משך Macaulay, משך מתוקן ומשך אפקטיבי: הבדלים ודוגמה

מועד הפדיון הוא התאריך החוזי שבו הקרן אמורה להיפרע. Duration מתארת את עיתוי תזרימי המזומנים או את רגישות המחיר תחת הנחות מוגדרות. זה אינו שם אחר למועד הפדיון, ואין בכך הבטחה מתי המשקיע יקבל בחזרה את הסכום ששילם.

אם במסך מופיע רק “duration”, בדקו אם מדובר ב־Macaulay, מתוקן, אפקטיבי, כספי או מדד אחר. ציינו את נייר הערך או התיק, תאריך ההערכה, התשואה או העקום, מוסכמת הצבירה ובסיס המחיר. CFA Institute מבדיל בין מדדי תשואה שמקבעים את תזרימי המזומנים ומשנים את התשואה העצמית של האג״ח לבין מדדי עקום שמעריכים מחדש לפי עקום ייחוס ויכולים לטפל בתזרימים לא ודאיים. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

משך Macaulay הוא ממוצע מועדי קבלת תזרימי המזומנים המתוכננים, המשוקלל לפי הערך הנוכחי. לתזרים CF_t בזמן t, מחיר P ותשואה y, המשקל הוא PV(CF_t)/P. אם P הוא סכום הערכים הנוכחיים של כל התזרימים שבמודל, סכום המשקלים הוא אחת:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

באג״ח עם קופון, משך Macaulay בדרך כלל קצר מהתקופה לפדיון, מפני שמקבלים קופונים לפני החזר הקרן. לאג״ח ללא קופון יש תזרים מתוכנן יחיד, ולכן בהנחות התזרים וההיוון שצוינו משך Macaulay שווה לזמן עד הפדיון.

זהו ממוצע זמנים בערך נוכחי, לא תחזית למשך ההחזקה האישי ולא הבטחה לתשואה שתתקבל מהשקעה מחדש של קופונים. ניתוחי חיסון מסוימים משתמשים במדד, אך נדרשות הנחות נוספות על שינויי תשואה, השקעה מחדש וההתחייבות שיש להתאים. FINRA גם מזהירה ש־duration אינה רק הזמן שנותר עד הפדיון. {source:finraDurationExplainer}

נניח אג״ח היפותטית ללא אופציות מובנות, ערך נקוב של 1,000 דולר, קופון שנתי של 5%, שלוש שנים לפדיון ותשואה שנתית לפדיון של 4%. נניח תשלומים שנתיים, הערכה מיד לאחר מועד קופון וצבירה שנתית. התזרימים המתוכננים הם 50 דולר בעוד שנה, 50 בעוד שנתיים ו־1,050 בעוד שלוש שנים.

בהיוון של 4%, הערכים הנוכחיים הם כ־48.08, כ־46.23 וכ־933.45 דולר; המחיר המלא הוא כ־1,027.75 דולר. חלוקת כל ערך נוכחי במחיר נותנת משקלים של כ־4.68%, כ־4.50% וכ־90.82%. התשלום האחרון כולל את הקרן, אך שני הקופונים הראשונים מקדימים את הזמן הממוצע.

סכום הזמן כפול המשקל, 1 × 4.68% + 2 × 4.50% + 3 × 90.82%, הוא כ־2.8615 שנים. הוא קצר משלוש שנות הפדיון משום שחלק מהערך הנוכחי מגיע מקופונים מוקדמים. המספרים המוצגים מעוגלים; לחישוב מדויק השתמשו בערכים הנוכחיים לפני עיגול. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

משך מתוקן מתאים את Macaulay למוסכמת הצבירה שצוינה. באג״ח רגילה עם תזרימים קבועים, תשואה נומינלית שנתית y וצבירה m פעמים בשנה, היחס המקובל הוא D_mod = D_Mac / (1 + y/m). בדוגמה התשלומים שנתיים, ולכן m=1; 2.8615 / 1.04 נותן כ־2.7514 שנים.

לשינוי קטן בתשואה העצמית של האג״ח, הקירוב מסדר ראשון לאחוז שינוי המחיר הוא ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, כאשר Δy נכתב כשבר עשרוני. עלייה של נקודת בסיס אחת היא 0.0001 ולא 0.01; עלייה של 100 נקודות בסיס היא 0.01. עם משך מתוקן של 2.7514, עלייה של נקודת אחוז אחת בתשואה נותנת אומדן מקומי לירידה של 2.7514% במחיר, בהנחה ששאר הקלטים אינם משתנים. סימן המינוס מייצג את הקשר המקומי ההפוך בדוגמה זו.

משך מתוקן הוא השיפוע ליד התשואה ההתחלתית, לא הערכה מחדש מלאה לכל גודל של זעזוע. כדי לאמוד סכום כספי דרוש גם שווי השוק של הפוזיציה. אומדן DV01 מסדר ראשון הוא לעיתים שווי שוק × משך מתוקן × 0.0001 לשינוי של נקודת בסיס בתשואה העצמית. מוסכמות סימן משתנות והמספר אינו תקרת הפסד קבועה. CME מבדילה בין רגישות באחוזים לבין סכום כספי המכונה DV01, BPV או VBP. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

משך אפקטיבי משתמש במחירים מהערכה מלאה תחת תרחישי ריבית. נסמן P₀ כמחיר ההתחלתי, P₋ כמחיר אחרי הורדת עקום הייחוס ב־Δr, ו־P₊ כמחיר אחרי העלאה זהה. הפרש מרכזי הוא D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), כאשר Δr מבוטא כשבר עשרוני. בדרך כלל מפרשים את התוצאה בשנים כרגישות באחוזי מחיר לזעזוע העקום שהוגדר.

המדד שימושי כאשר תזרימי המזומנים העתידיים עשויים להשתנות עם הריבית, למשל באג״ח callable או putable ובניירות מגובי משכנתאות. המודל יכול לעדכן בכל תרחיש הנחות על מימוש אופציה או פירעון מוקדם ולחשב מחדש את המחיר. לכן התוצאה תלויה בעקום הייחוס, בגודל ובצורת הזעזוע, במודל, בתנודתיות, בהנחות התזרים ובתאריך ההערכה. CFA Institute מציג משך אפקטיבי לסיכון עקום עם תזרימים לא ודאיים; FINRA גם מבדילה אותו ממדדי Macaulay ומתוקן באג״ח עם תנאי פדיון. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

משך אפקטיבי אינו בהכרח ״מדויק יותר״. הוא עונה על שאלה אחרת: כיצד המחיר המלא לפי המודל משתנה בתרחיש מסוים של עקום הייחוס? אם התזרימים יציבים והשאלה נוגעת לתשואה העצמית, משך מתוקן עשוי להיות ישיר יותר. בזעזוע עקום יש לציין אם הוא מקביל ואיזה עקום משמש; באג״ח עם אופציה יש לציין גם את המודל שמחשב מחדש את התזרימים.

נחזור לאג״ח בערך נקוב של 1,000 דולר. בתשואה של 4%, המחיר הוא כ־1,027.75 דולר והמשך המתוקן כ־2.7514. עלייה של 100 נקודות בסיס נותנת אומדן מקומי לירידה של 2.7514%, או 28.28 דולר, לכ־999.47 דולר. ירידה של 100 נקודות בסיס נותנת אומדן לעלייה של 28.28 דולר לכ־1,056.03 דולר.

כעת נהוון ישירות את התזרימים המתוכננים לפי התשואה החדשה. בתשואה של 5% המחיר הוא 1,000 דולר, ירידה של כ־27.75 דולר או 2.70%. בתשואה של 3% המחיר כ־1,056.57 דולר, עלייה של כ־28.82 דולר או 2.80%. העלייה והירידה אינן סימטריות כי הקשר בין המחיר לתשואה מעוקל. משך לבדו נותן אומדן מקומי; קמירות מסבירה את ההפרש מסדר שני בתנועה גדולה יותר. החישוב היפותטי ומניח תזרימים קבועים, צבירה שנתית ואותה מוסכמת הערכה; אינו מחיר שוק או תחזית. ראו קמירות האג״ח ורגישות המחיר.

מדדי Macaulay והמשך המתוקן בדוגמה מבוססים על תשואה. לא הוגדרו עקום ייחוס או מודל הערכה לזעזועים, ולכן לא חושב משך אפקטיבי. לשם כך צריך להעריך מחדש את האג״ח בתרחישי העקום שהוגדרו. אם התזרימים משתנים, יש ליישם הנחות עקביות לגבי מימוש ופירעון מוקדם בתרחישים של עלייה וירידה.

השתמשו ב־Macaulay כששואלים מתי מתקבלים בממוצע התזרימים המתוכננים בערך נוכחי. השתמשו במשך מתוקן כדי לאמוד את שינוי המחיר המקומי באחוזים בעקבות שינוי קטן בתשואה העצמית של אג״ח עם תזרימים קבועים, תוך ציון מוסכמת הצבירה. השתמשו במשך אפקטיבי כשהעקום משתנה והתזרימים עשויים להיות תלויי ריבית. אף אחד מהם אינו חוזה את כיוון הריבית.

אגרגציה של תיק תלויה לרוב במשקלי שווי שוק ובמוסכמות הספק. משך אפקטיבי יחיד מסכם תזוזה רחבה מוגדרת של העקום, אך עלול להסתיר פיתולים ושינויים בשיפוע; Key Rate Duration מציגה רגישות בנקודות זמן נבחרות. לסכום כספי לכל נקודת בסיס ראו DV01 ו־BPV. סיכון מרווח אשראי, נזילות, אינפלציה, מטבע ואופציות עשוי לדרוש ניתוח נפרד; משך לריבית ייחוס אינו מודד את כל סיכוני האג״ח.

גם מאפייני האג״ח חשובים. במקרה הסטנדרטי של אג״ח בריבית קבועה ללא אופציות, בהנחה ששאר התנאים שווים, תזרימים מאוחרים יותר נוטים להגדיל את המשך; קופון או תשואה גבוהים יותר נוטים להגדיל את משקל התשלומים המוקדמים בערך נוכחי ולהקטין אותו. ככל שהפדיון מתקרב, פרופיל התזרימים שנותר משתנה ולכן המשך אינו קבוע. זכות call עשויה להגביל עליית מחיר כשהריבית יורדת. אג״ח בריבית משתנה מעדכנת קופון מעת לעת, ועשויה להיות פחות רגישה לריבית מאג״ח קבועה בעלת מועד דומה, אך נותר סיכון מרווח, פיגור באיפוס, רצפה ונזילות. אלה מנגנונים תחת הנחות, לא דירוג אוניברסלי. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

שני מקורות עשויים לכנות מדדים שונים בשם “duration”. רשמו את נייר הערך או התיק, תאריך ההערכה, מחיר מלא או נקי, תשואה או עקום ייחוס, תדירות הצבירה, גודל הזעזוע, אם התזוזה מקבילה, מודל האופציה והאם התזרימים קבועים או מחושבים מחדש. בהשוואת סכומים כספיים התאימו גם את גודל הפוזיציה והמטבע. אם קלט כלשהו שונה, הסבירו את ההבדל לפני השוואה ישירה.

רגישות מחיר אינה תשואה כוללת צפויה. Duration אינה כוללת את כל מקורות התשואה בפועל, כגון הכנסה מקופון, השקעה מחדש, שינוי אשראי, מרווחים, עלויות עסקה, מס או שינויי תיק. זו רגישות מותנית בנקודת התחלה ובמודל מוגדרים. בדקו את המתודולוגיה ותאריך הנתונים בדף קרן או במסך אנליטי, ואת התנאים החוזיים בתשקיף או במסמכי נייר הערך. משך נמוך אינו מעיד על סיכון כולל נמוך ואינו חוזה הפסדים עתידיים. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}