Option Pricing में Martingales को समझें

एक process Mₜ और time t पर available information Fₜ लें। Martingale हर later time u के लिए, integrability conditions के साथ, E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ satisfy करती है

Conditioning essential है। Forecast में पहले से ज्ञात हर चीज इस्तेमाल होती है, केवल unconditional long-run average नहीं

Definition हमेशा probability measure और information filtration का नाम लेती है। कोई process एक measure के तहत martingale और दूसरे के तहत नहीं हो सकती है

Fair game का अर्थ यह नहीं कि next value current value के बराबर होगी। अर्थ यह है कि conditional changes का positive और negative हिस्सा expectation में balance होता है

Large jumps, wide distributions और path-dependent uncertainty martingale property के साथ compatible हैं, यदि required expectations मौजूद हों

Martingale का अर्थ independent increments भी नहीं है। जब तक conditional-mean restriction बनी रहे, dependence रह सकती है

Tradable asset में सामान्यतः carry, dividends या funding effects होते हैं, इसलिए pricing measure के तहत उसका undiscounted price martingale होना जरूरी नहीं

Total-return value को chosen numeraire, जैसे money-market account, से divide करें। Suitable no-arbitrage assumptions में discounted process martingale बनती है

Numeraire बदलने पर associated measure और वे relative prices बदलती हैं जो martingales होती हैं। Unit of account इस statement का हिस्सा है

Time T पर replicable payoff H के लिए today's discounted value pricing-measure conditional expectation of discounted payoff के बराबर होती है

यह historical frequencies के तहत averaging नहीं है। Measure ऐसी चुनी जाती है जो no arbitrage के साथ discounted tradable prices को consistent रखे

Formula dynamic replication argument को संक्षेप में रखती है। यह trading, model states, dividends या funding की assumptions हटाती नहीं

Up और down pricing weights इस तरह चुनें कि discounted underlying का expected next value उसके current discounted value के बराबर हो

Option के next-node values पर वही weights apply करके backward discount करें। Step दोहराने पर root price मिलती है

इसलिए tree की risk-neutral probability martingale weight है। यह claim नहीं कि actual stock का expected excess return zero है

Submartingale में conditional expected future value present से कम-से-कम इतनी बड़ी होती है; supermartingale में अधिक-से-अधिक इतनी

ये concepts constraints, consumption, American exercise और superhedging में दिखती हैं, जहां exact equality की जगह one-sided bound हो सकती है

Prefix अपने-आप tradable profit forecast नहीं करता। Measure, discounting, admissibility और integrability interpretation को control करते हैं

यह सोचना आसान है कि fair game रोकने का कोई भी rule expectation preserve करेगा। Optional stopping theorems को boundedness, integrability या related conditions चाहिए

Doubling strategies admissibility violate कर सकती हैं या unlimited capital मांग सकती हैं। वे martingale definition से practical arbitrage create नहीं करतीं

American-option stopping problems carefully defined exercise times और value processes इस्तेमाल करते हैं, यह unrestricted promise नहीं कि timing कभी matter नहीं करेगी

Observed prices में spreads, stale quotes, constraints और discrete trading शामिल होते हैं। Model martingale specified idealizations के भीतर statement है

Strict local martingales, bubbles, unbounded claims और measure-existence issues दिखाते हैं कि technical conditions हमेशा skip नहीं की जा सकतीं

Martingale formula apply करने से पहले process, measure, numeraire, filtration, payoff integrability और available trading strategies state करें