वित्त में Quadratic Variation: व्याख्या
जानें कि सूक्ष्म scales पर squared path increments क्यों बने रहते हैं, Itô correction कैसे बनता है, और diffusion volatility realized variance से कैसे जुड़ती है
सीधा जवाब
Quadratic variation finer time partitions पर squared path increments की limit है। Continuous finite-variation paths के लिए यह शून्य होती है, standard Brownian motion के लिए elapsed time के बराबर होती है, और Itô calculus में correction पैदा करती है
Time refine करने से पहले increments का square करें
[0,t] की partition π के लिए Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² बनाएं और mesh को zero की ओर refine करें
जब ये sums relevant probabilistic sense में converge करें, तो उनकी limit quadratic variation [X]_t होती है
यह pathwise accumulation concept है, repeated outcomes में X_t की statistical variance जैसी चीज़ नहीं
Smooth और finite-variation paths गायब हो जाती हैं
Continuous path की finite total variation हो तो quadratic variation zero होती है, क्योंकि उसके छोटे squared increments absolute sum से भी तेज़ी से घटते हैं
इसीलिए ordinary differentiable price curves classical chain rules में second-order correction उत्पन्न नहीं करतीं
Quadratic variation उस roughness को अलग करती है जो first-order movements के individually tiny होने के बाद भी दिखाई देती रहती है
Brownian roughness हर scale पर बची रहती है
Standard Brownian motion की हर nontrivial interval पर total variation infinite होती है, लेकिन [W]_t = t satisfy करती है
Heuristic रूप से, लगभग 1/Δt increments होते हैं और हर एक का squared size करीब Δt होता है, इसलिए sum order one रहता है
यह limit statement है; pointwise algebraic claim नहीं कि dW/dt मौजूद है या हर squared increment dt के बराबर है
Covariation संयुक्त rough movement दर्ज करती है
Quadratic covariation [X,Y] fine partitions पर ΔX·ΔY के products का sum करती है
Polarization देती है [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), जो joint variation को individual quadratic variations से जोड़ती है
Correlated Brownian drivers के लिए covariation portfolio और multivariate Itô formulas में instantaneous dependence लाती है
Itô formula second-order term रखती है
यदि dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, तो continuous quadratic variation [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds है
Taylor expansion 1/2 f''(X_t)d[X]_t रखती है, क्योंकि squared stochastic increments जमा होते हैं और गायब नहीं होते
यह correction diffusion pricing equations को चलाती है और stochastic calculus को ordinary differential calculus से अलग करती है
Jumps अपने squared sizes जोड़ते हैं
Jumps वाली semimartingale के लिए quadratic variation में continuous martingale variation के साथ Σ_{s≤t}(ΔX_s)² भी शामिल है
इसलिए continuous volatility modest होने पर भी बड़ा jump किसी दिन की realized quadratic movement पर हावी हो सकता है
जब economic question अलग sources पर निर्भर हो, तो continuous variation, jumps और finite-variation drift को अलग-अलग करें
Realized variance estimator है, स्वयं limit नहीं
High-frequency realized variance observed intraday returns के squares जोड़कर latent quadratic variation का approximation करती है
बहुत sparse sampling movement miss करती है, जबकि बहुत fine sampling bid–ask bounce, price discreteness, asynchronous quotes और bad ticks को बढ़ाती है
Sampling grids की तुलना करें, jumps को स्पष्ट रूप से clean करें, trading hours align करें और estimate को volatility मानने से पहले return definition अलग करें
आम सवाल
सरल शब्दों में quadratic variation क्या है?
यह वह movement है जो increasingly fine time grid पर path के बहुत-से छोटे changes को square करके जोड़ने के बाद बचता है
Brownian motion की quadratic variation t क्यों होती है?
Δt लंबाई के increments का squared scale Δt होता है और करीब t/Δt ऐसे increments limit में t तक जमा होते हैं
क्या quadratic variation volatility के समान है?
नहीं। Diffusion में यह integrated variance है, जबकि volatility आम तौर पर इसकी instantaneous rate या normalized square root होती है
Jumps quadratic variation को कैसे प्रभावित करते हैं?
हर jump अपना squared size जोड़ता है, इसलिए quadratic variation में continuous martingale variation और discrete jump variation दोनों होते हैं