Lee–Mykland जंप टेस्ट: इंट्राडे मूल्य-जंप की पहचान

Realized variance पूरे session के intraday returns के वर्गों को जोड़ता है। कुछ jump और sampling assumptions के तहत bipower variation निरंतर घटक की variation का अनुमान लगा सकता है। दोनों माप पूरी अवधि का सार देते हैं, इसलिए अपने आप यह नहीं बताते कि असामान्य चाल कब हुई। Lee और Mykland की विधि एक-एक interval का return देखती है और उसकी तुलना ठीक पहले के returns से अनुमानित volatility से करती है।

यह फर्क event studies, volatility models और jump के समय का वर्णन करने में उपयोगी है। शांत बाजार में 1% return असाधारण हो सकता है, जबकि अस्थिर session में सामान्य। हाल की local volatility से standardize करने पर बदलता scale ध्यान में आता है। यह विधि intraday jump arrival पहचानने और उसका realized size अनुमानित करने के लिए बनाई गई थी; यह नहीं बताती कि चाल क्यों हुई या उस पर लाभकारी trade संभव था (Lee और Mykland, 2008)।

Null hypothesis किसी खास interval की price process के बारे में है: regularity conditions के तहत वहाँ jump नहीं हुआ और घटक continuous था। इसका अर्थ यह नहीं कि return शून्य है। Continuous price path भी बड़ा return दे सकता है, खासकर ऊँची volatility में; इसलिए केवल return-size cutoff पर्याप्त नहीं है।

नियमित grid पर \(t_i\) समय में दिखे price को \(P_i\) मानें। \(i\) interval का log return है

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

Price field और grid एकसमान होने चाहिए। Transaction price, quote midpoint या कोई और documented proxy इस्तेमाल किया जा सकता है, लेकिन proxy बदलने से return और jump label दोनों बदल सकते हैं। Session open और close, auction, trading halt तथा missing quote के लिए स्पष्ट नियम रखें। Previous close से next open के return को सामान्य intraday interval में चुपचाप न मिलाएँ।

Regular sampling इसलिए अहम है क्योंकि local scale और extreme-value threshold एक तय observation scheme के लिए निकाले गए हैं। समय अनियमित हो तो उचित synchronization या sampling rule चुनें और बताएँ कि उससे कौन-सी जानकारी छूटती है। Formula stale या crossed quotes, गलत timestamps या अलग-थलग recording errors ठीक नहीं करता। अलग venues या assets के prices को alignment जाँचे बिना synchronous भी न मानें।

यह observed returns का test है, latent prices का नहीं। मूल सिद्धांत high-frequency semimartingale models और ऐसी शर्तें इस्तेमाल करता है जो हर quote feed या digital-asset venue पर अपने आप लागू नहीं होतीं। Source, time zone, grid, session और filters दर्ज करें ताकि दूसरा analyst series दोबारा बना सके।

Candidate समय \(t_i\) पर \(r_i\) से पहले के returns से local variance अनुमानित की जाती है:

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{1}{K-2}\sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|,\qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

\(K\) rolling window की लंबाई तय करता है। Sum में पास-पास के absolute returns के products हैं और candidate return \(r_i\) शामिल नहीं होता। Bipower-variation का यह रूप पहले के किसी अकेले jump को बाद के interval की scale पर हावी होने से रोकने में मदद करता है। Realized-volatility literature बताता है कि high-frequency returns के sums और products quadratic variation की अलग विशेषताएँ अनुमानित कर सकते हैं (Barndorff-Nielsen और Shephard, 2002)।

यह local estimate है, पूरे session का volatility forecast नहीं। छोटा window जल्दी अनुकूल होता है, लेकिन अस्थिर हो सकता है; बड़ा window अधिक smooth होता है, पर volatility change के पीछे रह सकता है। मूल asymptotic तर्क में sampling interval घटने पर \(K\) बढ़ता है, फिर भी कुल horizon की तुलना में छोटा रहता है। व्यावहारिक finite sample में विकल्प दर्ज करें और sensitivity जाँचें; हर asset, grid और regime के लिए कोई सार्वभौमिक \(K\) नहीं है।

शून्य या लगभग शून्य estimate को संभालने का नियम भी चाहिए। बहुत छोटे scale से भाग देने पर छोटा price tick भी extreme statistic बन सकता है। ऐसे मानों को मनमाने floor से चुपचाप न बदलें; नियम बताएँ, मूल quotes देखें और दिखाएँ कि उचित विकल्पों से flagged intervals बदलते हैं या नहीं।

Local jump statistic है

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

इसका sign देखे गए return की दिशा रखता है और magnitude पिछले local scale के सापेक्ष चाल मापता है। Denominator में adjacent absolute-return products हैं, लेकिन bipower variation का सामान्य normalization constant नहीं है। Paper के no-jump asymptotics के तहत \(L_i\) लगभग \(Z_i/c\) है, जहाँ \(Z_i\) standard normal है और \(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\)। Threshold calibrate करते समय यह महत्वपूर्ण है: \(L_i\) को standard normal मानने पर reference distribution गलत होगा।

बड़ा \(|L_i|\) candidate interval बताता है, अपने आप निष्कर्ष नहीं। Test sampling scheme, window और जाँचे गए intervals की संख्या के संदर्भ में चाल को परखता है। Positive statistic ऊपर की ओर observed return और negative statistic नीचे की ओर return दर्शाता है। Sign से आर्थिक कारण पता नहीं चलता और न ही jump, continuous move तथा data error अलग किए जा सकते हैं।

चित्र में candidate return की तुलना पहले के intervals से अनुमानित local scale से की गई है। यह अवधारणात्मक है, price chart या पहचानी गई घटना नहीं।

<!-- learn:illustration --> <!-- बिना पाठ की अवधारणा: शांत क्रम के ऊपर एक तीखा return pulse, जिसके पीछे का window मुलायम local-volatility envelope बनाता है; कोई कीमत, समय, threshold या detected event नहीं। -->

\(n\) intervals scan करने पर pointwise threshold को \(n\) बार लगाने से केवल बार-बार जाँच के कारण false alarm हो सकता है। Lee–Mykland horizon में maximum absolute statistic को calibrate करता है। \(c=\sqrt{2/\pi}\) लेकर परिभाषित करें:

\[ C_n=\frac{\sqrt{2\log n}}{c}-\frac{\log(\pi)+\log(\log n)}{2c\sqrt{2\log n}},\qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

Paper की asymptotic no-jump conditions में,

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

का limiting distribution standard Gumbel है, जिसकी cumulative distribution function \(F(x)=\exp(-e^{-x})\) है। Session-level significance α के लिए critical value है

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

Interval तब flagged है जब \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\)। Maximum calibration बताए गए horizon में intervals की search को ध्यान में रखता है। कई assets, दिनों, sampling grids या model variants पर scan दोहराने से बनी अतिरिक्त comparisons अपने आप ठीक नहीं होतीं; उनके लिए अलग design और disclosure चाहिए।

मानें कि candidate interval से ठीक पहले के तीन returns \(-0.40\%\), \(+0.30\%\), \(-0.20\%\) हैं, और गणना छोटी रखने के लिए \(K=4\) चुनते हैं। तब

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2}=0.09\;(\%)^2,\qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

अगला return \(+1.20\%\) हो तो local statistic \(L_i=1.20/0.30=4\)। यानी यह observed return इस illustrative local scale का चार गुना है; इससे अभी rejection तय नहीं होता।

यदि illustrative session में \(n=78\) intervals हों, तो asymptotic formulas \(C_n\approx3.14\) और \(S_n\approx0.424\) देते हैं। 1% session-level significance पर \(\beta_\alpha\approx4.60\), इसलिए threshold लगभग \(3.14+0.424(4.60)=5.10\) है। Statistic 4 इससे नीचे है; इस स्तर पर interval flag नहीं होगा। मान काल्पनिक हैं और इतने sample में maximum approximation मोटा हो सकता है। छोटा \(K=4\) केवल arithmetic समझाने के लिए है, estimator की सलाह नहीं।

इसलिए “चार standard deviations” कहना Lee–Mykland निर्णय का पूरा वर्णन नहीं है। Reference scale, asymptotic normalization, window, intervals की संख्या और significance level, सभी cutoff को प्रभावित करते हैं। Jump count या event list के साथ इन्हें भी बताएँ।

बारीक grid सैद्धांतिक रूप से समय का resolution बढ़ाती है, लेकिन quote noise, price discreteness और timestamp mismatch भी अधिक दिखाती है। मोटी grid कुछ अल्पकालिक variation को smooth करती है, मगर jump को पास के continuous returns से मिला सकती है या एक interval में कई चालें छिपा सकती है। इसलिए चुनी हुई grid test की पहचान क्षमता और assumptions से मेल, दोनों बदलती है।

Window \(K\) उस grid से जुड़ा है। बहुत कम पिछले returns local bipower estimate को अस्थिर बनाते हैं; बहुत अधिक returns अलग volatility regimes मिला सकते हैं और “local” का अर्थ कमजोर कर सकते हैं। \(K\) observations और clock time दोनों में बताएँ, session boundary पर window reset होता है या नहीं समझाएँ, और उचित विकल्पों पर event list की sensitivity दिखाएँ। दूसरे market, session या frequency की window सीधे न अपनाएँ।

Standard Lee–Mykland setup market microstructure noise का सामान्य समाधान नहीं है। Pre-averaging तथा noise-aware अन्य तरीके return या volatility estimates बदलते हैं और उनके अनुरूप inference चाहिए; ये सीधे बदले जा सकने वाले filters नहीं हैं (Aït-Sahalia, Jacod और Li, 2012)। Pre-averaging guide और two-scale volatility guide noisy high-frequency prices के दो संबंधित उपाय बताते हैं।

Flagged return यह साक्ष्य है कि चुने गए threshold पर observation को continuous-path null से समझाना कठिन है। इससे यह पुष्टि नहीं होती कि चाल किसी scheduled announcement, exchange outage, liquidation cascade या अन्य कारण से हुई। Timestamp को सत्यापित event data से मिलाएँ, underlying trades और quotes देखें और जाँचें कि interval के बाद चाल बनी रही या नहीं। बाद की इन व्याख्याओं को statistical test से अलग रखें।

यह प्रक्रिया दिन के अंत में realized variance और bipower variation की तुलना से भी अलग है। Lee–Mykland local volatility के सापेक्ष intervals ढूँढ़ता है; daily variation gap अलग assumptions के तहत aggregate jump variation अनुमानित करता है। Bipower-variation guide और realized-volatility guide period-level measures समझाते हैं। Aït-Sahalia और Jacod का power-variation test discretely observed path में jumps परखने के लिए अलग construction इस्तेमाल करता है। Target और assumptions अलग हैं; Lee–Mykland सूची से सहमति या असहमति one-to-one validation नहीं है।

Strategy में jump label आगे के research का input है, buy या sell instruction नहीं। Backtest में signal उपलब्ध होने का समय, spread और slippage, latency, overlapping event windows और out-of-sample evaluation शामिल करें। ऐतिहासिक flagged return यह नहीं दिखाता कि अगली घटना की भविष्यवाणी या लाभकारी trading संभव है।