اختبار ADF مقابل Phillips–Perron: كيف تختلف اختبارات جذر الوحدة؟

في معادلة مستوى ذاتية الانحدار، يعني جذر الوحدة أن الصدمة قد لا تتلاشى من المستوى. وعند كتابة الفرق الأول انحداراً على المستوى المتأخر، تصبح الفرضية واضحة: إذا كان معامل المستوى المتأخر صفراً، فللعملية جذر عند الواحد ضمن النموذج المحدد. ويشير المعامل السالب إلى بديل ساكن، مع مراعاة الحدود الحتمية والافتراضات الأخرى.

لذلك فالفرضية الصفرية في التطبيقات المعتادة لا تقول إن السلسلة ساكنة؛ بل تقول إنها تحتوي على جذر وحدة. أما البديل فيفترض السكون حول المكوّن الحتمي المختار. وعدم سلبية الإحصاء بما يكفي لرفض الصفر لا يثبت وجود الجذر. فقد لا تحتوي العينة على معلومات كافية للتمييز بين جذر وحدة وعملية ساكنة شديدة الاستمرارية وجذرها قريب من الواحد.

وهذا يختلف عن اختبار تكون فيه السكون هي الفرضية الصفرية، مثل KPSS، وعن الاختبار المباشر للتكامل المشترك. يشرح دليل السكون وجذر الوحدة المفاهيم الأوسع، بينما يتناول دليل Engle–Granger الحالة الخاصة التي يكون فيها مزيج خطي من سلاسل غير ساكنة ساكناً.

يمكن لانحدار جذر الوحدة أن يتضمن لا شيء من الحدود الحتمية، أو ثابتاً، أو ثابتاً واتجاهاً زمنياً خطياً. وهذه ليست مفاتيح شكلية. فالثابت يسمح بانجراف تحت الصفر ذي الجذر وبمتوسط غير صفري تحت البديل الساكن. ويسمح الاتجاه الزمني بأن تتذبذب العملية الساكنة حول اتجاه حتمي. ويتغير النموذج والتوزيع الصفري باختلاف هذه الحدود.

قد يؤدي إدراج اتجاه غير لازم إلى خفض القوة لأن النموذج يقدر معاملات إضافية. وقد يؤدي إسقاط انجراف أو اتجاه موجود فعلاً إلى تشويه الحجم والتفسير. اختر الحدود الحتمية وفق السؤال المتعلق بعملية توليد البيانات وشكل السلسلة، واذكرها صراحةً واستخدم القيم الحرجة المطابقة. لا تنتقِ المواصفة التي تعطي الرفض المرغوب.

وينطبق ذلك أيضاً على السعر اللوغاريتمي والسبريد وسعر الفائدة والعائد؛ فقد يكون الاتجاه الصاعد معقولاً لمستوى السعر وغير مناسب للعائد. لا يختار الاختبار المعنى الاقتصادي للمتغير نيابةً عنك. الحدود الحتمية جزء من الفرضية وليست تفصيلاً مخفياً في المعالجة المسبقة.

يمكن كتابة انحدار ADF كما يلي:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

يمثل dₜ الحدود الحتمية المختارة، والفرضية الصفرية هي H₀: γ = 0. وتهدف فروق الإبطاء الإضافية إلى جعل الاضطراب المتبقي مناسباً لتقريب الاختبار. فهي تمثل ديناميكيات الأجل القصير داخل الانحدار بطريقة معلمية، ولا تضيف قيوداً جديدة لجذر الوحدة.

اختيار رتبة الإبطاء p مهم. فالإبطاءات القليلة قد تترك ارتباطاً تسلسلياً في εₜ وتضعف التقريب المقصود، بينما تستهلك الكثيرة درجات الحرية وقد تقلل القوة، خصوصاً في العينات القصيرة. اذكر الحد الأقصى للإبطاء، وقارن قاعدة معيار معلومات معقولة بتشخيص البواقي، وأفصح عن تغير النتيجة عند استخدام رتب مجاورة. صغر الإبطاء المختار لا يثبت أن الاعتماد المتبقي غير مؤذٍ. وتبحث دراسة Harris (1992)90022-Q) اختيارات تشغيلية في بنية إبطاء ADF وحجمه وقوته.

قد يكون اختيار الإبطاء صعباً في بعض العمليات. يبيّن Ng وPerron أن وجود جذر متوسط متحرك قريب من −1 قد يجعل AIC أو BIC التقليديين يختاران إبطاءات قليلة جداً في إجراءات الوحدة التي درساها. وقد صُممت معاييرهما المعدلة لإجراءات تستخدم إزالة الاتجاه بطريقة GLS واختبارات مرتبطة بها. هذا تحذير في ظل ديناميكيات معينة، وليس قاعدة عامة بأن معياراً أو إبطاءً أطول أفضل دائماً.

يبدأ اختبار Phillips–Perron بانحدار على نمط Dickey–Fuller دون مجموع فروق الإبطاء في ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

ثم يصحح إحصاء الاختبار باستخدام تقديرات للتباين قصير الأجل والتغاير طويل الأجل. ويمكن كتابة شكل شائع لتقدير التباين الطويل كما يلي:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

حيث إن γ̂ⱼ هي التغايرات الذاتية للبواقي، وK وزن نواتي، وℓ عرض النطاق أو رتبة القطع. تختلف التفاصيل الدقيقة باختلاف إحصاء PP واتفاقيات البرمجيات، لكن الفكرة مستقرة: يضيف ADF فروقاً متأخرة إلى الانحدار، بينما يطبق PP تصحيحاً لا معلمياً للاعتماد على إحصاء انحدار أقصر.

ليس PP مجرد “ADF بأخطاء معيارية متينة”. فهو يغيّر إحصاء جذر الوحدة ومعالجته التقاربية؛ ولا تجعل مخرجات الانحدار ذات الأخطاء المتينة قيمة t التقليدية صالحة. يحدد النواة وعرض النطاق مقدار الاعتماد الذي يلتقطه التصحيح. وقد يفوّت العرض الضيق ارتباطاً مهماً، بينما يجعل العرض المفرط تقدير التباين الطويل أكثر ضوضاءً.

<!-- learn:illustration -->

تحت فرضية جذر الوحدة، يتولد المستوى المتأخر من اتجاه عشوائي لا من متغير تفسيري ساكن. لذلك تكون التوزيعات الحدية لإحصاءات DF غير معيارية، ولا تمثل جداول t التقليدية مرجعاً لها حتى في العينات الكبيرة. وتتوقف القيم الحرجة على وجود ثابت أو اتجاه زمني، وعلى الإحصاء والتنفيذ المستخدمين.

تُحوّل إحصاءات PP لمراعاة الاعتماد، لكن اختبار جذر الوحدة يظل مقارناً بقانون مرجعي غير معياري مناسب. استخدم قيماً حرجة أو قيماً احتمالية من تنفيذ موثوق يطابق الحدود الحتمية والإحصاء. لا تقارن إحصاء ADF بمواصفة مع قيم PP الحرجة لمواصفة أخرى، ولا تعامل نسبة t لمعامل معروضة كأنها إحصاء Student t عادياً.

ولا يضمن الضبط التقاربي أداءً جيداً في كل عينة محدودة. وجدت دراسة Schwert لمحاكاة مونت كارلو حساسية إجراءات جذر الوحدة لسوء تحديد النموذج واختلاف سلوكها في العينات المحدودة. لذلك اقرأ القيمة الاحتمالية مع طول العينة وديناميكيات البيانات وإعداد الإبطاء أو عرض النطاق والمواصفة في الحسبان.

حجم الاختبار هو احتمال رفض فرضية جذر وحدة صحيحة، أما القوة فهي احتمال الرفض في ظل بديل ساكن محدد. وقد يبدو الاختبار حاسماً في عينة لكنه يكون سيئ الحجم تحت بنية الاعتماد الفعلية. يعالج إبطاء ADF وتصحيح التباين الطويل في PP مشكلات مرتبطة بالاعتماد بتقريبين مختلفين؛ لذلك لا يضمن أحدهما أن النتيجة الأخرى أصبحت متينة.

في ADF، تحقق من بقاء ارتباط ذاتي في البواقي بعد إضافة الإبطاءات ومن أثر زيادة رتبة الإبطاء على الاستدلال. وفي PP، اذكر النواة وقاعدة عرض النطاق واختبر بدائل معقولة. هذه فحوص حساسية وليست ترخيصاً للبحث بين مواصفات كثيرة والإبقاء على القيمة الاحتمالية الأكثر ملاءمة. كما أن نتائج Ng–Perron تحذر من تفاعل اختيار الإبطاء مع عملية الخطأ وإزالة الاتجاه الحتمي؛ فلا يحسم معيار معلومات آلي كل تصميم.

قد تكون قوة الاختبارين منخفضة أمام بدائل ساكنة شديدة الاستمرارية. وعدم رفض الصفر ليس دليلاً إيجابياً على ضرورة التفريق. إذا كانت العينة قصيرة أو الجذر قريباً من الواحد أو كان الاستنتاج مهماً للنموذج، فاستخدم أدلة مكملة وإجراءات أخرى بافتراضات معلنة بدلاً من اعتبار ADF وPP صوتين مستقلين.

قد تجعل قفزة المستوى أو تغير الاتجاه أو تحول السياسة أو تغيير ربط العملة أو تبدل بنية السوق العملية تبدو شديدة الاستمرارية، مع أن وصفها كسلاسل ساكنة حول مسار حتمي متغير قد يكون أنسب. يوضح تحليل Perron للتغيرات التاريخية الكبرى كيف يتوقف استنتاج جذر الوحدة على السماح بوجود انقطاع. ولا يكتشف ADF أو PP القياسي كل انقطاع تلقائياً.

ارسم السلسلة وسجل التغيرات المؤسسية المعروفة، ثم اسأل إن كان اختبار يسمح بانقطاع أو نموذج مجزأ يجيب عن السؤال. وقد يؤثر البحث عن الانقطاع بعد معاينة العينة نفسها في الاستدلال؛ لذا استخدم إجراءً يراعي البحث أو صرّح بأن التحليل استكشافي. يشرح دليل Bai–Perron تقدير انقطاعات الانحدار، وهو إجراء منفصل لا تصحيح مباشر لـADF أو PP غير المعدلين.

ويهم التحويل أيضاً. مستوى السعر والسعر اللوغاريتمي وسبريد السعر والعائد متغيرات مختلفة اقتصادياً. وقد يجعل تفريق مستوى مرجح الجذر أكثر استقراراً، لكن تفريق مستوى ساكن قد يهدر معلومات ويولد مواصفة أكثر ضوضاءً. في أبحاث الأزواج يساعد تحليل التكامل المشترك على التمييز بين اتجاهات عشوائية منفصلة وسبريد قد يكون ساكناً. ولا يثبت أي تشخيص وحده ربحية استراتيجية.

افترض مستوى افتراضياً يتبع:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

حيث μ انجراف ثابت وقد تكون الابتكارات εₜ مترابطة تسلسلياً. بطرح yₜ₋₁ نحصل على Δyₜ = μ + εₜ، فيكون معامل المستوى المتأخر γ صفراً في انحدار الفروق المقابل، وهي صيغة فرضية جذر الوحدة. لا تعطي هذه الجبرية قيمة احتمالية؛ فالقانون المرجعي غير معياري ويتوقف على الحدود الحتمية ومعالجة الاعتماد.

إذا استُخدم ADF حاولت فروق الإبطاء تمثيل الاعتماد قصير الأجل في الانحدار. أما PP فيبقي المعادلة الأساسية أقصر ويستخدم تصحيحاً مقدراً للتغاير الطويل. وإذا تضمنت البيانات تغيراً بنيوياً في اتجاه حتمي فقد يكون كلا التنفيذين القياسيين سيئ التحديد، حتى لو أظهر البرنامج إحصاء يبدو دقيقاً.

تتكون المقارنة من ثلاث طبقات: الفرضية الموضوعية، ومواصفة الانحدار والحدود الحتمية، وتصحيح الاعتماد المتبقي. تثبيت الطبقتين الأوليين يجعل ADF وPP تشخيصين بديلين مفيدين؛ أما تغيير الطبقات كلها حتى يرفض أحدهما فليس اختبار متانة. اختلاف النتيجتين يدعو إلى فحص الافتراضات والإعدادات، لا إلى اختيار فائز يفرض النموذج.

اذكر المتغير وتحويله وتواريخ العينة وتواتر الرصد والحدود الحتمية وقاعدة إبطاء ADF ورتبته المختارة، أو إحصاء PP ونواته وعرض نطاقه. صرّح بالفرضيتين والإحصاء والقيمة الحرجة أو الاحتمالية المطابقة، وبفحوص الارتباط الذاتي للمتبقي والانقطاع. إذا تأثرت النتيجة بإعدادات معقولة فاذكر ذلك ولا تعرض المواصفة المؤيدة لرواية مفضلة وحدها.

يبدأ المسار العملي بتحديد الهدف والنموذج الاقتصادي، ثم اختيار الحدود الحتمية، وتشغيل ADF أو PP بمواصفة مناسبة، وفحص الاعتماد والانقطاعات، ومقارنة النتيجة بأدلة مكملة. يفحص دليل اختبار نسبة التباين نتيجة مختلفة لسلوك المشي العشوائي، ولا يشترك معه في الفرضية الصفرية أو يحل محل اختبار جذر الوحدة.

لا يأمر ADF ولا PP بالتفريق عندما تتجاوز القيمة الاحتمالية عتبة معينة. التفريق قرار نمذجة يخص السلسلة والسؤال: فقد تختلف الخيارات بين توقع التغيرات وتقدير علاقة طويلة الأجل واختبار سبريد تداول والحفاظ على المعلومات في المستويات. يساعد الاختبار في القرار، لكن ينبغي أن يراعي التحويل النهائي قصة توليد البيانات والاستقرار وهدف التوقع وأي بنية للتكامل المشترك.