Realized Semivariance: ऊपर और नीचे की volatility को अलग-अलग मापना

एक तय interval में देखे गए intraday log returns को \(r_i\) मानें। Realized variance returns के वर्गों का योग है, \(RV=\sum_i r_i^2\)। वर्ग करने से gains और losses दोनों positive हो जाते हैं और बड़े moves को अधिक weight मिलता है। यह statistic interval में जमा variation मापता है; यह नहीं बताता कि variation ऊपर की चाल से आया या नीचे की।

Realized semivariance वर्ग करने से पहले return का sign बनाए रखता है। Positive component में zero से ऊपर के returns के वर्ग जुड़ते हैं, और negative component में zero से नीचे के returns के वर्ग। समान observations और convention पर दोनों का योग realized variance होता है। Zero return किसी हिस्से में योगदान नहीं देता। यह हिसाब की पहचान है, इस बात का प्रमाण नहीं कि दोनों अलग-अलग causal risk sources हैं।

जब research question directional variation से जुड़ा हो, तब यह split उपयोगी है—जैसे क्या पुराने negative-return variation में future volatility के बारे में पुराने positive-return variation से अलग जानकारी है। Barndorff-Nielsen, Kinnebrock और Shephard ने downside variation के high-frequency measure के रूप में realized semivariance प्रस्तुत किया। उनका working paper quadratic variation और negative jumps से इसका संबंध विकसित करता है।

Returns \(r_1,\ldots,r_n\) के लिए:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

जहाँ \(\mathbf{1}(\cdot)\) शर्त सही होने पर 1 और अन्यथा 0 है। तब

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

कुछ papers में labels या superscripts अलग होते हैं, इसलिए रिपोर्ट में बताएं कि कौन-सा term positive returns और कौन-सा negative returns दर्शाता है। ऊपर का formula zero के सापेक्ष uncentered returns इस्तेमाल करता है: इसमें sample mean, target return या risk-free rate घटाया नहीं जाता। किसी target या mean के आसपास निकाला गया sample semivariance अलग statistic है।

इकाइयाँ return की इकाई का वर्ग हैं। Basis points में returns हों तो दोनों components की इकाई \(\text{bp}^2\) है। Decimal log returns हों तो decimal-return squared। Percent returns से basis points में जाने पर squared measure का numerical value 10,000 गुना हो जाता है, इसलिए संख्या के साथ unit लिखें।

मान लें कि एक काल्पनिक session में basis points में छह returns हैं:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Positive returns का योगदान \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\) है। Negative returns का योगदान \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\) है। Zero return कुछ नहीं जोड़ता। इसलिए realized variance:

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

इस छोटे उदाहरण में negative-side share \(21/34\), लगभग 61.8%, और positive-side share लगभग 38.2% है। ये गढ़े हुए योग के हिस्से हैं, भविष्य के loss की probabilities या स्थिर long-run asymmetry के estimates नहीं। छह returns inference के लिए बहुत कम हैं। गणना केवल परिभाषाएँ जाँचती है।

Realized volatility guide बिना split किए squared returns के sum पर है। Bipower variation guide दुर्लभ jumps की संभावना में continuous variation estimate करने का अलग सवाल देखता है। Directional semivariance और jump-robust variation साथ में पढ़े जा सकते हैं, लेकिन एक दूसरे का विकल्प नहीं है।

यदि latent log-price continuous semimartingale का पालन करता है और उचित regularity conditions में sampling और सूक्ष्म होती जाती है, तो positive और negative return semivariance में से प्रत्येक continuous quadratic variation के आधे की ओर converge करता है। इस स्थिति में finite sample के दोनों totals अलग हो सकते हैं, भले underlying continuous variation में कोई स्थायी directional split न हो; sampling randomness भी मायने रखती है।

Jump आने पर उसका squared size उसके sign के अनुसार positive या negative component में जाता है। इससे वह जानकारी बचती है जिसे कुल realized variance छोड़ देता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं कि हर negative return jump है या हर positive return harmless है। बड़ा continuous move और jump, दोनों बड़ा squared return दे सकते हैं। Sign देखे गए increment को classify करता है, आर्थिक कारण नहीं बताता।

नीचे का conceptual figure positive और negative increments को दो visual groups में अलग दिखाता है। यह data chart या test result नहीं है और underlying process में स्थायी directional bias का दावा नहीं करता।

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Future volatility model में realized semivariances अलग predictors हो सकते हैं। Patton और Sheppard ने अपने S&P 500 और individual stocks के अध्ययन में पाया कि उनके samples और specifications में पुराने negative-return variation का future volatility से संबंध positive-return variation से अधिक मजबूत था। यह उनके design का empirical result है, हर market का universal law या नई strategy के अच्छे forecast की guarantee नहीं।

Forecasting claim के लिए target और horizon बताएं, उपयुक्त benchmark से तुलना करें और out of sample मूल्यांकन करें। एक दिन के \(RS^-\) और \(RS^+\) का अंतर descriptive है, predictive power का प्रमाण नहीं। Regression में volatility persistence, overlapping horizon, parameter uncertainty और data selection भी संभालना पड़ सकता है। Forecast error को निर्णय के अनुकूल loss function से जाँचें।

Multivariate extension में Bollerslev, Li, Patton और Quaedvlieg paired high-frequency returns के signs के अनुसार realized covariance को बाँटने वाला realized semicovariance विकसित करते हैं। उनका Econometrica paper बताता है कि same-sign और mixed-sign components अलग जानकारी दे सकते हैं। Univariate positive/negative split सरल है; इसे पूर्ण covariance या portfolio-risk decomposition नहीं कहना चाहिए।

“Downside semivariance” एक से अधिक परिभाषाओं के लिए इस्तेमाल होता है। यहाँ का realized measure zero से नीचे के high-frequency returns को square करता है। Target-based downside statistic चुने threshold—अक्सर target या minimum acceptable return—से नीचे के returns को square करता है। Sample calculation mean के आसपास केंद्रित भी हो सकता है। एक ही return series से ये definitions अलग प्रश्नों के उत्तर और अलग values दे सकती हैं।

दोनों realized semivariances में से कोई Value-at-Risk या Expected Shortfall नहीं है। VaR किसी तय loss distribution और horizon का quantile बताता है; Expected Shortfall तय convention के अनुसार quantile से आगे के losses को summarize करता है। Intraday negative returns के squares का sum इन अर्थों में से कोई नहीं रखता। यह drawdown का पूरा measure भी नहीं है, क्योंकि drawdown returns के क्रम और path पर निर्भर करता है।

यदि chart या model \(RS^-\) को “downside risk” कहता है तो वहीं उसकी परिभाषा दें। बताएं returns zero से मापे हैं या target से, sampling frequency क्या है, और मात्रा interval statistic, forecast input या portfolio measure है। GARCH volatility guide conditional variance dynamics समझाती है; realized semivariance directional high-frequency measure देता है जिसे input के रूप में देखा जा सकता है।

Sign split देखी गई return sequence पर निर्भर है। अधिक बार sampling करने से bid–ask bounce, price discreteness, stale quotes और timestamp effects आ सकते हैं। Price proxy या sampling grid बदलने पर छोटा दर्ज price move sign बदल सकता है। Microstructure noise squared magnitude और उस side, दोनों को बदल सकती है जहाँ return जोड़ा गया। चुनी हुई series के लिए \(RV=RS^++RS^-\) की पहचान सही रहती है, लेकिन इससे sampling design सही सिद्ध नहीं होता।

Robust comparison के लिए price field, sampling interval, session boundary, zero-return handling, outlier rules और assets के returns synchronous थे या नहीं—यह सब दर्ज करें। बचाव योग्य sampling choices के बीच sensitivity जाँचें। यदि jump identification या noise robustness मुख्य प्रश्न है तो उसी लक्ष्य के लिए बना estimator या test इस्तेमाल करें; sign split को correction न समझें। Two-scale realized volatility guide noise correction का एक विकल्प समझाती है।

Statistical inference के लिए sampling distribution या उचित resampling design भी चाहिए। Positive और negative components एक ही path से बनते हैं और dependent हो सकते हैं। Overlapping windows और dependence जोड़ते हैं। Confidence interval या forecast comparison में ये विशेषताएँ शामिल होनी चाहिए; दो point estimates की तुलना अपने-आप अलग predictive role का test नहीं है।

स्पष्ट रिपोर्ट में asset या portfolio return series, observation window, return definition, sampling grid और units दें। \(RS^+\) और \(RS^-\) के formulas लिखें, पुष्टि करें कि उनका जोड़ realized variance देता है, और बताएं zero तथा missing observations कैसे संभाले। Measure forecast model में हो तो horizon, benchmark, evaluation period और loss function भी दें।

Aggregation assumptions बताए बिना realized semivariance को annualized volatility में न बदलें। चुनी convention के तहत daily semivariance जोड़कर descriptive annual total बनाया जा सकता है, लेकिन उसका square root अपने-आप ज्ञात distribution वाला downside standard deviation नहीं होता। Annualization biased price input, sparse sampling या selection effects ठीक नहीं करती।

मुख्य उपयोग disciplined measurement है: realized variation की quadratic weighting रखते हुए हर observed return की दिशा बनाए रखना। नतीजा जाँचने योग्य pattern दिखा सकता है। अकेले इससे कारण नहीं मिलता, tail probability नहीं मापी जाती और ऐतिहासिक asymmetry trading signal नहीं बनती।