung setiap biaya satu kali.

Mulailah dengan pertanyaan yang diajukan: pengamatan rata-rata, pertumbuhan satu investasi, atau laba atas portofolio kepemilikan simultan. Ini memerlukan perhitungan yang berbeda.

Rumus faktor positif mengasumsikan setiap pengembalian melebihi −100%. Pada kerugian total, tidak ada sisa modal untuk digabungkan. Ekuitas akun negatif memerlukan analisis arus kas dan liabilitas, bukan perbandingan CAGR normal. [!TRYMARK] Audit pengembalian rata-rata titik pemeriksaan Pada tinjauan kinerja berikutnya, targetkan nilai akhir yang dilaporkan. Bangun kembali dari pengembalian akun tertanggal, lalu periksa kembali hasilnya ketika biaya, asumsi investasi ulang, atau arus kas eksternal berubah [!WARNING] Rata-rata historis tidak menjanjikan pertumbuhan yang berulang Baik rata-rata aritmetika maupun geometrik tidak menentukan keuntungan tahun depan. Kebutuhan akan keuntungan yang lebih besar atau CAGR yang mulus tidak membenarkan leverage yang lebih besar. Contoh-contoh ini menjelaskan pengukuran, bukan rekomendasi investasi

• Catat tanggal, lama periode, mata uang, dan nilai awal dan akhir.
• Identifikasi pendapatan, investasi ulang, biaya, dan simpanan atau penarikan eksternal.
• Bangun kembali nilai akhir dari faktor pertumbuhan berturut-turut sebelum melakukan tahunan.
• Beri label rata-rata aritmatika, pengembalian kumulatif, pengembalian periode geometris, dan CAGR secara terpisah.