שונות דו־עוצמה: מדריך לתנודתיות ממומשת חסינה לקפיצות

שונות ממומשת בתדירות גבוהה מחברת את ריבועי התשואות הלוגריתמיות התוך־יומיות. כאשר מרווח הדגימה מתקצר תחת מודל חצי־מרטינגל מתאים, RV מתכנסת לשונות הריבועית של המסלול. אם המסלול כולל גם דיפוזיה רציפה וגם קפיצות, הגבול הזה כולל הן את השונות המשולבת והן את סכום ריבועי הקפיצות. לכן RV מודדת את השינוי הכולל בדיעבד, אך אינה מגלה לבדה איזה חלק נבע מתנועה רציפה ואיזה מחוסר־רציפות.

שונות דו־עוצמה משתמשת באבן בניין אחרת: במקום לרבע תשואה יחידה, היא מכפילה את הגדלים של שתי תשואות שכנות. במודל הגבולי, קפיצה מבודדת משפיעה בדרך כלל על מרווח תשואה אחד, בעוד שהתשואה הסמוכה היא לרוב תוספת דיפוזיה קטנה. ככל שרשת התצפיות נעשית צפופה יותר, המכפלה של תשואת הקפיצה בתשואה הסמוכה קטנה; מכפלות של תשואות דיפוזיה סמוכות ממשיכות לצבור את השינוי הרציף. Barndorff-Nielsen ו־Shephard הציגו שימוש בשונות עוצמה ובשונות דו־עוצמה להפרדה בין שונות משולבת לשונות מקפיצות נדירות תחת מודלים מוגדרים (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

היעד הוא השונות המשולבת ההיסטורית, \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\), ולא תחזית לתנודתיות בתקופה הבאה. המדריך לחישוב תנודתיות ממומשת מסביר את המדד המבוסס על סכום ריבועי תשואות; כאן מוסבר מדוע למכפלות של תשואות מוחלטות סמוכות יש תגובה שונה לקפיצות.

נניח תהליך של מחיר לוגריתמי בחלון זמן קבוע:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

כאשר האיבר הראשון אחרי \(X_0\) הוא סחיפה בעלת שונות סופית, \(\sigma_t\) היא תנודתיות הדיפוזיה הרגעית ו־\(J_t\) הוא רכיב הקפיצות. השונות הריבועית של התהליך מתפרקת כך:

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

כאשר \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\). הרכיב הראשון הוא השונות המשולבת הרציפה; השני הוא שונות הקפיצות. קפיצה תורמת לפי גודלה בריבוע, בין שהיא חיובית ובין שהיא שלילית. המדריך לשונות ריבועית במימון מסביר מדוע כמות מסלולית זו שונה משונות של אוסף מחירים סטטיים.

עבור \(n\) תשואות לוגריתמיות תוך־יומיות \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\), כאשר \(\Delta=T/n\), השונות הממומשת היא

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

כאשר המרווחים מצטמצמים תחת תנאי חצי־המרטינגל המקובלים, \(RV_n\) אומדת את מלוא השונות הריבועית, כולל הקפיצות. לכן דוח שמכנה את RV „תנודתיות רציפה” בלי להניח שאין קפיצות מערבב בין שני יעדים.

נסמן ב־\(Z\) משתנה נורמלי סטנדרטי ו־\(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\). הגדרה נפוצה של שונות דו־עוצמה ממומשת היא

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

הגורם \(\pi/2\) מנרמל את מכפלת הערכים המוחלטים של שתי תוספות גאוסיות לסולם של השונות הרציפה. הגורם \(n/(n-1)\) הוא תיקון קצוות למדגם קטן הנהוג בהגדרה נפוצה; יש הגדרות שמשמיטות אותו, מפני שהוא שואף לאחד כש־\(n\) גדל. ציינו איזו הגדרה משמשת להשוואה.

הסכום כולל זוגות סמוכים וחופפים: תשואה 2 מוכפלת בתשואה 1, תשואה 3 בתשואה 2, וכן הלאה. הוא אינו מסווג כל תצפית כ״קפיצה״ או ״ללא קפיצה״. התוצאה האסימפטוטית נשענת על כך שבמקרה של מספר סופי של קפיצות, רק מספר סופי של שכונות קטנות מכיל קפיצה כשהרשת נעשית צפופה יותר; מכפלות תשואות הדיפוזיה הסמוכות יוצרות את הגבול של השונות המשולבת הרציפה. משפטי הגבול מאפשרים מגוון רחב של התנהגויות תנודתיות סטוכסטית, לרבות תלות מסוג מינוף, תחת הנחותיהם (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

<!-- learn:illustration -->

נניח שבסשן היפותטי יש שבע תשואות לוגריתמיות, ביחידות נקודות בסיס:

נניח שהתשואה הרביעית כוללת קפיצה היפותטית יחידה של \(+12\) נקודות בסיס, עם תנועה רציפה זניחה באותו תא. אזי

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

סכום שש מכפלות הערכים המוחלטים הסמוכות הוא \(4.60\ \mathrm{bp}^2\), ולכן לפי ההגדרה עם תיקון הקצוות מתקבל

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

ריבוע הקפיצה שהוכנסה הוא \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\). ההפרש אינו בדיוק 144: המכפלות הסמוכות לקפיצה כוללות איברי \(12\times0.1\), וגם במדגם של שבע תשואות יש שונות רגילה של מדגם סופי. זו דוגמה מומצאת וקטנה שמאפשרת לבדוק את החשבון; היא אינה נתוני שוק ואינה טוענת שהפרש בחלון קצר משחזר במדויק את שונות הקפיצות.

תוצאת העקביות המקובלת מותנית. בתהליך חצי־מרטינגל עם תנודתיות סטוכסטית רציפה ומספר סופי של קפיצות בחלון, BV מתכנסת לשונות המשולבת הרציפה כאשר הדגימה נעשית צפופה בהדרגה וללא רעש מיקרו־מבני. באותה מסגרת \(RV_n-BV_n\) מתכנס לסכום ריבועי הקפיצות. זו הפרדה אסימפטוטית, לא הבטחה לכל סדרת תשואות או לכל רשת סופית.

תנאי מספר הקפיצות הסופי חשוב. כאשר יש קפיצות קטנות רבות או פעילות קפיצות אינסופית, שונות הקפיצות עשויה לתרום באופן לא זניח למכפלות הערכים המוחלטים הסמוכות; התוצאה הסטנדרטית של BV לא בהכרח מבודדת רק את הרכיב הבראוני. ייתכן שיידרשו הרחבות, קטימה או מבחני קפיצות אחרים, ולכל אחד הנחות משלו. Aït-Sahalia ו־Jacod פיתחו מבחן קפיצות נפרד בתדירות גבוהה למחלקה רחבה יותר של תהליכי חצי־מרטינגל; זהו מסגרת בדיקה חלופית, ולא הוכחה ש־BV רגילה מטפלת בכל תהליך קפיצות (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

גם תכנון התצפיות חשוב. התשואות צריכות להתייחס לחלון משותף ולסדרת מחירים שאפשר להצדיק. מרווחי דגימה גדולים, ציטוטים מיושנים, מסחר אסינכרוני, פערים ליליים וקפיצות סמוך לגבולות הסשן מחלישים את הפרשנות של רשת צפופה. דגימה תכופה יותר עוזרת רק אם התצפיות מתקרבות למחיר היעיל החבוי ולא מוסיפות עוד רעש מיקרו־מבני.

במודל האסימפטוטי ללא רעש ועם פעילות קפיצות סופית, RV פחות BV אומדת את שונות הקפיצות. במדגם סופי ההפרש יכול להיות שלילי, אף שסכום ריבועי הקפיצות אינו יכול להיות שלילי. הסיבה היא ש־RV ו־BV הם אומדנים רועשים של גבולות שונים. אל תחליפו בשקט ערכים שליליים באפס: חיתוך משנה את התנהגות הדגימה של האומד ויש לדווח עליו ככלל מפורש.

מבחן סטטיסטי שואל שאלה אחרת: האם הפער שנצפה גדול ביחס לאי־הוודאות שלו במדגם, תחת השערת אפס שלפיה אין קפיצות? Barndorff-Nielsen ו־Shephard גזרו מבחנים אסימפטוטיים המבוססים על שונות חזקה ממומשת ועל שונות דו־עוצמה. גרסאות ישימות אומדות את הקוורטיות הרלוונטית, לעיתים באמצעות מדדי מולטיפאוור, ולא מתייחסות להפרש הגולמי כסף מובהקות (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006). בהמשך פותחה שונות דו־עוצמה עם סף כדי להפחית הטיית קפיצות במדגם סופי ולאפשר הסקה תחת חלופות הכוללות קפיצות (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

גם קפיצה שזוהתה היא סיווג סטטיסטי מבוסס מודל, בתדירות דגימה וברמת מובהקות שנבחרו. היא אינה מזהה את הגורם החדשותי, אינה מוכיחה שסוחר יכול היה לבצע במחיר הרשום ואינה מעידה על אסטרטגיה רווחית.

BV הקלאסית אינה אומד בתדירות גבוהה שחסין לרעש. כאשר המחיר הנצפה הוא \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\), קפיצת bid–ask, עיגול ועדכוני ציטוט מוסיפים רעש לכל תשואה. מכיוון ש־BV מכפילה את הערכים המוחלטים של תשואות סמוכות, השימוש במכפלות שכנות אינו מעלים את הרעש. בדגימה צפופה מאוד תרומת הרעש אף עשויה להיות חשובה יותר.

זו בעיה שונה מקפיצות. Realized kernel ו־two-scale realized variance נועדו לאמוד תנודתיות בנוכחות רעש מיקרו־מבני באמצעות מבנים אחרים; הם אינם תחליף ל־BV רגילה, ועמידות לרעש אינה מבטיחה עמידות לקפיצות. המדריך ל־realized kernel מסביר אחת מהשיטות שמתמקדות ברעש.

אם שאלת המחקר דורשת טיפול גם ברעש וגם בקפיצות, השתמשו בשיטה שנגזרה לשתי התופעות וציינו את הנחותיה. Podolskij ו־Vetter פיתחו שונות דו־עוצמה מתווכת לתצפיות רועשות ובנו גרסאות חסינות לקפיצות בעלות פעילות סופית; זהו אומד שעבר התאמה, לא הנוסחה הלא־מתוקנת שלמעלה (Podolskij & Vetter, 2009). חלופות מעשיות כוללות דגימה בתדירות נמוכה יותר, pre-averaging, מדדים עם סף או אומד חסין לרעש. כל חלופה משנה את היעד, את בחירת הפרמטרים או את חישוב אי־הוודאות.

כאשר ההנחות מתקיימות, BV אומדת רכיב היסטורי של השונות המשולבת הרציפה. RV אומדת שונות ריבועית כוללת במסלול עם קפיצות. ההפרש ביניהן יכול לאמוד אסימפטוטית שונות ריבועית של קפיצות. אף אחת מהכמויות אינה אוטומטית תחזית, מגבלת סיכון או אות כניסה. מודל חיזוי יכול להשתמש ב־RV וב־BV מהעבר כמשתני הסבר נפרדים, אך יש לבדוק את יכולת החיזוי מחוץ למדגם תוך בקרה על מועד המידע ועלויות המסחר.

שורש ריבועי של אומדן שונות הוא מדד תנודתיות רק לאחר שמבהירים את החלון ואת היחידות. אם התשואות בנקודות בסיס, השונות נמדדת ב־bp² והשורש ב־bp לחלון שנדגם. שנתיות מחייבת הנחה מפורשת על קנה המידה בזמן; כפל במקדם קלנדרי אינו מסיר קפיצות, רעש מיקרו־מבני או בחירות מדידה של מסחר לילי. המדריך לסיכון קפיצות מסביר מדוע שינויי מחיר לא רציפים חשובים לחשיפת גידור, אך אינו הופך פירוק היסטורי של BV להוראת מסחר.

ציינו את הנכס, מקור המחיר (עסקאות, ציטוטים או אמצע ציטוט), הגדרת התשואה, תדירות הדגימה, גבולות הסשן והטיפול במרווחים ליליים ובתצפיות חסרות. הציגו את נוסחאות RV ו־BV, את מוסכמת הנרמול למדגם סופי, את מספר התשואות ואת היחידות. אם חישבתם \(RV-BV\), הציגו את ההפרש הגולמי וציינו אם הוחלו סף, קטימה או חיתוך לערך שאינו שלילי.

הסבירו איזה מודל מצדיק את הפרשנות: תנודתיות סטוכסטית רציפה עם מספר סופי של קפיצות, או מודל קפיצות רחב יותר עם אומד אחר. גלו תיקוני רעש מיקרו־מבני, סטטיסטי למבחן קפיצות, אומדן קוורטיות, רמת מובהקות ותיקון לבדיקות מרובות. הציגו מדד לאי־ודאות לצד הפירוק.

יתרונה של שונות דו־עוצמה הוא שמכפלות תשואות מוחלטות סמוכות משמרות גבול של שונות רציפה תוך הפחתת ההשפעה האסימפטוטית של קפיצות מבודדות בעלות פעילות סופית. יש לצרף גם את הגבולות: הנוסחה הסטנדרטית אינה מסנן קפיצות אוניברסלי, מבחן מובהקות או תיקון לרעש מיקרו־מבני. שמרו על ההסתייגויות האלה בכל שימוש למחקר או לניתוח סיכונים.