Option Pricing में Girsanov Theorem को समझें

Physical measure P के तहत stock dS/S = μdt + σdWᴾ follow कर सकती है, जहां μ modeled expected return है

यह drift forecasting और portfolio choice के लिए relevant है, लेकिन complete diffusion model में no-arbitrage option value μ के arbitrary estimate पर निर्भर नहीं होनी चाहिए

Physical probabilities से pricing probabilities में जाना एक symbol को दूसरे से replace करने से अधिक है। Valid measure transformation चाहिए

Radon–Nikodym derivative बताती है कि new measure old measure के सापेक्ष events को कैसे weight करती है, हर time तक

Brownian models में यह density आम तौर पर process λ से बने stochastic exponential के रूप में लिखी जाती है

Density positive रहनी चाहिए और उसका expectation one होना चाहिए। अन्यथा proposed expression equivalent probability measure define न कर सके

Valid density के साथ Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt नए measure Q के तहत Brownian motion बनती है, एक common sign convention में

dWᴾ = dWᵠ − λdt substitute करने पर उस Brownian shock से exposed हर process का drift shift होता है

dW से multiply होने वाला volatility coefficient गायब नहीं होता। Equivalent diffusion-measure changes drift बदलती हैं, instantaneous covariance structure नहीं

Non-dividend stock के लिए λ इस तरह चुनें कि Q drift short rate r बन जाए। Dividend yield q होने पर ex-dividend drift सामान्यतः r − q होता है

तब discounted total-return asset Q-martingale बनती है और replicable payoff को discounted Q expectation से price किया जा सकता है

Result यह नहीं कहता कि stock real world में r कमाएगी। यह बताता है कि selected pricing measure के तहत उसका drift कैसा दिखता है

Simple constant-coefficient case में, stated sign convention और dividends के बिना, λ = (μ − r) / σ

Several risk sources में risk prices का vector volatility-loading matrix के माध्यम से drift shift करता है। Rank कम हो तो हर desired drift तक नहीं पहुंचा जा सकता

Incomplete markets में risk price के कुछ components traded assets से undetermined रह सकते हैं, जिससे एक से अधिक admissible martingale measures बनती हैं

Novikov, Kazamaki या related conditions stochastic exponential को केवल local martingale के बजाय true martingale सुनिश्चित करने के लिए commonly इस्तेमाल होती हैं

Equivalence zero-probability events को भी preserve करती है। Equivalent रहते हुए transformation genuinely impossible path को possible नहीं बना सकती

Explosive coefficients, strict local martingales, infinite horizons या weak regularity formula के casual application को invalid कर सकते हैं

Jump processes में measure change continuous drift के साथ jump intensity और jump-size distribution भी बदल सकती है

Calibrated pricing models risk-neutral parameters directly specify करते हैं, लेकिन उन्हें physical estimates से जोड़ने के लिए risk-premium model फिर भी चाहिए

Transformed dynamics interpret करने से पहले original measure, target measure, density, sign convention, numeraire, horizon और conditions state करें