Numeraire और Change of Measure को समझें
समझें कि numeraire चुनने से probability measure कैसे बदलती है, कौन-सी relative prices martingales बनती हैं और forward measures pricing को क्यों सरल करती हैं
सीधा जवाब
Numeraire strictly positive tradable asset है जिसे value की unit की तरह इस्तेमाल किया जाता है। हर price को उस asset से divide करके उसकी associated measure पर जाने से eligible relative prices martingales बनती हैं और derivative payoff अक्सर सरल हो जाता है
Prices हमेशा किसी unit में express होती हैं
Dollar price में currency visible unit है, जबकि asset-pricing models dynamic numeraire के रूप में money-market account को अक्सर इस्तेमाल करते हैं
यदि Nₜ chosen numeraire है, तो asset X की relative price Xₜ/Nₜ है। यह X खरीदने के लिए required numeraire की amount है
Unit बदलने से value create नहीं होती। वही economic payoffs reorganize होते हैं और convenient conditional expectation बदलती है
Valid numeraire strictly positive रहना चाहिए
Relevant horizon पर numeraire tradable और strictly positive होना चाहिए ताकि division defined रहे और measure density valid रहे
जो asset zero तक पहुंच सकती है वह localization या narrower state space के बिना सामान्यतः global numeraire नहीं बन सकती
Numeraire की total-return value define करते समय funding, collateral, dividends और reinvestment को consistently शामिल करें
हर numeraire की associated measure होती है
Money-market numeraire B और risk-neutral measure Qᴮ से शुरू करें। दूसरा numeraire N, N/B पर आधारित density के माध्यम से new measure Qᴺ define करता है
Qᴺ के तहत हर admissible tradable price को N से divide करने पर martingale मिलती है। Qᴮ के तहत B से divided prices में यह property होती है
Raw asset price martingale है, ऐसा measure-free claim नहीं है। Numeraire और measure साथ travel करते हैं
Valuation identity original price preserve करती है
Time T पर payoff H को Nₜ times Qᴺ conditional expectation of H/N_T के रूप में value किया जा सकता है
Different numeraire इस्तेमाल करने पर payoff units और probability weights दोनों बदलती हैं, इसलिए assumptions consistent होने पर currency value वही रहती है
यह pricing transformation है, कोई forecast नहीं कि एक measure के event probabilities physically अधिक likely हैं
Zero-coupon bond forward measure बनाता है
T-maturity zero-coupon bond P(t,T) को numeraire चुनें। T-forward measure के तहत suitable T-delivery forward prices martingales बनती हैं
यह T पर paid payoff से stochastic discounting हटा सकता है और caps, swaptions, bond options तथा अन्य interest-rate claims को सरल बना सकता है
Maturity का payoff date से match होना चाहिए या cash flows को सावधानी से decompose करना चाहिए। एक forward measure सभी dates को एक साथ simplify नहीं करती
Smart choice algebra और simulation variance घटा सकती है
Payoff में positive factor जैसी numeraire चुनें। उससे divide करने पर product simpler indicator या exchange option में बदल सकता है
Monte Carlo में transformed payoff की variance कम हो सकती है या separate discount factor simulate करने की जरूरत हट सकती है, हालांकि improvement automatic नहीं है
Numerical convenience inconsistent model को repair नहीं कर सकती। Transformed measure को correct drift, covariance और density dynamics फिर भी चाहिए
Dividends और foreign currency economics स्पष्ट करते हैं
Equity के लिए tradable numeraire में reinvested dividends शामिल होने चाहिए, केवल quoted ex-dividend price नहीं
Foreign exchange में domestic और foreign money-market accounts naturally domestic तथा foreign risk-neutral measures बनाते हैं
Quanto और cross-currency claims exchange rates, assets, rates और chosen numeraire के बीच correlations से बने drift adjustments दिखाते हैं
Verification को वही currency value recover करनी चाहिए
एक benchmark को two numeraires के तहत price करें और units को वापस convert करने पर analytic या numerical error के भीतर agreement confirm करें
Density normalization, relative assets के martingale tests, payoff-date alignment, total-return conventions और simulated drift adjustments check करें
Result reproducible बनाने के लिए numeraire, associated measure, Radon–Nikodym derivative, settlement currency और सभी cash-flow dates document करें
आम सवाल
Finance में numeraire क्या है?
यह strictly positive tradable asset है जिसे अन्य asset prices और payoffs express करने की unit की तरह इस्तेमाल किया जाता है
Numeraire बदलने से probability measure क्यों बदलती है?
Weights इस तरह reweight की जाती हैं कि old numeraire के बजाय new numeraire से relative prices martingale property satisfy करें
Forward measure क्या है?
यह चुनी हुई maturity के zero-coupon bond numeraire से associated measure है, जिसके तहत suitable forward prices martingales बनती हैं
क्या numeraire choice option की value बदलती है?
जब model और conversion consistent हों, नहीं। यह वही value calculate करने के लिए इस्तेमाल representation बदलती है