Lévy Processes और Jump Compensators: व्याख्या

Lévy process X के लिए disjoint intervals के increments independent होते हैं और X_{t+h}-X_t का law केवल h पर निर्भर करता है

Stochastic continuity probability में fixed discontinuities को रोकती है, जबकि càdlàg version left limits के साथ right-continuous paths देता है

इस model में time-homogeneous increment law होती है, जो analytically उपयोगी लेकिन empirically testable strong assumption है

Truncation convention triplet (b, σ², ν) देती है: drift, Brownian variance और Lévy jump measure

Measure ν size के अनुसार expected jump intensity दर्ज करती है और ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞ satisfy करनी चाहिए

Truncation function बदलने पर reported drift b बदल सकता है, लेकिन सभी triplet terms consistently transform हों तो law नहीं बदलता

Characteristic function का रूप E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)) है, जहाँ ψ triplet से निर्धारित होता है

Independent stationary increments समय के convolution को multiplication में बदलते हैं, जो characteristic exponent की linear scaling बनती है

यह structure Fourier option methods को support करती है, लेकिन numerical inversion में damping, grid और truncation controls फिर भी चाहिए

Decomposition X को drift, Brownian component, large jumps और compensated small jumps में लिखता है

किसी fixed threshold से ऊपर large jumps की arrival intensity finite होती है; infinitely many small jumps finite time में आ सकती हैं

Infinite activity और infinite variation अलग properties हैं, इसलिए एक को दूसरे से infer करने के बजाय ν के integrals देखें

N(dt,dx) को size x के jumps गिनने दें; Lévy process के लिए इसका compensator dtν(dx) है

Compensated measure Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) predictable jump arrivals घटाती है और suitable surprises को local martingale में integrate करती है

Raw jump sum और compensated integral के drifts अलग होते हैं, इसलिए finite variation adjust किए बिना इनके बीच बदलने से model बदल जाता है

Asset models अक्सर S_t = S_0e^{X_t} या stochastic exponential लेते हैं, लेकिन positivity अकेले discounted price को martingale नहीं बनाती

Chosen pricing measure में characteristic exponent को relevant exponential-moment और martingale condition satisfy करनी चाहिए

Jumps unspanned risk बनाते हैं, इसलिए equivalent martingale measures nonunique हो सकती हैं और pricing के लिए अतिरिक्त selection rule चाहिए

Lévy jumps pure diffusion से बेहतर skewness, heavy tails और short-maturity smiles fit कर सकती हैं

Stationary independent increments volatility clustering, leverage dynamics और time-varying jump intensity को exclude करते हैं, जब तक model extend न हो

Moment existence, small-jump truncation, martingale correction, calibration stability, tail extrapolation और out-of-sample hedging error जाँचें