Rendements arithmétiques ou géométriques : pourquoi une moyenne de 10% n'est pas une croissance de 10%
Comparez les rendements moyens arithmétiques, les rendements géométriques et le CAGR avec des exemples chiffrés. Comprenez quand composer, quand pondérer les positions et pourquoi les flux de liquidités modifient le calcul
Réponse directe
La moyenne arithmétique des rendements additionne les rendements des périodes et les divise par leur nombre. Le rendement géométrique correspond à la croissance composée. Un gain de 40% suivi d'une perte de 20% donne une moyenne de 10%, mais ne fait progresser le capital que de 12% au total, soit environ 5.83% par an
Définissez la série de rendements avant de choisir une moyenne
Utilisez des périodes consécutives de même durée pour le même investissement ou portefeuille. Travaillez dans une seule devise, avec une valeur initiale positive et sans flux de liquidités externes. Précisez si les revenus sont réinvestis et si les rendements incluent les coûts
Écrivez chaque rendement de période sous forme décimale r : 40% devient 0.40 et une perte de 20% devient −0.20. Son facteur de croissance est 1 + r, et non r lui-même
Moyenne arithmétique = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Elle décrit le rendement moyen observé sur une seule période. Elle ne reconstitue pas le solde final d'un compte investi en continu
Pour des périodes consécutives, multipliez les facteurs de croissance : rendement cumulé = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1
Gardez le rendement de prix et le rendement total cohérents tout au long de la série. Passer de l'un à l'autre au milieu de la série crée un problème différent du simple choix d'une moyenne
Réconciliez une moyenne de 10% avec seulement 12% de croissance totale
Considérez deux années complètes et 10,000 unités d'une devise inchangée. Les rendements hypothétiques sont de +40% la première année et −20% la deuxième. Il n'y a ni frais, ni distributions, ni dépôts, ni retraits
Composer la moyenne arithmétique donnerait au contraire 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Ces 900 supplémentaires n'ont jamais figuré dans ce compte ; ils appartiennent à une autre trajectoire de rendements
L'exemple est une illustration arithmétique originale, et non un backtest, un résultat d'investissement réel ou une prévision. Le symbole monétaire ne changerait pas les pourcentages
- Départ : 10,000
- Après la première année : 10,000 × 1.40 = 14,000
- Après la deuxième année : 14,000 × 0.80 = 11,200
- Moyenne arithmétique : (40% − 20%) ÷ 2 = 10% par an
- Rendement cumulé : 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% sur deux ans
Calculez le rendement géométrique et reliez-le au CAGR
Le rendement géométrique est le taux constant par période g qui reproduit le facteur de croissance réalisé : (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)
Ainsi, g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Prenez la racine n-ième du produit des facteurs de croissance, et non des pourcentages de rendement
Pour l'exemple de deux ans, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% par an. En utilisant le taux non arrondi, on obtient 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200
Lorsque les périodes sont des années, ce rendement géométrique est égal au taux de croissance annuel composé, ou CAGR. Sans flux externes, CAGR = (valeur finale ÷ valeur initiale)^(1/t) − 1, où t est le nombre d'années écoulées
Un autre exemple fait passer 10,000 à 15,000 en cinq ans. Le gain total est de 50%, mais le CAGR est (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, et non 50% ÷ 5 = 10%
[L'explication de FINRA sur le rendement annualisé](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) distingue également l'annualisation composée de la division d'un gain total par le nombre d'années
Comparez des moyennes égales sans inventer une commission de volatilité
Deux années de +10% et +10% ont la même moyenne arithmétique que +40% et −20%. Pourtant, 10,000 passent à 12,100 dans le premier cas et à 11,200 dans le second
Pour des facteurs de croissance positifs, la moyenne géométrique n'est pas supérieure à la moyenne arithmétique. Elles sont égales lorsque le rendement de chaque période est identique. Appliquez cette affirmation aux mêmes observations, et non à des fonds sans rapport
L'écart n'est pas une commission supplémentaire à soustraire du solde. La valeur finale composée reflète déjà les rendements. La comparaison ne prouve pas non plus qu'un investissement moins volatil doive surperformer un autre
[La discussion du CFA Institute sur les deux moyennes](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) explique pourquoi la capitalisation est un produit et non une somme
Réordonner cette paire fixe de rendements laisse le produit inchangé en l'absence de flux de liquidités. Cela peut tout de même modifier la trajectoire et les drawdowns observés
Séparez les moyennes mensuelles des taux de croissance annuels
Une moyenne géométrique calculée à partir d'observations mensuelles est un taux mensuel. Si chacun des douze mois produit exactement 1%, la croissance annuelle est (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, et non 12%
Cet exemple précise les douze mois. Annualiser un seul mois observé à 1% décrit une répétition hypothétique, et non une performance réalisée sur un an ou une prévision
Pour des intervalles d'observation inégaux, une moyenne géométrique par observation n'est pas automatiquement un taux annuel. Utilisez le nombre réel d'années écoulées pour un CAGR de point à point valide et indiquez la convention de décompte des jours pour les années partielles
Un nombre annualisé lisse les points de départ et d'arrivée. Il ne signifie pas que le compte a obtenu ce taux chaque année et ne supprime pas les pertes intermédiaires importantes
Ne composez pas des positions simultanées comme des périodes successives
Supposons que 100 soient investis dans l'actif A et 900 dans l'actif B pendant la même période. A gagne 50%, tandis que B perd 10%. Leurs valeurs finales sont 150 et 810, soit un total de 960
Le rendement du portefeuille est (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. De manière équivalente, les pondérations initiales donnent 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%
La moyenne non pondérée de +50% et −10% est +20%, ce qui ignore l'allocation. Multiplier 1.50 par 0.90 est également faux ici : ces positions coexistent au lieu de représenter deux périodes du même capital
Les dépôts et retraits externes constituent une autre limite. Un solde passant de 10,000 à 15,000 après un dépôt de 5,000 n'est pas nécessairement un gain d'investissement de 50%
[La méthode GIPS relative aux flux de liquidités](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) distingue la performance pondérée dans le temps des rendements qui reflètent le calendrier et la taille des flux de liquidités
Utilisez le rendement du compte plutôt que de chaîner des pourcentages d'options ou de marge
Un gain en pourcentage sur une petite prime d'option n'est pas identique à un gain en pourcentage sur l'ensemble du compte. Des tailles de transaction différentes, des positions qui se chevauchent et des liquidités inactives empêchent de multiplier librement les rendements par transaction
[Le guide de l'OIC sur l'effet de levier](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) explique pourquoi les primes d'options peuvent afficher des gains et pertes en pourcentage amplifiés
Pour les contrats à terme, la marge déposée est une garantie et non le prix d'achat de l'exposition. Modifier ce dénominateur ne crée pas un nouveau rendement sur l'actif sous-jacent
[L'explication de CME sur la marge](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) précise ce que représentent ces fonds
Utilisez les dénominateurs de rendement des contrats à terme pour comparer une transaction, et des valorisations cohérentes de l'ensemble du compte pour la capitalisation du portefeuille. Incluez les positions ouvertes et ne comptez chaque coût qu'une seule fois
Auditez une affirmation sur les rendements moyens avant d'accepter le titre
Commencez par la question posée : moyenne des observations, croissance d'un investissement ou rendement d'un portefeuille de positions simultanées. Ces questions exigent des calculs différents
Les formules à facteurs positifs supposent que chaque rendement est supérieur à −100%. En cas de perte totale, il ne reste plus de capital à composer. Des capitaux propres négatifs exigent une analyse des flux de liquidités et des engagements, et non une comparaison normale de CAGR [!TRYMARK] Audit TryMark du rendement moyen À la prochaine revue de performance, cherchez à retrouver la valeur finale publiée. Reconstituez-la à partir des rendements datés du compte, puis vérifiez à nouveau le résultat lorsque les coûts, les hypothèses de réinvestissement ou les flux de liquidités externes changent [!WARNING] Une moyenne historique ne garantit pas une croissance reproductible Ni la moyenne arithmétique ni la moyenne géométrique n'établit le rendement de l'année prochaine. Un gain requis plus important ou un CAGR régulier ne justifie pas davantage de levier. Ces exemples expliquent une mesure, et non une recommandation d'investissement
- Enregistrez les dates, la durée des périodes, la devise et les valeurs de début et de fin
- Identifiez les revenus, le réinvestissement, les frais et les dépôts ou retraits externes
- Reconstituez la valeur finale à partir des facteurs de croissance successifs avant d'annualiser
- Étiquetez séparément la moyenne arithmétique, le rendement cumulé, le rendement géométrique par période et le CAGR
Questions fréquentes
La moyenne arithmétique peut-elle être positive alors que l'investissement perd de l'argent ?
Oui. Une année hypothétique à +30% suivie d'une année à −25% donne une moyenne de +2.5%, mais 1.30 × 0.75 = 0.975. Le capital baisse de 2.5% sur les deux années avant les coûts, malgré une moyenne arithmétique positive
La moyenne géométrique est-elle toujours identique au CAGR ?
Seulement lorsque l'unité de période et l'annualisation correspondent. La moyenne géométrique des rendements annuels est un taux annuel. À partir de rendements mensuels, elle est mensuelle ; le CAGR exprime la croissance par an selon les hypothèses de flux de liquidités indiquées
La moyenne arithmétique est-elle un calcul incorrect ?
Non. Elle résume correctement la moyenne des rendements observés par période. L'erreur consiste à utiliser cette statistique comme s'il s'agissait du taux composé constant qui reproduit la valeur finale d'un investissement
Puis-je utiliser les soldes de début et de fin pour calculer un CAGR après avoir ajouté de l'argent ?
Pas directement comme mesure de performance de l'investissement. Les dépôts et retraits modifient les soldes indépendamment des rendements. Séparez les flux externes datés et utilisez une méthode pondérée dans le temps ou par l'argent adaptée à la question