अंकगणित बनाम ज्यामितीय रिटर्न: 10% औसत 10% वृद्धि क्यों नहीं है

एक ही निवेश या पोर्टफोलियो के लिए लगातार, समान अवधि की अवधि का उपयोग करें। सकारात्मक आरंभिक मूल्य और बिना किसी बाहरी नकदी प्रवाह के, एक ही मुद्रा में काम करें। बताएं कि क्या आय का पुनर्निवेश किया गया है और क्या रिटर्न में लागत शामिल है।

प्रत्येक अवधि रिटर्न को दशमलव r के रूप में लिखें: 40% 0.40 हो जाता है और 20% हानि −0.20 हो जाती है। इसका विकास कारक 1 + r है, न कि r स्वयं।

अंकगणितीय औसत = (आर1 + आर2 + ... + आरएन) ÷ एन। यह औसत देखे गए एकल-अवधि के रिटर्न का वर्णन करता है। यह लगातार निवेश किए गए खाते के अंतिम शेष का पुनर्निर्माण नहीं करता है।

लगातार अवधियों के लिए, वृद्धि कारकों को गुणा करें: संचयी रिटर्न = (1 + आर1) × (1 + आर2) × ... × (1 + आरएन) - 1।

मूल्य वापसी और कुल वापसी को पूरे समय एक समान रखें। किसी शृंखला के बीच में उनके बीच स्विच करने से औसत चुनने की तुलना में एक अलग समस्या उत्पन्न होती है।

पूरे दो वर्ष और किसी भी अपरिवर्तित मुद्रा की 10,000 इकाइयों पर विचार करें। काल्पनिक रिटर्न पहले वर्ष में +40% और दूसरे वर्ष में -20% है। कोई शुल्क, वितरण, जमा या निकासी नहीं है।

अंकगणितीय औसत को संयोजित करने पर 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100 प्राप्त होगा। वह अतिरिक्त 900 इस खाते में कभी प्रकट नहीं हुआ; यह एक भिन्न वापसी पथ से संबंधित है।

उदाहरण मूल अंकगणित है, न कि बैकटेस्ट, लाइव निवेश परिणाम या पूर्वानुमान। मुद्रा प्रतीक प्रतिशत नहीं बदलेगा.

• प्रारंभ: 10,000.
• एक वर्ष के बाद: 10,000 × 1.40 = 14,000।
• दूसरे वर्ष के बाद: 14,000 × 0.80 = 11,200।
• अंकगणितीय औसत: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% प्रति वर्ष।
• संचयी रिटर्न: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% दो वर्षों में।

ज्यामितीय रिटर्न स्थिर प्रति-अवधि दर जी है जो वास्तविक विकास कारक को पुन: उत्पन्न करता है: (1 + जी) ^ एन = (1 + आर 1) × ... × (1 + आरएन)।

इस प्रकार g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) - 1. वृद्धि कारकों के उत्पाद का nवाँ मूल लें, न कि रिटर्न प्रतिशत का।

दो-वर्षीय उदाहरण के लिए, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% प्रति वर्ष। अघोषित दर का उपयोग करने पर 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200 प्राप्त होता है।

जब अवधि वर्ष होती है, तो यह ज्यामितीय रिटर्न चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर या सीएजीआर के बराबर होता है। बिना किसी बाहरी प्रवाह के, CAGR = (अंतिम मूल्य ÷ प्रारंभिक मूल्य)^(1/t) − 1, जहां t बीते हुए वर्ष हैं।

एक अलग उदाहरण पाँच वर्षों में 10,000 से 15,000 तक बढ़ जाता है। इसका कुल लाभ 50% है, लेकिन सीएजीआर (1.5)^(1/5) - 1 ≈ 8.45% है, न कि 50% ÷ 5 = 10%।

[FINRA का वार्षिक-रिटर्न स्पष्टीकरण](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) कुल लाभ को वर्षों से विभाजित करने से चक्रवृद्धि वार्षिकीकरण को भी अलग करता है।

+10% और +10% के दो वर्षों का अंकगणितीय औसत +40% और -20% के समान है। फिर भी पहले मामले में 10,000 बढ़कर 12,100 हो जाता है और दूसरे मामले में 11,200 हो जाता है।

सकारात्मक वृद्धि कारकों के लिए, ज्यामितीय माध्य अंकगणित माध्य से अधिक नहीं है। वे तब बराबर होते हैं जब प्रत्येक अवधि का रिटर्न समान होता है। उस कथन को उन्हीं टिप्पणियों पर लागू करें, असंबद्ध निधियों पर नहीं।

अंतर शेष राशि से घटाने के लिए कोई अतिरिक्त कमीशन नहीं है। मिश्रित अंतिम मूल्य पहले से ही रिटर्न को दर्शाता है। न ही तुलना यह साबित करती है कि किसी भी कम-अस्थिरता वाले निवेश को दूसरे से बेहतर प्रदर्शन करना चाहिए।

[सीएफए इंस्टीट्यूट की दो साधनों की चर्चा](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) बताता है कि कंपाउंडिंग एक योग के बजाय एक उत्पाद क्यों है।

नकदी प्रवाह न होने पर रिटर्न की इस निश्चित जोड़ी को पुन: व्यवस्थित करने से उत्पाद अपरिवर्तित रह जाता है। यह अभी भी पथ बदल सकता है और देखी गई कमियाँ।

मासिक अवलोकनों से एक ज्यामितीय औसत एक मासिक दर है। यदि लगातार बारह महीने प्रत्येक बिल्कुल 1% रिटर्न देता है, तो वार्षिक वृद्धि (1.01)^12 - 1 ≈ 12.68% है, 12% नहीं।

वह उदाहरण सभी बारह महीनों को निर्दिष्ट करता है। किसी एकल देखे गए 1% महीने का वार्षिकीकरण एक काल्पनिक पुनरावृत्ति का वर्णन करेगा, न कि एक वर्ष के वास्तविक प्रदर्शन या भविष्यवाणी का।

असमान अवलोकन अंतराल के लिए, प्रति अवलोकन एक ज्यामितीय माध्य स्वचालित रूप से वार्षिक दर नहीं है। वैध समापन बिंदु सीएजीआर के लिए वास्तविक बीते हुए वर्षों का उपयोग करें, और आंशिक वर्षों के लिए दिन-गणना परंपरा बताएं।

एक वार्षिक संख्या समापन बिंदुओं को सुचारू बनाती है। यह यह नहीं बताता कि खाते ने हर साल उस दर को अर्जित किया या बड़े अंतरिम नुकसान से बचा।

मान लीजिए कि इसी अवधि में परिसंपत्ति ए में 100 और परिसंपत्ति बी में 900 का निवेश किया जाता है। A को 50% का लाभ होता है, जबकि B को 10% की हानि होती है। उनके अंतिम मान 150 और 810 हैं, कुल मिलाकर 960।

पोर्टफोलियो रिटर्न (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4% है। समान रूप से, आरंभिक भार 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4% देते हैं।

+50% और -10% का भार रहित औसत +20% है, जो आवंटन को नजरअंदाज करता है। यहां 1.50 को 0.90 से गुणा करना भी गलत है: वे होल्डिंग्स एक ही पूंजी की दो अवधियों का प्रतिनिधित्व करने के बजाय सह-अस्तित्व में हैं।

बाहरी जमा और निकासी एक और सीमा बनाते हैं। 5,000 जमा के बाद 10,000 से 15,000 तक बढ़ने वाली शेष राशि आवश्यक रूप से 50% निवेश लाभ नहीं है।

[GIPS नकदी-प्रवाह पद्धति](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) समय-भारित प्रदर्शन को रिटर्न से अलग करता है जो नकदी प्रवाह के समय और आकार को दर्शाता है।

एक छोटे विकल्प प्रीमियम पर प्रतिशत लाभ पूरे खाते पर प्रतिशत लाभ के समान नहीं है। विभिन्न व्यापार आकार, ओवरलैपिंग स्थिति और निष्क्रिय नकदी व्यापार-स्तर के रिटर्न के आकस्मिक गुणन को रोकते हैं।

[OIC की लीवरेज गाइड](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) बताता है कि विकल्प प्रीमियम बढ़े हुए प्रतिशत लाभ और हानि क्यों दिखा सकते हैं।

वायदा के लिए, पोस्ट किया गया मार्जिन एक्सपोज़र के खरीद मूल्य के बजाय संपार्श्विक है। उस विभाजक को बदलने से अंतर्निहित परिसंपत्ति पर नया रिटर्न नहीं बनता है।

[सीएमई का मार्जिन स्पष्टीकरण](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) पहचानता है कि वे फंड क्या दर्शाते हैं।

व्यापार तुलना के लिए वायदा रिटर्न डिनोमिनेटर का उपयोग करें, और पोर्टफोलियो कंपाउंडिंग के लिए लगातार पूरे खाते का मूल्यांकन करें। खुली स्थितियाँ शामिल करें और प्रत्येक लागत को एक बार गिनें।

बताए गए प्रश्न से प्रारंभ करें: औसत अवलोकन, एक निवेश की वृद्धि, या एक साथ होल्डिंग्स के पोर्टफोलियो पर रिटर्न। इनके लिए अलग-अलग गणनाओं की आवश्यकता होती है।

सकारात्मक-कारक सूत्र मानते हैं कि प्रत्येक रिटर्न -100% से अधिक है। पूर्ण हानि पर, समझौता करने के लिए कोई शेष पूंजी नहीं है। नकारात्मक खाता इक्विटी के लिए नकदी-प्रवाह और देयता विश्लेषण की आवश्यकता होती है, सामान्य सीएजीआर तुलना की नहीं। [!TRYMARK] ट्राईमार्क औसत-रिटर्न ऑडिट अगली प्रदर्शन समीक्षा में, रिपोर्ट किए गए अंतिम मूल्य को लक्षित करें। इसे दिनांकित खाता रिटर्न से पुनर्निर्माण करें, फिर लागत, पुनर्निवेश धारणाएं, या बाहरी नकदी प्रवाह में परिवर्तन होने पर परिणाम की दोबारा जांच करें। [!WARNING] एक ऐतिहासिक औसत दोहराए जाने योग्य विकास का वादा नहीं करता है न तो अंकगणित और न ही ज्यामितीय औसत अगले वर्ष का रिटर्न स्थापित करता है। एक बड़ा आवश्यक लाभ या एक सहज सीएजीआर अधिक उत्तोलन को उचित नहीं ठहराता है। ये उदाहरण माप की व्याख्या करते हैं, निवेश अनुशंसा की नहीं।

• तारीखें, अवधि की लंबाई, मुद्रा और आरंभ और समाप्ति मान रिकॉर्ड करें।
• आय, पुनर्निवेश, शुल्क और बाहरी जमा या निकासी की पहचान करें।
• वार्षिकीकरण से पहले क्रमिक विकास कारकों से अंतिम मूल्य का पुनर्निर्माण करें।
• अंकगणितीय औसत, संचयी रिटर्न, ज्यामितीय अवधि रिटर्न और सीएजीआर को अलग-अलग लेबल करें।