Two-Scale Realized Volatility: Varianzschätzung mit Mikrostrukturrauschen

Realisierte Varianz wird oft als Summe quadrierter Renditen berechnet. Würden beobachtete Logkurse den effizienten Kurs fehlerfrei abbilden, könnten häufigere Beobachtungen dessen Pfad genauer erfassen. Tatsächliche Transaktionspreise und Quotes enthalten jedoch auch Bid-Ask-Bounce, Preisrundungen, Latenz und weitere Mikrostruktureffekte. Bei sehr kurzen Abständen können diese Effekte größer sein als die Bewegung des effizienten Kurses zwischen zwei Beobachtungen.

Deshalb kann die naive realisierte Varianz mit zunehmender Beobachtungsfrequenz steigen, obwohl sich die zugrunde liegende integrierte Varianz über die Sitzung nicht verändert hat. Das belegt nicht, dass die wirtschaftliche Volatilität des Vermögenswerts gestiegen ist. Es kann daran liegen, dass verrauschte Kursdifferenzen quadriert und sehr oft aufsummiert werden. Der Leitfaden zur Berechnung realisierter Volatilität erläutert die gewöhnliche Summe quadrierter Renditen; hier geht es um eine bestimmte Verzerrung hochfrequenter Daten.

Zhang, Mykland und Aït-Sahalia führten TSRV ein, um zwei Auflösungen für unterschiedliche Zwecke zu verwenden (Originalarbeit zu den zwei Zeitskalen). Ein grobes Raster enthält weniger verrauschte Inkremente. Der Mittelwert über versetzte grobe Raster verringert die Abhängigkeit von einem einzigen willkürlichen Startpunkt. Das vollständige feine Raster liefert eine skalierte Schätzung des abzuziehenden Rauschbias. Das Ergebnis hängt von Annahmen und Entscheidungen bei endlicher Stichprobe ab; es ist daher ein unsicherer Schätzer und keine rauschfreie Beobachtung des latenten Pfads.

Sei \(X_t\) der latente effiziente Logkurs, dessen lokale Varianzrate \(\sigma_t^2\) im betrachteten Zeitfenster durch einen stetigen Prozess beschrieben wird. Zielgröße ist die integrierte Varianz

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Der protokollierte Logkurs zum Beobachtungszeitpunkt \(t_i\) sei

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

wobei \(\epsilon_{t_i}\) das Beobachtungsrauschen bezeichnet. Die klassische Herleitung setzt im Basismodell einen Erwartungswert von null, Unabhängigkeit zwischen Beobachtungszeitpunkten und vom effizienten Kursprozess sowie eine konstante Varianz \(\omega^2\) voraus. Außerdem werden ein regelmäßiges Raster und ein geeigneter stetiger Prozess für den effizienten Kurs angenommen. Das sind Modellbedingungen, keine allgemeingültige Beschreibung von Marktdaten.

Das beobachtete Inkrement lautet \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Ein Preisfehler geht mit entgegengesetztem Vorzeichen in zwei benachbarte Renditen ein: Ein positiver Fehler erhöht die eine Rendite und senkt die nächste. Deshalb verhalten sich Renditen aus verrauschten Preisen nicht wie unabhängige Messfehler. Warum Summen quadrierter Inkremente ohne Rauschen die Pfadvariation erfassen, erklärt der Leitfaden zur quadratischen Variation in der Finanzwelt.

Hier wird die Varianz über ein bestimmtes Zeitfenster geschätzt. Das ist weder eine Schätzung des Bid-Ask-Spreads noch eine Prognose oder realisierte Ausführungskosten. Für eine andere Frage zu Transaktionspreisen siehe den Roll-Schätzer für den Bid-Ask-Spread. Die Zielgröße sollte klar benannt werden, denn mehrere Mikrostrukturverfahren nutzen hochfrequente Kurse, schätzen aber unterschiedliche Größen.

Für \(n\) Renditen im feinen Raster sei die vollständige realisierte Varianz

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Im Basismodell ist der Rauschanteil einer beobachteten Rendite \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\) und seine Varianz \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Lässt man Kreuzterme weg, deren Erwartungswert unter den Unabhängigkeitsannahmen null ist, gilt näherungsweise

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Der erste Term ist die gewünschte integrierte Varianz; der zweite summiert einen Rauschbeitrag für jede feine Rendite auf. Wenn das Zeitintervall schrumpft und \(n\) wächst, kann der Rauschterm dominieren. Deshalb ist „so häufig wie möglich abtasten“ keine sichere Regel, wenn Messrauschen ignoriert wird. Aït-Sahalia, Mykland und Zhang untersuchen das endliche optimale Abtastintervall bei Mikrostrukturrauschen.

Die Näherung beschreibt einen Erwartungswert im Rahmen eines Modells. Eine konkrete Stichprobe enthält außerdem zufällige Kreuzterme zwischen effizienten Kursänderungen und Rauschen; der realisierte Wert muss daher nicht dem Erwartungswert entsprechen. Ändert sich die Rauschvarianz im Tagesverlauf, sind Fehler seriell abhängig oder ist die Stichprobe unregelmäßig, muss \(2n\omega^2\) den Bias nicht richtig beschreiben. Eine vertraute Formel kann dann eine präzise wirkende, aber unpassende Korrektur liefern.

Wählen Sie einen ganzzahligen Abstand \(K>1\). Für jeden Versatz \(k=0,\ldots,K-1\) wird die grobe realisierte Varianz berechnet, indem nur jeder \(K\)-te beobachtete Kurs verwendet wird:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Jedes grobe Inkrement umfasst einen längeren Zeitraum, das Raster deckt aber weiterhin ungefähr dasselbe Beobachtungsfenster ab. Mitteln Sie über alle verfügbaren Versätze:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Die Versätze sind wichtig. Ein einzelnes grobes Raster kann unmittelbar vor oder nach einer großen Bewegung beginnen; dann hängt das Ergebnis von dieser Wahl ab. Der Mittelwert über versetzte Raster verringert diese Startpunktempfindlichkeit. Es entstehen dadurch jedoch keine \(K\) unabhängigen Datensätze: Die Raster verwenden dieselben Beobachtungen erneut und sind statistisch abhängig.

Bei unabhängigem, gleichverteiltem Beobachtungsrauschen hat die Differenz der Rauschwerte an den beiden Endpunkten eines groben Inkrements weiterhin die Varianz \(2\omega^2\), da es unterschiedliche Beobachtungen sind. Es gibt aber weniger grobe als feine Renditen, sodass sich im Mittel weniger Rauschbias aufsummiert. Der Signalanteil bleibt ungefähr die integrierte Varianz, weil die groben Inkremente das Fenster statt nur eines Teilstücks abdecken.

Die Abbildung ist konzeptionell: Sie stellt einen gezackten beobachteten Pfad mehreren versetzten, gröberen Ansichten um einen glatteren latenten Pfad gegenüber. Sie zeigt weder Marktdaten noch ein tatsächliches Schätzergebnis. Schätzer auf Basis von Tageshoch und Tagestief statt dieser Zwei-Raster-Konstruktion behandelt der Leitfaden zu OHLC-basierten Spannweitenschätzern.

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Sei \(\bar n\) die durchschnittliche Zahl grober Renditen über die versetzten Raster und \(\lambda=\bar n/n\). Im Basismodell beträgt der Rauschbias des mittleren groben Rasters ungefähr \(2\bar n\omega^2\). Beim feinen Raster sind es ungefähr \(2n\omega^2\); folglich enthält \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) ungefähr \(2\bar n\omega^2\). Durch die Subtraktion fällt der führende Rauschterm weg:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Die rohe Differenz zieht auch den Anteil \(\lambda\) des Signals integrierter Varianz ab, da beide Varianzterme Signal enthalten. Eine gängige Endlichkeitskorrektur lautet daher

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Der Nenner stellt den Signalkoeffizienten in der vereinfachten Erwartungswertrechnung wieder her. Konventionen und Randbehandlung unterscheiden sich zwischen Implementierungen; dokumentieren Sie daher die Definition von \(n\), die Menge der Versätze und die Berechnung von \(\bar n\). Diese Korrektur beseitigt weder Stichprobenunsicherheit noch repariert sie ein falsch spezifiziertes Rauschmodell. Im klassischen asymptotischen Rahmen wird \(\lambda\) mit wachsender Stichprobe klein; in einem kurzen Fenster kann der Faktor dennoch wichtig sein.

Der Schätzer kann negativ werden, wenn \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Das bedeutet keine negative physische Variation, sondern dass der Rauschabzug in der endlichen Stichprobe die grobe Schätzung übersteigt. Eine Nullsetzung für eine nachgelagerte Anzeige ändert den Schätzer und fügt eine Abschneideregel hinzu. Bewahren Sie während der Analyse den Rohwert auf, prüfen Sie Skala und Annahmen und legen Sie jede spätere Abschneidung offen.

Angenommen, sieben hypothetische beobachtete Logkurse erzeugen sechs feine Renditen in Basispunkten: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Diese kleine Folge dient nur der Rechenerklärung; sie sind keine Börsendaten. Die realisierte Varianz des feinen Rasters ist

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Setzen Sie \(K=2\). Der erste Versatz fasst benachbarte Renditen zu den groben Renditen \([2,-2,2]\) bp zusammen; die Summe der Quadrate ist \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Der verschobene Versatz ergibt \([0,0]\) bp und eine Quadratsumme von null. Der Mittelwert der beiden Raster ist somit \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Bei sechs feinen Renditen und zwei Versätzen beträgt die durchschnittliche Zahl grober Renditen \(\bar n=(3+2)/2=2{,}5\). Damit ist \(\lambda=2{,}5/6=5/12\), und

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3{,}5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Die Varianzschätzung beträgt \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) in Einheiten des quadrierten Dezimalertrags. Die Wurzel ist über dieses hypothetische Fenster etwa \(2{,}45\) bp; sie ist nicht annualisiert. Dass TSRV in dieser konstruierten kleinen Folge numerisch der feinen RV entspricht, ist keine allgemeine Identität. Andere Pfade können einen größeren, kleineren oder sogar negativen Wert ergeben.

Das Beispiel zeigt zugleich eine Grenze des Modells: Da latenter Pfad und Rauschen nicht getrennt beobachtet werden, belegt diese Stichprobe nicht, dass \(6\,\mathrm{bp}^2\) der tatsächlichen integrierten Varianz entspricht. Summen, Skala und Einheiten lassen sich prüfen, die verborgene Zerlegung jedoch nicht aus dem Beispiel erschließen. Auch Realized-Kernel-Verfahren werden in der empirischen Literatur behandelt; sie haben eigene Annahmen und Implementierungsentscheidungen.

\(K\) steuert den Zielkonflikt zwischen der Zahl grober Renditen, der Mittelung und der Rauschkorrektur. Bei einem sehr kleinen \(K\) bleiben viele kurze Inkremente übrig, die empfindlich auf Rauschen reagieren können. Bei einem sehr großen \(K\) gibt es nur wenige grobe Renditen; die Schätzung wird instabiler und anfälliger für Effekte des endlichen Fensters. Versatzmittelung hilft bei der Rasterausrichtung, schafft aber keine fehlenden Informationen in einer kurzen oder schlechten Stichprobe.

In der ursprünglichen asymptotischen Analyse wächst der bevorzugte grobe Abstand mit dem Stichprobenumfang; unter der Notation und den Basisbedingungen der Arbeit liegt er in der Größenordnung \(n^{2/3}\) (Originalanalyse). Das ist eine theoretische Skalierung und keine allgemeine Vorgabe für eine bestimmte Anzahl Sekunden oder Beobachtungen. Das Optimum hängt vom Verhältnis von Rauschen zu Signal und den Annahmen ab; spätere Arbeiten und Implementierungen verwenden teils andere Abstimmungsregeln und Randkonventionen. Geben Sie Abtastintervall, \(K\), Versätze, Sitzungsgrenzen und Endlichkeitskorrektur an, damit sich die Schätzung reproduzieren lässt.

Eine belastbare Analyse kann eine vorab festgelegte Auswahl plausibler \(K\)-Werte vergleichen und deren Sensitivität zeigen, statt nachträglich den attraktivsten Wert auszuwählen. Ändern sich die Schätzungen deutlich, gehört diese Instabilität zum Ergebnis. Wählen Sie die Skala anhand des Datendesigns und einer dokumentierten Regel, nicht nachdem Sie die gewünschte Volatilität gesehen haben. Ein Vergleich mit gröberer realisierter Varianz oder einer rauschrobusten Alternative kann hilfreich sein; kennzeichnen Sie die Kennzahlen getrennt.

Die klassische Korrektur wird für eine bestimmte Rauschstruktur hergeleitet. Bid-Ask-Bounce und andere Mikrostruktureffekte können seriell abhängig sein, sich im Tagesverlauf ändern, von der Liquidität abhängen oder mit Änderungen des effizienten Kurses korrelieren. Hansen und Lunde dokumentieren in ihrer Studie zu realisierter Varianz, dass die Wechselwirkung Zeitabhängigkeit und Korrelation mit Änderungen des effizienten Kurses umfassen kann. Aït-Sahalia, Mykland und Zhang entwickeln später Two-Scale-Verfahren für abhängiges Mikrostrukturrauschen. Diese Erweiterung ist ein Grund, den modifizierten Schätzer von der ursprünglichen Formel mit unabhängigem Rauschen zu unterscheiden, nicht ein Beleg dafür, dass die ursprüngliche Formel jede Abhängigkeit bewältigt.

Weitere praktische Probleme sind unregelmäßige Beobachtungszeitpunkte, asynchrone Vermögenswerte, veraltete Quotes, diskrete Preise, Sprünge, fehlerhafte Transaktionen, Effekte zum Handelsbeginn oder -ende und fehlende Beobachtungen. Sie können sowohl die Korrektur des feinen Rasters als auch die Renditen im groben Raster beeinflussen. Je nach Forschungsfrage können Sprünge zur Zielgröße der quadratischen Variation gehören oder getrennt werden müssen; TSRV entscheidet diese Modellierungsfrage nicht. Auch eine Filterung verändert das Raster und muss dokumentiert werden.

Rauschrobustheit bedeutet keine Immunität gegen alle Datenprobleme. Bevor Sie eine Schätzung als latente Varianz interpretieren, bestimmen Sie, ob Transaktionspreise, Quotes oder Mittelpunkte eingehen; nennen Sie Renditetransformation und Zeitmaß; prüfen Sie die Gleichmäßigkeit der Abstände; dokumentieren Sie Datenbereinigung, Sitzung und Sensitivität gegenüber \(K\). Verletzt der Rauschprozess die Basisannahmen, verwenden Sie ein für diesen Fall entwickeltes Verfahren und erklären Sie dessen Annahmen. Bezeichnen Sie einen negativen Schätzwert nicht als negative Volatilität und wandeln Sie ihn nicht stillschweigend in einen positiven Wert um.

Ein transparenter Bericht nennt Zielfenster, Preisreihe, Abtastintervall, Zahl feiner Renditen, groben Abstand \(K\), Versatzmenge, Randregel, Rauschannahmen, Normierung, Einheiten und jede Abschneidung. Sie können rohe Differenz und normierte Schätzung zusammen mit einem Sensitivitätsbereich für vorab festgelegte Skalen zeigen. So lässt sich die Rechnung prüfen und eine Varianzschätzung wird nicht mit einem Quote, einer Zukunftsprognose oder einem Nachweis einer profitablen Handelsregel verwechselt.

Integrierte Varianz wird über das beobachtete Zeitfenster gemessen. Eine Annualisierung erfordert eine angegebene Zeitkonvention und darf Intraday-Muster, Nachtintervalle oder Handelslücken nicht verschleiern. Die Quadratwurzel ändert die Einheit in Volatilität für dieses Fenster; sie erzeugt keinen Prognosehorizont. Ein historischer realisierter Wert kann in ein Modell eingehen, doch Prognosegüte muss separat und außerhalb der zur Auswahl der Schätzereinstellungen verwendeten Daten geprüft werden.

Der methodische Beitrag von TSRV besteht darin, unter einem expliziten Modell additiven Rauschens mithilfe zweier Abtastskalen den führenden Rauschbias zu verringern, der naive hochfrequente realisierte Varianz inkonsistent macht. TSRV bestimmt weder die Quelle jeder Kursbewegung, beseitigt Modellrisiko noch sagt es die künftige Volatilität voraus. Nennen Sie diese Grenzen zusammen mit dem Ergebnis.