اختبار KPSS للسكون: الفرضية الصفرية والإحصاء وعرض النطاق

اختبار Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin، المعروف اختصارًا باسم KPSS، يعكس الفرضية الصفرية في اختبارات Dickey–Fuller الشائعة. فرضيته الصفرية هي أن السلسلة ساكنة حول الحدود الحتمية المحددة في الاختبار. أما الصياغة الأصلية فتسمح في البديل بمكوّن مشي عشوائي ذي تباين ابتكار موجب.

يغيّر ذلك طريقة قراءة النتيجة. فالإحصاء الكبير بما يكفي دليل ضد فرضية السكون المختارة للمستوى أو الاتجاه. والإحصاء الصغير يعني أن العينة لم تقدم أدلة كافية لرفضها في ظل الإعداد المختار. لا يثبت ذلك أن العملية ساكنة، أو أن متوسطها سيبقى ثابتًا إلى الأبد، أو أن السعر سيعود إلى مستوى صالح للتداول.

يعرض دليل السكون وجذر الوحدة المفاهيم ذات الصلة. وتشرح مقارنة ADF وPhillips–Perron اختبارين يضعان جذر الوحدة بدلًا من ذلك في الفرضية الصفرية. إنهما سؤالان متكاملان، لا نسختان متبادلتان من الاختبار نفسه.

يمثل KPSS السلسلة المرصودة كما يلي:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

يمثل \(d_t\) الجزء الحتمي، ويمثل \(r_t\) مكوّن المشي العشوائي، بينما تمثل \(\epsilon_t\) خطأً ساكنًا. في اختبار سكون المستوى، يحتوي \(d_t\) على ثابت. وفي اختبار سكون الاتجاه، يحتوي على ثابت واتجاه زمني خطي.

تضع الفرضية الصفرية تباين ابتكار المشي العشوائي عند الصفر، \(\sigma_u^2=0\). عندها تتذبذب السلسلة حول الثابت المحدد أو الاتجاه الحتمي. أما البديل فيسمح بأن يكون \(\sigma_u^2>0\)، بحيث قد تتراكم الصدمات في اتجاه عشوائي بدلًا من أن تتلاشى حول المسار المحدد.

هذا نموذج مفترض للاختبار، وليس ادعاءً بأن كل بديل هو مشي عشوائي تقليدي. فالتغيرات الهيكلية، والاستمرارية الكسرية، والديناميكيات غير الخطية، وتغير التباين، وسوء اختيار الحدود الحتمية قد تجعل نموذج السكون غير ملائم للعينة. يكشف الاختبار التعارض مع افتراضاته، لكنه لا يحدد نموذجًا بديلًا وحيدًا.

أولًا، أجرِ انحدارًا للمشاهدات على الحدود الحتمية المختارة للاختبار، وسمِّ البواقي \(\hat e_t\). ثم احسب مجاميعها الجزئية التراكمية:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

يُكتب إحصاء KPSS عادةً بالشكل التالي:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

حيث \(n\) حجم العينة و\(\hat{\omega}^{\,2}\) تقدير للتباين طويل الأجل للبواقي. إذا تكررت إشارة البواقي مدةً، ابتعد \(S_t\) عن الصفر. ويجعل تربيع المجاميع الجزئية الانحرافات المستمرة مساهمةً أكبر من تبدلات الإشارة المنفردة.

لا يمكن أن يكون الإحصاء سالبًا. وكلما كبرت الانحرافات التراكمية مقارنةً بالتباين طويل الأجل، صَعُب الإبقاء على فرضية السكون. والمقام أساسي لأن الاعتماد التسلسلي للبواقي يغيّر مقدار التذبذب الذي ينبغي أن يظهر في المجموع الجزئي حتى عندما تكون العملية ساكنة.

يسأل إصدار المستوى ما إذا كانت السلسلة ساكنة حول ثابت. أما إصدار الاتجاه فيزيل أولًا ثابتًا واتجاهًا زمنيًا خطيًا، ثم يختبر سكون المكوّن المتبقي. تسمّي تطبيقات شائعة هاتين الحالتين mu وtau، لكن الأسماء وطريقة عرض النتيجة تختلفان باختلاف البرنامج.

يغيّر الاختيار البواقي والتوزيع المرجعي معًا. فإغفال اتجاه حتمي في سلسلة ساكنة حول اتجاه قد يُبقي نمطًا طويلًا في البواقي ويرفع الإحصاء. وإضافة اتجاه بلا مبرر تغيّر النموذج المختبَر وقد تقلل قدرة الاختبار على اكتشاف بعض البدائل. اختر المواصفة من تعريف البيانات والسؤال الاقتصادي، وسجّلها بدلًا من التبديل حتى تظهر نتيجة ملائمة.

تعتمد القيم الحرجة لـKPSS على توزيعات تقاربية غير معيارية تختلف بين حالتي المستوى والاتجاه. لا تقارن الإحصاء بحد عادي لتوزيع t أو كاي تربيع، ولا تفترض أن حدًا محفوظًا واحدًا يصلح لكل المواصفات الحتمية. استخدم الجدول أو مخرجات البرنامج المطابقة، واذكر مستوى الدلالة.

قد تعرض بعض التطبيقات نطاقًا لقيمة p فقط لأنها تقارن الإحصاء بجدول محدود من القيم الحرجة. عندها أبلغ عن النطاق الذي تدعمه المخرجات بدل اختراع منازل عشرية إضافية. واذكر حالة المستوى أو الاتجاه ومصدر القيمة الحرجة حتى يستطيع قارئ آخر إعادة القرار.

<!-- learn:illustration -->

يستخدم تقدير شائع للتباين طويل الأجل تجميعًا موزونًا للتغايرات الذاتية للبواقي:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

هنا، تُعرَّف \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) بأنها التغاير الذاتي للعينة عند الإبطاء \(j\) باستخدام المقام \(n\)؛ وقد تختلف اصطلاحات العينات المحدودة بين التطبيقات.

مع أوزان Bartlett يكون \(w_j=1-j/(\ell+1)\). يحدد عرض النطاق المقطوع \(\ell\) عدد التغايرات الذاتية التي تدخل التقدير وسرعة تناقص أوزانها. قد تختلف التطبيقات في النواة وقاعدة اختيار عرض النطاق واتفاقيات العينات المحدودة؛ لذلك يجب ذكر هذه الإعدادات لإمكان إعادة النتيجة.

هذا العرض ليس عدد إبطاءات الفروق التي تضاف إلى انحدار ADF. ففي KPSS يتحكم في تقدير التباين طويل الأجل، بينما تدخل إبطاءات التعزيز في ADF إلى الانحدار نفسه. وقد تستخدم البرامج كلمة lag لكليهما، لذلك لا تكفي عبارة مثل «الإبطاء 4» لوصف قابل لإعادة الإنتاج.

قد يستبعد العرض الأقصر من اللازم اعتمادًا قصير الأجل مهمًا من تقدير التباين طويل الأجل، وقد يضيف العرض الأطول كثيرًا تغايرات ذاتية عينية مشوشة. يمكن لأي منهما أن يغير الإحصاء وحجم الاختبار أو قدرته، ولا ينطبق اتجاه واحد على كل نمط للبواقي. اذكر النواة وقاعدة اختيار الإبطاءات، وافحص ما إذا كان بديل معقول محدد مسبقًا يغيّر التفسير.

يرتبط هذا التصحيح طويل الأجل بتقدير التغاير المتين لتغاير التباين والارتباط الذاتي، لكنه لا يجعل KPSS متينًا أمام كل اعتماد أو كسر هيكلي أو مواصفة حتمية خاطئة. يشرح دليل تغاير Newey–West الدور الأوسع لتقديرات HAC وحدودها.

لنفترض أن انحدار اتجاه على ست ملاحظات اصطناعية أعطى البواقي \(1,-1,0,0,-1,1\). مجموعها صفر ومتعامدة مع اتجاه زمني خطي، كما ينبغي لبواقي انحدار الاتجاه. مجاميعها الجزئية هي \(1,0,0,0,-1,0\)، ومجموع مربعاتها \(2\).

للتوضيح الحسابي، استخدم اتفاقية تغاير ذاتي عيني بمقام \(n\)، وأوزان Bartlett بعرض نطاق واحد. حد تباين البواقي هو \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). والتغاير الذاتي عند الإبطاء الأول هو \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\)، ووزنه Bartlett يساوي \(1/2\). لذلك:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

يوضح هذا الحساب ذو النقاط الست طريقة الحساب فقط. العينة أصغر من أن تدعم قرار KPSS التقاربي المعتاد، ولا ينبغي مقارنة الإحصاء بقيمة حرجة منشورة وكأنه نتيجة تجريبية.

قد يكشف تشغيل KPSS إلى جانب اختبار من عائلة ADF مقدار اعتماد الاستنتاج على الفرضية الصفرية. اقرأ الزوج بوصفه دليلًا في ظل نموذجين مختلفين:

قد تختلف الاختبارات في تصحيحات الإبطاء والمواصفات الحتمية والعينات المستخدمة والتقريبات للعينة المحدودة. وازن هذه الخيارات حيثما أمكن، وسجّل الاختلافات التي لا يمكن تجنبها. لا تحوّل الخانات الأربع إلى قاعدة آلية لتحويل البيانات، ولا يعني عدم الرفض أن الفرضية الصفرية صحيحة.

قد يجعل تغير مفاجئ في المتوسط أو اتجاه متبدل أو انقطاع في التباين عمليةً ساكنة داخل كل نظام تبدو غير ساكنة في العينة الكاملة. وعلى العكس، قد يصعب تمييز جذر قريب من الواحد عن جذر الوحدة في بيانات محدودة. كما قد تضلل العينة القصيرة والقيم الشاذة والذيل الثقيل والتعديل غير الخطي والتكامل الكسري التقريب المرجعي.

ارسم المستوى والملاءمة الحتمية المختارة والبواقي قبل الإبلاغ عن الاختبار. إذا كان الانقطاع محتملًا، فاستخدم تصميمًا يراعيه ويصرح بفرضيته الصفرية ومعالجة الانقطاع وقيمه الحرجة. وإذا بحثت تواريخ انقطاع أو عروض نطاق متعددة، فاكشف هذا الاختيار؛ فأصغر قيمة p في البحث ليست نتيجة اختبار لم تتأثر بالاختيار.

لا يختبر KPSS وجود التكامل المشترك بين أصلين عند دراسة فرق السعر أو السبريد. يشرح دليل Engle–Granger إجراءً قائمًا على البواقي ومشكلة مستقلة للقيم الحرجة، بينما يشرح دليل رتبة التكامل المشترك لـJohansen نهج الأنظمة. ولا تحل نتيجة KPSS لسلسلة سعر واحدة محل أي منهما.

إذا طبقت الاختبار على بواقي ناتجة عن نسبة تحوط مقدرة أو نموذج ARMA أو تاريخ انقطاع مختار، فتذكّر أن هذه البواقي تعتمد على خطوة ملاءمة سابقة. قد يغير تقدير المعلمات واختيار النموذج التوزيع الصفري. لا تفترض أن القيم الحرجة العادية صالحة للعملية كلها؛ استخدم اختبار بواقي معايرًا للنموذج الملائم أو محاكاة Bootstrap تعيد خطوات التقدير.

اذكر المتغير وتحويله، وعدد المشاهدات، وفرضية مستوى السكون أو اتجاهه، والحدود الحتمية، ونواة التباين طويل الأجل، وقاعدة عرض النطاق، والإحصاء، والقيم الحرجة المطابقة أو قيمة p، ومستوى الدلالة. ولا تعرض فحص الحساسية إلا إذا كانت البدائل مبررة ومعلنة بوضوح؛ لا تنتقِ النتيجة الأكثر جاذبية بعد تجربة نوافذ ونسخ كثيرة.

في بيانات السوق، سجّل تواريخ العينة وتواترها ومحاذاة الجلسات ومعالجة القيم المفقودة وما إذا كان الاختبار على مستوى سعر أو عائد أو باقٍ أو سبريد. عدم رفض فرضية KPSS الصفرية لا يعني أن السبريد سيتقارب قريبًا. وتحتاج استراتيجية الارتداد إلى المتوسط إلى توازن محدد واختبار خارج العينة وتوقيت إشارة متاح فعليًا وتكاليف واقعية للفارق والتمويل والاقتراض والتنفيذ.

يطرح اختبار مستوى لوغاريتم السعر سؤالًا مختلفًا عن اختبار العائد، أي الفرق الأول للوغاريتم. قد يزيل أخذ الفروق اتجاهًا عشوائيًا في بعض النماذج، لكنه يغير المتغير قيد الدراسة ولا يثبت علاقة طويلة الأجل بين أصلين. اختر التحويل وفق الكمية المستهدفة والنموذج، واذكره بوضوح.

تصوغ ورقة Kwiatkowski وPhillips وSchmidt وShin لعام 199290104-Y) الاختبار بوصفه اختبار LM لكون تباين مكوّن المشي العشوائي صفرًا. وتُعد ورقة Newey وWest لعام 1987 مرجعًا أساسيًا لتقدير HAC موجب شبه محدد. وللمقارنة مع فرضية جذر الوحدة، راجع ورقة Dickey وFuller لعام 1979.