מבחן Hansen J: מגבלות זיהוי־יתר ב-GMM

שיטת המומנטים המוכללת (GMM) אומדת פרמטרים באמצעות קירוב הגרסאות המדגמיות של תנאי המומנטים התאורטיים לאפס ככל האפשר. במודל של משתנים מכשיריים, מומנט עשוי לקבוע שהמכשיר המוצע אינו מתואם עם השגיאה המבנית בערך האמיתי של הפרמטר. מודלים אחרים מפיקים תנאי מומנטים ממשוואות תמחור נכסים, ממשוואות אוילר או ממגבלות של נתוני פאנל.

אם במודל יש יותר תנאי מומנטים מפרמטרים לא ידועים, נשארות אחרי האמידה מגבלות נוספות שניתן לבדוק. סטטיסטי Hansen J מסכם עד כמה המומנטים המדגמיים המותאמים עדיין רחוקים מאפס לאחר הפעלת מטריצת משקול מוגדרת. זהו מבחן מפרט משותף בתוך המסגרת הזאת. הוא אינו ביקורת ישירה שיכולה לסמן משתנה מכשירי מסוים כ״תקף״ או כ״לא תקף״.

ההבחנה חשובה במחקר פיננסי וכמותי. מודל מסחר או תמחור נכסים עשוי לספק כמה תנאי מומנטים, אך תוצאת המבחן תלויה בתשואות, בגורמים, במכשירים, בתקופות ובהנחות השונות המשותפת שמגדירים את המומנטים. ערך p קטן עשוי להיות ראיה נגד חבילת ההנחות הזאת; ערך p גדול אינו ראיה עצמאית לכך שכל ההנחות מתקיימות.

נסמן ב-\(g_t(\theta)\) וקטור בן \(q\) רכיבים של תרומות למומנטים במועד \(t\), המוערך בווקטור הפרמטרים \(\theta\). הממוצע המדגמי שלו הוא:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM בוחרת את \(\hat\theta\) באמצעות מזעור מרחק ריבועי משוקלל כגון:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

כאשר \(W_T\) היא מטריצת משקול חיובית. המשקול קובע עד כמה אי־ההתאמה בין תנאי המומנטים תורמת לקריטריון. תחת הנחות הדגימה המוצהרות, GMM יעילה משתמשת במשקול הקשור להופכי של מטריצת השונות המשותפת ארוכת הטווח של המומנטים. מבחן J משתמש בקריטריון לאחר מזעור, ולא בערך פונקציית המטרה עבור פרמטר שנבחר בלי אמידה.

הנוסחה תמציתית, אבל רכיביה אינם בני־החלפה. שינוי המכשירים משנה את \(g_t\); שינוי המדגם משנה את הממוצע; שינוי אומד השונות המשותפת משנה את המשקול; ושינוי האומד עשוי לשנות את הפרמטרים המותאמים. לכן, כדי לשחזר סטטיסטי J נדרש יותר ממספר ומהמילה ״עמיד״.

אם יש \(q\) תנאי מומנטים בלתי תלויים ו-\(k\) פרמטרים המזוהים מקומית, דרגות החופש המקובלות לזיהוי־יתר הן \(q-k\). למשל, שימוש בשלושה מומנטים בלתי תלויים לאמידת שני פרמטרים משאיר מגבלת זיהוי־יתר אחת. תחת השערת האפס שכל מומנטי האוכלוסייה מתקיימים, משווים באופן אסימפטוטי סטטיסטי J ששוקל כראוי להתפלגות כי־בריבוע עם מספר דרגות חופש זה.

כאשר מספר המומנטים שווה למספר הפרמטרים, המודל מזוהה בדיוק ובדרך כלל אפשר להביא את המומנטים המותאמים לאפס. לא נשארות מגבלות עודפות שמבחן J יכול להעריך, ולכן יש לו אפס דרגות חופש ואין בדיקת זיהוי־יתר. יותר פרמטרים ממומנטים בלתי תלויים מצביעים על בעיית זיהוי אחרת; הם אינם יוצרים דרגות חופש שליליות או מבחן J בעל משמעות.

ספרו את מגבלות המומנטים העצמאיות בפועל, ולא רק את מספר העמודות בפלט התוכנה. מכשירים כפולים או מומנטים שתלויים ליניארית עשויים להקטין את הדרגה האפקטיבית. גם ההשוואה המקובלת לכי־בריבוע נשענת על זיהוי ועל תנאים נוספים של מדגם גדול. ערך נומינלי של \(q-k\) אינו יכול לתקן מטריצת שונות משותפת סינגולרית או מאומדת בצורה לקויה.

נניח שמודל משתמש בשלושה תנאי מומנטים כדי לאמוד שני פרמטרים, ולכן דרגות החופש המקובלות הן \(3-2=1\). נניח שתוכנה מדווחת על סטטיסטי J בגודל \(5.4\), שחושב באמצעות הליך משקול שאמור להתאים להנחות השונות המשותפת המוצהרות. בהשוואה המקובלת להתפלגות כי־בריבוע עם דרגת חופש אחת, ערך ה-p הוא בערך \(0.020\). ברמת מובהקות של 5% שנקבעה מראש, החוקר ידחה את השערת האפס המשותפת שלפיה כל שלושת מומנטי האוכלוסייה שווים לאפס.

המסקנה הזאת מצומצמת יותר מהקביעה ״מכשיר 2 אינו תקף״. סטטיסטי J הוא מרחק משוקלל יחיד של המערכת, והוא אינו מזהה איזה מומנט גורם לסתירה. אותה תוצאה עשויה לנבוע ממכשיר לא תקף, ממשוואה מבנית עם מפרט שגוי, מתכונה דינמית שהושמטה, ממודל שונות משותפת שגוי או מכשל אחר במסגרת ההנחות. כדי לברר את המקור דרושים אבחונים נוספים ושיקול דעת בתחום המחקר.

אם ערך ה-p היה \(0.20\), המסקנה הנכונה הייתה שהמבחן אינו דוחה את המגבלות המשותפות ברמה שנבחרה. אין פירוש הדבר ש״הוכח שהמכשירים תקפים״. ייתכן שהמגבלות סבירות, שעוצמת המבחן מוגבלת, או שהמדגם קטן או רועש מכדי להבחין בהפרות. יש לקבוע את הסף לפני שבוחנים סדרה של חלופות מודל; חיפוש עד שמופיע ערך p שנראה מקובל יוצר בעיית בחירה נוספת.

השערת האפס היא קבוצת מגבלות אוכלוסייה, שיש לפרש תחת המודל והתנאים האסימפטוטיים שמצדיקים את התפלגות הייחוס של הסטטיסטי. כאשר J דוחה, לפחות חלק ממערכת ההנחות הזאת קשה ליישב עם המדגם תחת המשקול ששימש. המבחן לבדו אינו יכול להבחין בין הפרה של הנחת ההדרה, צורה פונקציונלית שגויה, תלות במצב שהושמטה, שגיאה בבניית הנתונים או אומד לא מתאים של השונות המשותפת ארוכת הטווח.

המבחן גם אינו מבסס סיבתיות. בתכנון של משתנים מכשיריים, מבחן זיהוי־יתר יכול לבדוק אם המגבלות הנוספות תואמות זו לזו במשותף תחת המודל. הוא אינו יכול לבסס את הנחת ההדרה של כל מכשיר, במיוחד כשכל המכשירים עשויים לחלוק אותה הפרה. לרלוונטיות ולהדרה יש משמעויות שונות: בדקו רלוונטיות באמצעות אבחוני שלב ראשון וזיהוי חלש, והסבירו את המסלול הכלכלי שתומך בהנחת ההדרה.

ביישום ליניארי של תמחור נכסים, סטטיסטי מסוג J עשוי לבדוק מגבלות תמחור משותפות שמודל גורמים מסוים ומערכת נכסי בדיקה מכתיבים. דחייה אינה מזהה אוטומטית את הגורם החסר ואינה מראה שאסטרטגיית מסחר אחרת תניב תשואה. אי־דחייה אינה מוכיחה את האמת הכלכלית של המודל. המדריך של Fama–MacBeth עוסק בהליך קשור לתמחור סיכונים בחתך רוחב ובמגבלות ההסקה שלו.

מבחן Sargan הקלאסי התפתח באמידת משתנים מכשיריים תחת הנחות מחמירות לגבי שונות משותפת, ובדרך כלל הניח שגיאות הומוסקדסטיות. מבחן Hansen J הוא סטטיסטי זיהוי־היתר של GMM, המבוסס על אומדן של שונות משותפת בין המומנטים. הוא יכול להתחשב בהטרוסקדסטיות, ובאמצעות אומדן מתאים של שונות משותפת ארוכת טווח גם בתלות לאורך זמן. התווית ״Hansen״ אינה הופכת יישום לעמיד בפני כל סוג של מפרט שגוי; בחירת השונות המשותפת והמשקול צריכה להתאים לתהליך המומנטים.

במומנטים של סדרות עתיות, תלות סדרתית משנה את השונות ארוכת הטווח של הממוצע המדגמי. אומדן HAC כגון Newey–West יכול להשתלב בחישוב מתאים של שונות משותפת, אם הנחותיו ובחירת הפיגורים תואמות לנתונים. לנתוני פאנל או לתצפיות מקובצות ייתכן שיידרש מבנה אחר של שונות משותפת. תיקון שונות משותפת המשמש רק לשגיאות התקן של המקדמים אינו מבטיח שפונקציית המטרה J נבנתה עם מטריצת משקול תואמת.

GMM חד־שלבית, דו־שלבית ואיטרטיבית עשויה לאמוד פרמטרים עם משקולות שונות. בהליכי GMM יעילים דו־שלביים, המשקול המאומד עצמו מוסיף אי־ודאות במדגם סופי; שגיאות התקן והתנהגות המבחן עלולות להיות שבריריות, במיוחד כאשר מספר המומנטים גדול ביחס לתצפיות. תיקוני המדגם הסופי שחקר Windmeijer מתייחסים לאמידת שונות במסגרות ליניאריות מסוימות של GMM יעילה דו־שלבית. הם אינם תיקון כללי לכל סטטיסטי J.

מבחן J אינו בוחן את עוצמת המכשירים. מכשירים בעלי מידע חלש עלולים להפוך את אומדני הפרמטרים ואת הקירובים המקובלים לבלתי אמינים; השתמשו בשיטות שתוכננו לזיהוי חלש במקום להתייחס לערך p מרגיע של J כאבחון עוצמה. גם הכיול האסימפטוטי לכי־בריבוע אינו מבטיח שמדגם פיננסי קצר יתנהג כמו הגבול האסימפטוטי שלו.

הוספת מכשירים או תנאי מומנטים עשויה להיראות מושכת כי נדמה שהיא מוסיפה מידע. אולם ב-GMM של פאנל דינמי, ריבוי מכשירים עלול להתאים ביתר משתנים אנדוגניים ולהחליש את יכולתם של מבחני מפרט לזהות הפרה. לכן ערך p גבוה מאוד אחרי בניית קבוצת מכשירים גדולה עשוי לספק מעט ביטחון. דווחו על המספר, הסבירו את הפיגורים או את חלון הבנייה, והשוו לפי הצורך קבוצות מצומצמות שניתן להצדיק או מכשירים מאוחדים.

מדגמים קטנים, מומנטים כמעט קוליניאריים, אומדני שונות משותפת חלשים, פרמטרים בגבול וזיהוי חלש עלולים כולם לערער פרשנות של ספר לימוד. מקרים כאלה מצריכים ניתוח רגישות והסקה חלופית מתאימה, ולא אמירה מכנית ש-J ״עבר״. אם בחירת המודל כללה מכשירים רבים, טווחי פיגור, גורמים או חיתוכי מדגם, תעדו את החיפוש ואל תציגו את התוצאה שנראית הטובה ביותר כאילו נקבעה מראש.

חלק מתהליכי העבודה עם פאנל דינמי מדווחים על מבחן Difference-in-Hansen או מבחן C לתת־קבוצה של תנאי מומנטים, כגון בלוק מכשירים נוסף. מבחינה מושגית, ההשוואה המקוננת שואלת אם הבלוק מוסיף מגבלות שמתיישבות עם יתר המומנטים שהוגדרו. המסקנה מותנית בשאר המפרט; היא אינה תעודת תקפות עצמאית לכל מכשיר.

להפרש בין שני סטטיסטי J יש התפלגות ייחוס רק תחת תנאי הקינון, האמידה והשונות המשותפת הרלוונטיים. על המודלים המושווים להשתמש במדגמים ובהגדרות מומנטים תואמים, ויש להתחשב במשקול ובהתנהגות במדגם סופי. גם עוצמת מבחן תת־קבוצה עלולה לרדת כאשר קבוצת המכשירים המלאה גדולה. אם בודקים כמה בלוקים, דווחו על מכלול ההשוואות ולא רק על תוצאה נוחה אחת.

ציינו את המדגם, וקטור הפרמטרים, הגדרות המומנטים, מספר התצפיות, מספר המגבלות והדרגה האפקטיבית שלהן, וכן את דרגות החופש. פרטו אם האומד הוא חד־שלבי, דו־שלבי או איטרטיבי; כיצד התקבלה מטריצת המשקול; איזה מבנה של שונות משותפת הותר; והאם נעשה תיקון כלשהו למדגם קטן. דווחו על סטטיסטי J, על התפלגות הייחוס, על ערך ה-p ועל סף ההחלטה שנקבע לניתוח.

הציגו את מספר המכשירים ואת אופן בנייתם, אבחוני שלב ראשון או רלוונטיות, ואת רגישות האומדנים לשינויים סבירים בקבוצות המומנטים. הסבירו מדוע המכשירים עומדים בטיעון הכלכלי של תזמון והנחת ההדרה; אל תחליפו טיעון זה באי־דחייה של מבחן זיהוי־יתר. אם השתמשתם במבחן תת־קבוצה, הגדירו במפורש את תת־הקבוצה ואת ההשוואה. לרקע על הנחות IV, ראו המדריך לאנדוגניות ולמשתנים מכשיריים; לבחירות שונות משותפת ראו המדריך לשגיאות תקן עמידות ול-HAC.

התיאוריה האסימפטוטית של Hansen ל-GMM, מבחן המשתנים המכשיריים של Sargan, הניתוח של זיהוי חלש מאת Stock ו-Wright, המחקר של Roodman על ריבוי מכשירים, ניתוח שונות דו־שלבית במדגם סופי מאת Windmeijer ואומד השונות המשותפת HAC של Newey ו-West עוסקים בחלקים שונים של התכנון הזה. התוצאות שלהם תקפות תחת ההנחות שצוינו, ואינן אישור כללי למודל אמפירי.