QLIKE oder quadrierter Fehler für Volatilitätsprognosen: verrauschte Proxys

Ein Volatilitätsmodell prognostiziert, wie stark die künftige Rendite streuen könnte, nicht ob sie positiv oder negativ ausfällt. Lege zuerst das Ziel fest, etwa die bedingte Renditevarianz des nächsten Tages in quadrierten Basispunkten. Prognosen der Standardabweichung und der Varianz sowie Schätzungen der Intraday-Realized-Variance hängen zusammen, sind aber ohne angegebene Umrechnung und Prognosehorizont nicht austauschbar.

Diese Frage ist unabhängig davon, wie ein Modell seine Prognose erstellt. Der GARCH-Leitfaden beschreibt eine Möglichkeit, die bedingte Varianz anhand vergangener Renditen zu aktualisieren. Dieser Leitfaden setzt danach an, wenn mindestens zwei Modelle Prognosen abgegeben haben, und fragt, wie sie mit einem unvollkommenen Maß der später eingetretenen Varianz bewertet werden.

„Beste Prognose“ hat keine eindeutige Bedeutung, bevor Ziel, Bewertungsstichprobe und Verlustfunktion feststehen. Ein Modell kann bei einem Verlust an erster und bei einem anderen an zweiter Stelle stehen, weil jede Verlustfunktion Prognosefehler anders gewichtet

Sei vₜ die unbeobachtete bedingte Varianz der Zielrendite, hₜ eine Prognose auf Basis der vor dieser Rendite verfügbaren Informationen und xₜ ein beobachteter Proxy für die Bewertung. Ein gängiger Proxy ist die quadrierte Rendite; sie ist für die Varianz jedoch nur dann bedingt unverzerrt, wenn der bedingte Renditemittelwert null ist. Ist der bedingte Mittelwert nicht null, schätzt die rohe quadrierte Rendite das bedingte zweite Moment statt der bedingten Varianz. Alternativ lässt sich ein Proxy aus Renditen bilden, nachdem der bedingte Mittelwert herausgerechnet wurde. Die aus Intraday-Renditen gebildete Realized Variance kann mehr Informationen über die Schwankung während einer Sitzung enthalten. Sie misst aber weiterhin ein bestimmtes Intervall und hängt von den Regeln für Stichprobenziehung und Preisdaten ab.

Das Abziehen eines geschätzten Mittelwerts beseitigt eine Proxyverzerrung nicht automatisch. Seien mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁] und hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁); wird der geschätzte Mittelwert m̂ₜ mit den am Prognoseursprung verfügbaren Informationen festgelegt, gilt E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Jeder vorhersagbare Schätzfehler des Mittelwerts fügt dem Proxy daher einen nichtnegativen Term hinzu. Geben Sie an, wie der Mittelwert geschätzt wird und ob der Proxy auf die Varianz oder das zweite Moment zielt, bevor Sie sich auf ein Ergebnis zu bedingter Unverzerrtheit stützen.

Für xₜ und hₜ müssen Basiswert, Renditedefinition, Zeitfenster, Horizont und Einheiten übereinstimmen. Wird xₜ in bp² gemessen, muss auch hₜ in bp² angegeben sein; der quadrierte Fehler hat dann die Einheit bp⁴. Eine tägliche Prognose der Varianz von Schlusskurs zu Schlusskurs sollte nicht anhand eines Realized-Maßes bewertet werden, das die Nacht auslässt, sofern dies nicht dem festgelegten Ziel entspricht.

Bewahre Proxywerte und Prognosen aller Modelle für dieselben Bewertungszeitpunkte auf. Fehlt einem Modell eine Prognose für ein Datum, lege vorab eine gemeinsame Stichprobe oder eine begründete Regel für fehlende Werte fest. Vergleiche über unterschiedliche Daten können Modellleistung mit den verschiedenen Marktbedingungen vermischen, denen die Modelle ausgesetzt waren

Der Verlust bei quadriertem Fehler für einen nichtnegativen Varianzproxy xₜ und eine positive Varianzprognose hₜ lautet:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Der QLIKE-Verlust lautet:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Niedrigere Werte sind besser. Für strikt positives xₜ wird QLIKE oft auch als Quotientenform xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1 geschrieben. Die Formeln unterscheiden sich um einen Term, der vom beobachteten Proxy, aber nicht von der Prognose abhängt. Bei einer gemeinsamen Stichprobe ergibt sich daher dieselbe Rangfolge. Die Form log(hₜ) bleibt auch bei xₜ = 0 definiert, sofern hₜ positiv ist. Patton definiert diese Varianzverluste und untersucht ihr Verhalten bei unvollkommenen Proxys (Patton, 2011).

QLIKE entspricht einem gaußschen Quasi-Likelihood-Score für Varianzprognosen (Hansen und Lunde, 2005). Daraus folgt weder, dass Renditen gaußverteilt sind, noch bestätigt ein niedriger Score die Verteilungsannahmen des Modells. Der quadrierte Fehler misst den absoluten Abstand zwischen Proxy und Prognose zum Quadrat. Entscheidend ist, welcher Score zum Vergleichsziel und zu den Annahmen über den Proxy passt

Der quadrierte Fehler wird in quadrierten Varianzeinheiten angegeben und wächst schnell, wenn Proxy und Prognose weit auseinanderliegen. Einige sehr große Proxywerte können deshalb den Mittelwert dominieren. Das kann sinnvoll sein, wenn große absolute Abweichungen in Varianzeinheiten deutlich stärker gewichtet werden sollen; es macht das Ergebnis aber empfindlich gegenüber Extremwerten.

Werden xₜ und hₜ mit demselben positiven Umrechnungsfaktor c multipliziert, kommt zu log(hₜ) + xₜ/hₜ der Term log(c) hinzu. Dieser Zusatz ist für alle Prognosen in derselben Proxy-Stichprobe gleich, sodass sich das Ranking nicht ändert; der absolute Wert des Logarithmusterms hängt jedoch von der gewählten Einheit ab. Über xₜ/hₜ reagiert QLIKE auf das Verhältnis von Prognose und Proxy, über log(hₜ) auf die Höhe von hₜ. Liegt eine Prognose im Verhältnis zu einem großen Proxy deutlich zu niedrig, steigt der Quotient stark an. Auch eine Überprognose wird mit wachsendem log(hₜ) stärker bestraft, bei vergleichbaren proportionalen Fehlern jedoch langsamer. QLIKE ist kein ausreißerrobuster Verlust: Auch ein extremer Proxy geht über xₜ/hₜ in den Score ein.

Keine der beiden Verlustfunktionen ist für jede Entscheidung überlegen. Der quadrierte Fehler gewichtet große absolute Abweichungen in Varianzeinheiten stärker; QLIKE bildet relative Fehler anders ab. Pattons Ergebnis zur Robustheit gegenüber Proxyrauschen besagt weder, dass beide Verluste Modelle gleich sortieren, noch dass einer von ihnen unempfindlich gegenüber Ausreißern ist

Angenommen, die beobachteten Varianzproxys lauten x = [1, 4] bp². Modell A prognostiziert hᴬ = [1, 1] bp², Modell B hᴮ = [4, 2] bp². Die Zahlen sind hypothetisch und zeigen, wie sich die Rangfolge je nach Verlust ändern kann.

Nach MSE liegt Modell A vorn: Sein durchschnittlicher Score beträgt 4,5 bp⁴ gegenüber 6,5 bp⁴ für Modell B. QLIKE bevorzugt Modell B: Der Durchschnitt liegt bei etwa 2,165 gegenüber 2,5 für A. Die zwei Perioden veranschaulichen nur die Rechnung. Sie reichen weder für eine Unsicherheitsschätzung noch für den Nachweis einer besseren Prognose und sagen nichts über eine Handelsstrategie aus <!-- learn:illustration -->

Ein Volatilitätsproxy kann verrauscht und dennoch bedingt unverzerrt sein. Es gelte E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, wobei Fₜ₋₁ die zum Prognosezeitpunkt verfügbaren Informationen bezeichnet. Der erwartete Verlust bei quadriertem Fehler für eine anhand dieser Informationen gebildete Prognose hₜ lautet:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Der Varianzterm hängt nicht von der jeweils bewerteten Prognose ab. Er erhöht den erwarteten MSE für beide Prognosen um denselben Betrag und fällt beim Vergleich der erwarteten Verluste weg. Für QLIKE folgt aus bedingter Unverzerrtheit:

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Das ist der Score, der bei Verwendung der latenten Varianz statt des Proxys entstünde. Unter diesen Bedingungen erhält jede Verlustfunktion die erwartete Rangfolge konkurrierender Varianzprognosen relativ zum latenten Ziel. Patton (2011) bezeichnet dies als proxyrobuste Rangfolge. Gemeint ist die Robustheit der erwarteten Rangfolge gegenüber Proxyrauschen, nicht Ausreißern.

Das Ergebnis setzt dieselbe bedingte Informationsmenge, einen bedingt unverzerrten Proxy, positive Prognosen für QLIKE und endliche erwartete Verluste voraus. Es besagt nicht, dass MSE und QLIKE Modelle gleich sortieren. Im Beispiel mit zwei Perioden beruhen beide Verluste auf denselben verrauschten Beobachtungen, gewichten die Prognosefehler aber unterschiedlich

Eine unveränderte erwartete Rangfolge garantiert nicht, dass jede beobachtete Stichprobe dieselbe Rangfolge wie die latente Varianz ergibt. Proxyrauschen erhöht die Streuung der beobachteten Verluste und kann die Teststärke eines Prognosevergleichs verringern. In einer kurzen Bewertungsperiode kann sich die Modellrangfolge allein deshalb ändern, weil einige Proxywerte zufällig ungewöhnlich hoch oder niedrig ausfallen, auch wenn der Proxy im Mittel bedingt unverzerrt ist.

Die Garantie gilt ebenfalls nicht, wenn der Proxy für das festgelegte Ziel bedingt verzerrt ist. Die Realized Variance aus hochfrequenten Daten kann von Geld-Brief-Wechseln, veralteten oder asynchronen Notierungen, der Stichprobenfrequenz und ausgelassenen Nachtrenditen beeinflusst werden. Ein Proxy für die Intraday-Integrated-Variance muss kein unverzerrtes Maß der bedingten Varianz von Schlusskurs zu Schlusskurs sein. Der Leitfaden zur Berechnung realisierter Volatilität erläutert Entscheidungen beim Aufbau des Maßes. Der Leitfaden zur Realized Variance mit zwei Skalen stellt einen Schätzer vor, der einen Teil des Mikrostrukturrauschens in hochfrequenten Daten berücksichtigen soll. Hansen und Lunde (2006) dokumentieren, wie Markt-Mikrostrukturrauschen die Messung der Realized Variance beeinflussen kann.

„Robust“ hat hier eine eng umrissene Bedeutung: Ist der Proxy bedingt unverzerrt, bleibt die erwartete Rangfolge erhalten. Das heißt nicht, dass der Stichproben-Score Ausreißer ignoriert, jedes Maß der realisierten Volatilität unverzerrt ist oder ein Zielkonflikt den Vergleich unberührt lässt. Lege dar, was der Proxy misst und mit welchen Annahmen er vₜ abbildet

Für zwei am selben Prognoseursprung festgelegte Prognosen hᴬₜ und hᴮₜ lautet die erwartete MSE-Differenz E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Unter derselben Proxybedingung beträgt die erwartete QLIKE-Differenz log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Diese Ausdrücke zeigen, was die Proxyrobustheit beseitigt: das zusätzliche Rauschen im erwarteten Proxy-Score. Die Prognosevergleiche bleiben dennoch verschieden, weil MSE und QLIKE Fehler unterschiedlich gewichten.

Lege zuerst den Score fest und berechne dann für jeden gemeinsamen Prognosezeitpunkt die gepaarte Verlustdifferenz. Mit dₜ = L_A,ₜ − L_B, spricht ein positiver Mittelwert für B, weil dessen Verlust niedriger ist. Ein Diebold–Mariano-Test prüft anhand der Zeitreihe dieser gepaarten Differenzen, ob die erwartete Differenz null ist. Er wählt weder zwischen QLIKE und MSE noch legt er fest, welches Ziel relevant ist. Der Diebold–Mariano-Leitfaden erläutert den allgemeineren Inferenzrahmen.

Überlappen Prognosen über mehrere Perioden oder sind die Score-Differenzen anderweitig seriell korreliert, verwende Standardfehler, die Abhängigkeiten berücksichtigen, etwa eine geeignete HAC-Schätzung. Newey und West (1987) stellen einen positiv semidefiniten HAC-Kovarianzschätzer vor. Nenne Horizont, Bewertungszeitpunkte, Vorzeichen der Verlustdifferenz, Kovarianzverfahren sowie bei Bedarf Kernel und Bandbreite. Ein kleiner p-Wert behebt keinen Proxy, der verzerrt ist oder nicht zum Ziel passt

Nutze ein chronologisches Out-of-Sample-Design und speichere die Prognosen, die jedes Modell zum jeweiligen Zeitpunkt tatsächlich abgegeben hätte. Lege Ziel, Proxykonstruktion, Horizont, Einheit, gemeinsame Stichprobe und Verlustfunktion fest, bevor du das bestplatzierte Modell betrachtest. Dokumentiere Schätzfenster, Regeln zur Neuschätzung, fehlende Beobachtungen und ob die Bewertungsperiode wiederholt zur Modellanpassung genutzt wurde. Werden MSE und QLIKE verglichen und nur der Sieger berichtet, lege diese Auswahl offen, statt sie als einzelnen vorab spezifizierten Test darzustellen.

Berichte den mittleren Verlust jedes Modells, die gepaarte Differenz, den Stichprobenumfang, die Proxydefinition und das Inferenzverfahren. Für QLIKE muss hₜ > 0 gelten. Lege daher eine mögliche Prognoseuntergrenze vor der Bewertung fest, denn sie kann die Scores verändern. Prüfe die Empfindlichkeit gegenüber vertretbaren Proxy- und Stichprobenentscheidungen und weise darauf hin, dass viele getestete Varianten selbst ein Auswahlproblem erzeugen.

Ein niedrigerer Volatilitätsverlust misst die Prognoseleistung gemäß Score und Proxy. Er zeigt weder, dass ein Prädiktor die Volatilität verursacht, noch dass Renditen normalverteilt sind oder eine Strategie nach Spreads, Gebühren, Slippage, Finanzierung und Risikogrenzen Geld verdient. Bewerte Prognosegüte und Handelsergebnis als getrennte Aussagen