اختبار Johansen للتكامل المشترك: الرتبة واختبار الأثر وأكبر قيمة ذاتية

لنفترض أن \(y_t\) يضم \(k\) متغيرات، يعامَل كل منها على أنه من رتبة التكامل \(I(1)\) وفق إعداد محدد لتوليد البيانات. رتبة التكامل المشترك \(r\) هي عدد التركيبات الخطية المستقلة لمستويات هذه المتغيرات التي تكون ساكنة. إذا كان \(r=0\)، فلا يجد النموذج مثل هذه التركيبة ضمن المواصفة المحددة. وإذا كان \(0<r<k\)، فهناك \(r\) علاقات مستقلة طويلة الأجل، وتبقى \(k-r\) اتجاهات عشوائية مشتركة في ظل الشروط المعتادة لنظام \(I(1)\). والرتبة واحد تعني وجود علاقة واحدة عبر النظام؛ ولا تعني بالضرورة وجود زوج واضح واحد من الأصول.

هذا سؤال عن النظام كله. تقدر طريقة Engle–Granger ذات الخطوتين معادلة طويلة الأجل واحدة بعد تطبيعها، ثم تختبر باقيها المقدّر. أما طريقة الاحتمال لـJohansen فتقدر بُعد فضاء التكامل المشترك في نموذج انحدار ذاتي متجهي وتختبره، ولذلك يمكنها تمثيل أكثر من علاقة مستقلة. الطريقتان تجيبان عن سؤالين مترابطين لكن مختلفين، وقد تختلف نتائجهما في العينات المحدودة أو مع اختلاف الإبطاءات والحدود الحتمية.

يمكن إعادة كتابة VAR في المستويات على هيئة مبسطة لمتجه تصحيح الخطأ، مع حذف الحدود الحتمية هنا:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

هنا \(p\) هو رتبة الإبطاء في VAR بالمستويات. وتصف أعمدة \(\beta\) التركيبات طويلة الأجل، بينما تضم \(\alpha\) معاملات التعديل التي تربط اختلال التوازن السابق بالتغيرات الحالية. إذا كانت رتبة \(\Pi\) تساوي \(r\)، فيمكن تحليلها إلى مصفوفتين \(\alpha\) و\(\beta\) من الحجم \(k\times r\). والرتبة، لا عدد المتغيرات وحده، هي التي تحدد عدد حدود تصحيح الخطأ الداخلة في النظام.

إذا كانت السلاسل \(k\) كلها فعلًا من رتبة \(I(1)\)، فإن الحالات المعتادة للتكامل المشترك تحقق \(r<k\). وتشير نتيجة الرتبة الكاملة إلى أن المستويات ساكنة حول الحدود الحتمية التي تسمح بها المواصفة المقدّرة، وينبغي عندها مراجعة فرضية رتبة التكامل الأصلية. أما الرتبة صفر فلا تثبت انعدام أي صلة بين المتغيرات؛ بل تعني أن النموذج المختار لم يجد تركيبة ساكنة للمستويات عند الرتبة المختبرة.

رتّب القيم الذاتية المقدّرة بحيث \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). تنتج هذه القيم عن مسألة الرتبة المخفضة في إجراء الاحتمال، وليست نسبًا عادية للتباين المفسّر. عند رتبة مرشحة \(r\)، تكون إحصائية الأثر

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

وتختبر \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) مقابل \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). فهي تجمع الأدلة من القيم الذاتية المتبقية. أما إحصائية أكبر قيمة ذاتية فهي

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

وتختبر الرتبة \(r\) مقابل الرتبة التالية \(r+1\). لذلك يسأل اختبار الأثر عما إذا كان العدد الإجمالي للعلاقات أكبر من \(r\)، بينما يسأل اختبار أكبر قيمة ذاتية عما إذا كانت البيانات تدعم إضافة العلاقة التالية. ولا يتبع أي من الإحصائيتين توزيع كاي تربيع المرجعي المعتاد تحت فرضية العدم الخاصة بالرتبة.

تخيّل نظامًا من ثلاثة متغيرات لديه 200 مشاهدة صالحة، وقيمه الذاتية المقدّرة المرتبة هي \(0.16\)، و\(0.05\)، و\(0.01\). هذه أرقام افتراضية للتعليم وليست تقديرات سوقية. عند \(r=0\)، تجمع إحصائية الأثر الحدود الثلاثة، فتبلغ نحو \(47.14\)، بينما تستخدم إحصائية أكبر قيمة ذاتية الحد الأول وحده، فتبلغ نحو \(34.87\). وعند \(r=1\)، تكون القيمتان نحو \(12.27\) و\(10.26\) على التوالي؛ وعند \(r=2\)، تستخدمان القيمة الذاتية الأخيرة وتساوي كل منهما نحو \(2.01\).

ينتج الحساب إحصاءات اختبار، لا قرارًا بشأن الرتبة. لاتخاذ القرار، قارن كل إحصائية بقيم حرجة أو قيم \(p\) مطابقة للحالة الحتمية الدقيقة وتسلسل الاختبارات. فمثلًا، عبارة جدول برنامج إحصائي «ارفض عند \(r=0\)» تعد دليلًا ضد الرتبة صفر وفق افتراضات الجدول ومستوى الدلالة المختار؛ ولا تمثل احتمالًا مباشرًا لكون فارق أصل بعينه ساكنًا. وإذا تجاوزت قيمة \(p\) العتبة، فهذا يعني عدم رفض فرضية العدم الخاصة بتلك الرتبة، لا إثبات صحتها.

اختر رتبة VAR يمكن الدفاع عنها قبل تفسير الرتبة. فـVAR في المستويات برتبة \(p\) يقابل \(p-1\) من إبطاءات الفروق في VECM. قد يترك العدد القليل جدًا من الإبطاءات ارتباطًا تسلسليًا في البواقي، بينما يستهلك العدد الكبير درجات الحرية وقد يجعل الاستدلال في العينات المحدودة غير مستقر. يمكن لمعايير المعلومات تنظيم الرتب المرشحة، لكن تشخيص البواقي وحجم العينة والتوقيت الاقتصادي مهم أيضًا. اذكر طريقة اختيار الرتبة وافحص بدائل معقولة.

قرر أين توضع الثوابت والاتجاهات: خارج علاقة التكامل المشترك، أو داخلها مع فرض قيود، أو تُحذف من النموذج المفترض. تعني هذه الحالات سلوكًا مختلفًا طويل الأجل وتوزيعات مختلفة لاختبار الرتبة. اختر المواصفة وفق السؤال والبيانات، لا عبر البحث عن قيمة \(p\) الأكثر ملاءمة. استخدم قيمًا حرجة تطابق الحالة الحتمية الدقيقة وعدد المتغيرات وطريقة التنفيذ. إحصاءات رتبة Johansen لها توزيعات غير معيارية؛ وقد حسب MacKinnon وHaug وMichelis توزيعات بأسطح استجابة لاختبارات نسبة الاحتمال من نوع Johansen ذات المواصفات المحددة، بما في ذلك امتداد يسمح بمتغيرات خارجية من رتبة \(I(1)\). ولا يجوز نقل قيمهم إلى كل إعداد لاختبار الرتبة.

موضع الحد الحتمي ليس خيارًا تجميليًا في البرنامج. في صيغ شائعة، يسمح الثابت المقيّد داخل علاقة التكامل المشترك بأن يكون لمزيج التوازن متوسط غير صفري؛ وقد يسمح الثابت غير المقيّد خارجها بانجراف حتمي مختلف في المستويات. كما تغير قيود الاتجاه المسار طويل الأجل المفترض. لذلك لا تكفي نتيجة تقول «يتضمن ثابتًا» ما لم تحدد موضعه. اقرأ معادلة النموذج واذكر كل قيد.

فضاء التكامل المشترك هو التقدير المحوري. في نموذج رتبته واحد، لا يؤدي ضرب المتجه \(\beta\) في ثابت غير صفري إلى تغيير تركيبة المستويات الساكنة؛ لذا يختار المحلل تطبيعًا، مثل جعل أحد المعاملات يساوي واحدًا. وفي الرتب الأعلى، يمكن لقواعد أساس كثيرة أن تمثل الفضاء نفسه؛ لذلك لا تمثل المتجهات التي يعرضها البرنامج علاقات اقتصادية وحيدة تلقائيًا. يتطلب تفسير متجه بعينه فرض قيود أو الاستناد إلى نظرية إضافية، وينبغي الإبلاغ عن التطبيع المستخدم.

تتناول مصفوفة التعديل \(\alpha\) المتغيرات التي تستجيب لاختلال التوازن في النظام المقدّر. تعتمد إشارة معاملها على التطبيع المختار، كما أن عناصرها معاملات شرطية في النظام وليست آثارًا سببية منفردة. وقد يدفع معامل تعديل صغير أو صفري إلى اختبار فرضية الخارجية الضعيفة، لكن ذلك يتطلب قيودًا رسمية مناسبة ونموذجًا مفترضًا. لا تحدد رتبة التكامل المشترك وحدها أي متغير «يقود»، أو أي علاقة ذات معنى اقتصادي، أو كيفية تأثير صدمة في الأسعار المستقبلية.

عدم التفرد خاصية للتفكيك، لا مجرد مشكلة في طريقة العرض. إذا كانت \(H\) غير منفردة، فإن \(\beta H\) و\(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) تنتجان مصفوفة \(\Pi\) طويلة الأجل نفسها. لذلك قد يكون الفضاء المقدّر محددًا حتى إذا لم تكن مجموعة المتجهات المعروضة بعينها كذلك. ويتطلب اختيار متجه بوصفه فارقًا قابلًا للتداول تطبيعًا صريحًا أو قيدًا اقتصاديًا، كما يلزم تحليل وحداته ومخاطره على حدة.

عادة ما تُقيّم الرتبة باختبار القيم المرشحة بالتتابع، بدءًا من الصفر والصعود حتى أول فرضية عدم لا تُرفض. والرتبة المختارة قرار نمذجة وفق مستوى الدلالة والمواصفة المحددين. إذا اختلفت نتائج اختباري الأثر وأكبر قيمة ذاتية، فأبلغ عن كليهما وافحص طول الإبطاء والحدود الحتمية وضعف القدرة والقفزات الهيكلية وحساسية العينة بدل إخفاء الاختلاف.

القيم الحرجة لاختبار نسبة الاحتمال غير معيارية وتعتمد على مواصفة النظام. وقد تجعل سلوكيات الجذر القريب من الواحد أو العينات القصيرة أو القيم الشاذة أو تغيرات النظام أو المتغيرات من رتبة \(I(2)\) أو المتغيرات الخارجية المتكاملة إعداد \(I(1)\) المبسط غير مناسب. ولا يغطي جدول الرتب القياسي هذه الحالات تلقائيًا. يطور عمل Johansen الأصلي الاستدلال بالاحتمال في ظل افتراضات VAR غاوسي؛ وتوفر الحسابات اللاحقة لأسطح الاستجابة توزيعات مرجعية لإعدادات محددة، لا لكل مشكلة ممكنة في البيانات.

مثلًا، إذا رفض اختبار الأثر \(r=0\) و\(r=1\) ولم يرفض \(r=2\)، فإن التسلسل التقليدي يختار الرتبة الثانية في ظل تلك المواصفة ومستوى الدلالة. ولا يعني ذلك أن احتمال صحة الرتبة الثانية يساوي واحدًا. يقارن تسلسل اختبار أكبر قيمة ذاتية بين فرضيات رتبة متجاورة، لذا ينبغي عرض قراراته أيضًا. لا تستخدم القيمة الحرجة لأحد الاختبارين مع إحصاء الاختبار الآخر.

والرتبة المختارة تخص فترة العينة أيضًا. فقد يؤدي تغير العلاقة الاقتصادية أو بنية السوق أو تعريفات المتغيرات إلى اختلاف التقديرات بين الجزء المبكر والمتأخر من العينة. ويمكن لتحليل الحساسية كشف هذا الاستقرار أو غيابه، لكن البحث في عدد كبير من نقاط النهاية يخلق مشكلة إضافية من تعدد الاختبارات. وضّح الفترات التي حُددت مسبقًا، وتعامل مع التقسيمات غير المخططة على أنها أدلة استكشافية.

في دراسة تداولية، قد يكون متجه \(\beta\) المقدّر مرشحًا لتعريف فارق، لكن الرتبة لا توفر مستويات الدخول والخروج أو أحجام المراكز أو العوائد المتوقعة. ومع تعدد متجهات التكامل المشترك، قد ينطوي اختيار تركيبة بعينها على تطبيع وقيود وانتقاء للبيانات. وقد تعني الأوزان مراكز بيع على المكشوف أو رافعة مالية أو سيولة ضعيفة حتى عند تقدير علاقة إحصائية.

قدّر النظام باستخدام المعلومات المتاحة في كل تاريخ قرار، واختبر عملية الاختيار وإعادة التقدير كاملة بترتيب زمني. تحقق من استقرار العلاقة خارج العينة، وأدرج توزيعات الأرباح وترحيل العقود وتحويل العملات وتكاليف التمويل وإمكانية الاقتراض وفروق العرض والطلب وأثر السوق وتوقيت التنفيذ حسب الحاجة. رفض فرضية الرتبة دليل يخص نموذجًا محددًا، وليس ادعاءً بالربحية. يشرح دليل اختبار Engle–Granger وتصحيح الخطأ البديل ذي المعادلة الواحدة، ويوضح التكامل المشترك مقابل الارتباط في تداول الأزواج أن الارتباط ليس الخاصية نفسها.

حدد المتغيرات \(k\)، والتحويلات، وتواتر المشاهدات، وتواريخ العينة، وأدلة رتبة التكامل. أبلغ عن رتبة إبطاء VAR بالمستويات، وموضع الحدود الحتمية، وحجم العينة الفعلي، وإحصاءات الأثر وأكبر قيمة ذاتية، والقيم الحرجة أو قيم \(p\) المطابقة، ومستوى الدلالة، وقرارات الرتبة المتسلسلة. واذكر إن كان الاختباران قد اتفقا، وأي رتبة اعتمدتها، وما فحوص الحساسية التي غيّرت النتيجة.

عند عرض المتجهات، اذكر التطبيع والقيود ومعاملات التعديل المقابلة. وفي التطبيق التداولي، أفصح عن المعلومات المتاحة عند كل إعادة موازنة، وقاعدة اختيار المتجه، وتصميم الاختبار خارج العينة، والتكاليف ومعالجة الإخفاق. يطور تحليل Johansen لمتجهات التكامل المشترك عام 198890041-3) منهج الاحتمال لفضاء التكامل المشترك ورتبته. وتتناول معالجته لنموذج VAR الغاوسي عام 1991 استدلال الرتبة والفرضيات حول المتجهات. ويقدم MacKinnon وHaug وMichelis توزيعات أسطح الاستجابة لاختبارات نسبة احتمال التكامل المشترك. ويوضح الدليل المرتبط الاستقرارية وجذور الوحدة.