اختبارات باي–بيرون للانقطاعات الهيكلية المتعددة في الانحدار

يعني الانقطاع الهيكلي في الانحدار أن معاملًا واحدًا أو أكثر ربما تغيّر عند نقطة مجهولة في العينة. وقد يخفي تقدير واحد للعينة كلها ذلك: فإذا كانت علاقة العائد بالمخاطر موجبة في فترة ثم أصبحت أضعف أو انعكست لاحقًا، فقد لا يصف معاملها المتوسط أيًا من الفترتين جيدًا. تحوّل إجراءات باي–بيرون هذا القلق إلى بحث محدد عن تقسيمات للمشاهدات.

الفرق الأساسي عن اختبار تشاو هو ما إذا كان التاريخ قد حُدد مسبقًا. يقارن اختبار تشاو عينات فرعية محددة حول تاريخ مُعطى؛ أما تجربة تواريخ عديدة والإبلاغ عن أكبر إحصاء تشاو اعتيادي فلا تحافظ على التوزيع المرجعي المعتاد للاختبار. تراعي اختبارات باي–بيرون البحث عبر تواريخ مرشحة ويمكنها تقييم أكثر من انقطاع واحد. انظر إلى دليل اختبار تشاو لحالة التاريخ المحدد مسبقًا.

والفرق عن CUSUM للانحدار مهم أيضًا. يفحص CUSUM مسارًا مرتبًا للبواقي التكرارية بحثًا عن دليل على عدم الاستقرار، لكنه لا يعيد بمفرده مجموعة مختارة من تواريخ الانقطاع المتعددة. أما باي–بيرون فيقدّر تقسيمًا ضمن نموذج انحدار مقطعي صريح. ولا تفسر أي من الطريقتين سبب تغيّر العلاقة. ولتشخيص مسار البواقي، راجع دليل CUSUM للانحدار.

لنفترض وجود \(T\) مشاهدة و\(m\) انقطاعات عند تواريخ صحيحة \(T_1<\cdots<T_m\). عرّف \(T_0=0\) و\(T_{m+1}=T\)، واجعل المقطع \(j\) يتكوّن من المشاهدات \(T_{j-1}+1,\ldots,T_j\). في نموذج التغيّر الهيكلي الكامل:

\[ y_t=x_t'\beta_j+u_t,\qquad T_{j-1}<t\le T_j,\quad j=1,\ldots,m+1. \]

يمثّل \(y_t\) النتيجة، ويمثّل \(x_t\) متجه المتغيرات التفسيرية المدرجة، ويمثّل \(\beta_j\) متجه المعاملات في المقطع \(j\)، بينما يمثّل \(u_t\) الخطأ. والمجهولات ليست قيم المعاملات فحسب: ما لم تُثبّت تواريخ الانقطاع وعددها \(m\) بتصميم مسبق، يجب تقديرها أو اختيارها. ويفترض النموذج كذلك أن لترتيب المشاهدات معنى، وأن لكل مقطع متجه معاملات ثابتًا وفق المواصفة المختارة.

في مثال مالي، قد يكون \(y_t\) عائد محفظة، وقد يتضمن \(x_t\) عائد السوق أو تغير الفائدة أو مقياسًا للتقلب. يعني اكتشاف انقطاع أن المتوسط الشرطي الخطي المقطعي المختار يلائم العينة داخلها على نحو أفضل وفق الإجراء المستخدم. ولا يعني أن حدثًا بعينه غيّر المعامل، أو أن المتغير خارجي، أو أن العلاقة ستظل مستقرة خارج العينة.

من المفيد التمييز بين تاريخ المشاهدة والتاريخ التقويمي. إذا كانت المشاهدات جلسات تداول يومية، فلا يلزم أن يعني الانقطاع بين الجلستين 120 و121 يومًا تقويميًا واحدًا من سلوك السوق؛ فالعطلات والأسعار المفقودة وأخذ العينات غير المنتظم تؤثر في الربط. حدّد ترتيب العينة وكيفية الإبلاغ عن تاريخ الانقطاع قبل التعامل معه بوصفه توقيتًا لحدث.

في نموذج التغيّر الهيكلي الكامل، يمكن أن يتغير كل معامل في \(\beta_j\) بين المقاطع. يتيح ذلك تغيّر الثابت وجميع الميول، لكنه يستخدم معاملات أكثر تخصيصًا لكل مقطع. وقد يصعب تقدير الانقطاع بدقة عندما تكون المقاطع قصيرة أو متجه المتغيرات التفسيرية كبيرًا. لا يكون التغيّر الكامل مناسبًا إلا إذا كان السؤال يسمح بإعادة ضبط كل علاقة ممثلة في النموذج.

في نموذج التغيّر الجزئي، تُقيّد بعض المعاملات لتبقى مشتركة، بينما يُسمح للبعض الآخر بالتغيّر. مثلًا، اكتب \(\beta_j=(\delta',\gamma_j')'\)، حيث تكون \(\delta\) مشتركة بين المقاطع و\(\gamma_j\) خاصة بالمقطع. قد يعكس ذلك قيدًا موضوعيًا، مثل السماح بتغيّر الثابت وميل التعرض لسياسة معينة مع إبقاء أثر متغير ضابط مشتركًا. يغيّر هذا القيد دالة الملاءمة والتوزيع المرجعي للاختبار؛ لذلك ينبغي التصريح به لا اعتباره تبسيطًا غير مؤثر.

وتختلف طريقة الحساب أيضًا. في التغيّر الكامل، يكون مجموع مربعات البواقي (RSS) لتقسيم مرشح هو مجموع قيم RSS للمقاطع المستقلة، ولذلك يمكن لعلاقة عودية في البرمجة الديناميكية تحسين التقسيم عند تثبيت عدد الانقطاعات. أما في النموذج الجزئي، فتربط المعاملات المشتركة المقاطع كلها. يصف باي وبيرون إجراءً تكراريًا يتناوب بين تقدير تواريخ الانقطاع والمعاملات المتغيرة مع تثبيت المعاملات المشتركة، ثم تحديث المعاملات المشتركة لتقسيم معين. ولا تحل العلاقة العودية البسيطة التي تجمع RSS المقاطع وحدها هذا النموذج المقيد على نحو مشترك. ينبغي أن تتبع المواصفة السؤال العلمي أو التنبؤي، لا النسخة التي تعرض انقطاعات أكثر.

يتطلب البحث عن الانقطاعات حدًا أدنى لعدد المشاهدات في كل مقطع. تمنع قاعدة التقليم ملاءمة فترات قصيرة جدًا قد تنتج معاملات غير مستقرة، لكنها تستبعد أيضًا تغيّرات حقيقية تحدث قرب طرف العينة أو قرب انقطاع آخر. هذه القاعدة جزء من التصميم وليست قانونًا عامًا.

لنفترض عينة افتراضية بوضوح فيها \(T=240\) مشاهدة ونسبة تقليم مختارة قدرها 15%. ينتج عن ذلك \(h=0.15\times240=36\) مشاهدة كحد أدنى لطول المقطع. عند انقطاع واحد، وبافتراض أن تاريخ الانقطاع هو آخر مشاهدة في المقطع السابق، تكون التواريخ المقبولة \(36\le T_1\le204\). عندها يحتوي كل جانب على 36 مشاهدة على الأقل.

وعند وجود انقطاعين، يجب أن تحقق أزواج التواريخ المقبولة:

\[ 36\le T_1,\qquad T_1+36\le T_2\le204. \]

وبصيغة مكافئة، \(T_1\le168\)، بينما يجب أن يترك \(T_2\) 36 مشاهدة بعد الانقطاع الثاني وأن يبعد 36 مشاهدة على الأقل عن الأول. الزوج \((72,156)\) مقبول؛ إذ يبلغ طول المقاطع الثلاثة 72 و84 و84 مشاهدة. أما الزوج \((80,100)\) فغير مقبول لأن المقطع الأوسط لا يضم سوى 20 مشاهدة. ومع هذه القيمة \(h\)، لا يمكن أن يزيد عدد الانقطاعات على خمسة في عينة من 240 مشاهدة؛ فستة انقطاعات تتطلب ستة مقاطع طول كل منها 36، أي \(6\times36=216\)، بينما تتطلب سبعة مقاطع \(7\times36=252\).

نسبة 15% هنا اختيار تصميم افتراضي صريح وليست توصية افتراضية. قد تستبعد النسبة الأكبر أنظمة قصيرة الأمد وتواريخ قريبة من حدود العينة؛ أما الأصغر فتسمح بمقاطع قصيرة لكنها قد تترك معلومات غير كافية لتقدير الميول ومقادير التغاير طويل الأمد بثبات. اختر القاعدة استنادًا إلى تردد العينة وعدد المتغيرات التفسيرية والمدة المعقولة للنظام وطريقة الاستدلال. أبلغ عنها، وعندما يكون ذلك مناسبًا موضوعيًا، بيّن هل تتغير النتائج عند استخدام قيم تقليم قريبة. قد تختلف التطبيقات في تعريف حجم العينة الفعلي ونقاط النهاية عند وجود إبطاءات أو مشاهدات مفقودة؛ لذا وثّق الاصطلاح المستخدم.

في نموذج التغيّر الكامل وعند تثبيت \(m\)، يمكن التعبير عن البحث عن التواريخ بتقليل مجموع RSS للمقاطع:

\[ \min_{T_1,\ldots,T_m}\;\sum_{j=1}^{m+1}\operatorname{SSR}(T_{j-1}+1,T_j), \]

مع الالتزام بترتيب التواريخ والحد الأدنى لطول المقطع. تمثل \(\operatorname{SSR}(a,b)\) أصغر مجموع لمربعات البواقي من ملاءمة مقطع واحد للمشاهدات \(a,\ldots,b\). يفحص البحث الساذج كل مجموعات التواريخ، ويزداد عددها بسرعة مع \(T\) و\(m\).

تعيد البرمجة الديناميكية استخدام المسائل الفرعية المحلولة. إذا كانت \(D(r,j)\) أصغر RSS لتقسيم المشاهدات من 1 إلى \(j\) إلى \(r\) مقاطع صالحة، فإحدى صيغ العلاقة العودية هي:

\[ D(r,j)=\min_i\{D(r-1,i)+\operatorname{SSR}(i+1,j)\}, \]

حيث يُقيّد الانقسام \(i\) بحيث يفي كل من المقاطع \(r-1\) الأولى والمقطع الأخير بالحد الأدنى للطول. ويسمح حفظ الانقسام المصغّر في كل خطوة باستعادة التواريخ. ولكل عدد مسموح من المقاطع، تحصل الخوارزمية على تقسيم ذي أقل RSS عالميًا ضمن النموذج والقيود المحددين، بدل إضافة انقطاع واحد كل مرة بطريقة جشعة. يطوّر باي وبيرون (2003) هذا الحساب ويناقشان التغيّر الكامل والجزئي.

تعني كلمة «عالمي» هنا أنه أمثل مشروطًا بالعدد والمتغيرات والمحددات الحتمية والتقليم والهدف المختار. ولا تعني أن النموذج الإحصائي صحيح أو أن هذا العدد صحيح أو أن التقسيم ملائم عالميًا عبر كل المواصفات المحتملة. قد يقارن الإجراء عدة أعداد بكفاءة، لكن اختيار \(m\) خطوة منفصلة للاستدلال أو اختيار النموذج.

بعد حساب أفضل تقسيمات للأعداد المرشحة، توجد طرق عدة لإرشاد اختيار \(m\). يقارن اختبار \(\sup F(\ell+1\mid\ell)\) المتسلسل نموذجًا فيه \(\ell\) انقطاعات بنموذج فيه انقطاع إضافي، باستخدام إحصاء supremum عبر التواريخ المقبولة. تختبر اختبارات الحد الأقصى المزدوج، مثل UDmax أو WDmax، فرضية عدم وجود انقطاع مقابل بديل بعدد مجهول من الانقطاعات حتى حد أقصى معلن. وتقارن معايير المعلومات، ومنها معايير من نوع BIC، تحسين الملاءمة بعقوبة التعقيد. تجيب هذه الطرق عن أسئلة متقاربة لكنها ليست متطابقة.

لا تكون القيمة الحرجة المعتادة لاختبار F مناسبة عمومًا بعد تعظيم الإحصاء عبر تواريخ انقطاع مجهولة. ففي ظل فرضية عدم وجود انقطاع، لا تكون التواريخ المرشحة محددة كما هي في البديل، ما يؤدي إلى توزيعات حدية غير معيارية. وتعتمد القيم الحرجة على خصائص مثل التقليم والتغيّر الكامل أو الجزئي والمتغيرات التفسيرية وافتراضات تغاير الأخطاء. اشتق باي وبيرون (1998) اختبارات للتغيرات المتعددة؛ وتعرض دراستهما اللاحقة للقيم الحرجة قيمًا لتصميمات تقليم ومواصفات مختلفة. ويقدم أندروز (1993) نتائج مهمة لاختبارات عدم الاستقرار عند نقطة تغير مجهولة واحدة، لكن قيمه الحرجة لا تحل محل إجراء للانقطاعات المتعددة.

يمكن تفسير الاختبارات المتسلسلة، لكن النتيجة قد تعتمد على قوة الاختبار في كل خطوة والحد الأقصى لعدد الانقطاعات المحدد مسبقًا. وقد تختار معايير المعلومات أعدادًا مختلفة بسبب اختلاف العقوبات ولأن جميع النماذج المرشحة قد تكون تقريبية. لا يعني عدد أكبر من الانقطاعات تلقائيًا وصفًا أكثر واقعية؛ فقد تأتي زيادة طفيفة في الملاءمة مقابل معاملات مقاطع غير مستقرة. أبلغ عن الطريقة والحد الأقصى والتقليم وتسلسل الاختبار أو المعيار وافتراضات القيم الحرجة الموافقة. وإذا كان للاختيار أثر جوهري، فاعرض الحساسية بدل تقديم عدد واحد كما لو كان يقينيًا.

التواريخ التي تقلل RSS هي تقديرات نقطية في ظل نموذج محدد. لا ينبغي عرضها كما لو أن البيانات كشفت اللحظة الدقيقة التي تغيرت فيها العلاقة الاقتصادية. يمكن لتباين العينة، أو تغيّر صغير في المعامل، أو تقارب الانقطاعات، أو ضوضاء النتائج، أو قلة تغير المتغيرات التفسيرية، أو طول المقطع الأدنى أن يجعل دالة الهدف مسطحة نسبيًا حول الحد الأدنى. وقد تلائم عدة تقسيمات متقاربة البيانات بدرجة شبه متساوية.

يطوّر باي وبيرون فترات ثقة لتواريخ الانقطاع ضمن شروط معلنة. تصف هذه الفترات عدم يقين المعاينة لتواريخ الانقطاع الممثلة في النموذج؛ لكنها لا تغطي كل أوجه عدم اليقين حول صحة مواصفة الانحدار، والمتغيرات التي ينبغي تضمينها، وعدد الانقطاعات، أو قاعدة التقليم. وإذا كان عدد الانقطاعات نفسه غير مؤكد، فقد يقلل فاصل ضيق مشروط بعدد واحد مختار من عدم اليقين الكلي.

ينبغي أن يميّز التقرير العملي بين اصطلاح التاريخ ورقم المشاهدة المقدّر والتاريخ التقويمي المقابل وفاصل كل انقطاع. إذا كانت الفترات واسعة أو متداخلة، فصف الدليل بأنه غير محدد بدقة زمنية. لا تختر تاريخًا من رسم بعد رؤية النتائج ثم تصفه بأنه توقّع مستقل لحدث. وعند مقارنة الانقطاعات المقدرة بحدث معروف، راعِ احتمال اختيار الحدث ونافذته بعد فحص البيانات.

تقسيم RSS معيار للملاءمة؛ وتعتمد صلاحية الاختبارات وفترات الثقة على افتراضات المتغيرات التفسيرية والأخطاء. كثيرًا ما تتضمن انحدارات التمويل ارتباطًا تسلسليًا أو تغايرًا شرطيًا غير متجانس أو قيَمًا متطرفة أو تقلبًا متغيرًا أو عوائد متداخلة أو مشاهدات غير متزامنة. إذا افترض مقدّر التغاير والقيم الحرجة أخطاء مستقلة ومتساوية التباين بينما كانت البواقي مترابطة أو غير متجانسة، فقد تكون الدلالة المعلنة مضللة حتى لو بدت تواريخ الانقطاع المقدرة معقولة.

تطوّر أبحاث باي–بيرون إجراءات في ظل شروط أوسع، منها أشكال من عدم تجانس التباين والاعتماد التسلسلي، لكن على المحلل استخدام تصحيح التغاير والقيم المرجعية المناسبة للحالة الفعلية. ولا يمكن لمقدّر تغاير متين أو HAC إصلاح ديناميكيات محذوفة أو متغير تفسيري داخلي أو متوسط شرطي خاطئ أو تقويم مشاهدات يجمع فترات غير متوافقة. كما أن استخدام خطأ معياري متين لا يحوّل وحده هدف RSS إلى نموذج أفضل للبيانات.

افحص اعتماد البواقي وأنماط تباينها داخل المقاطع المرشحة وعبرها. وضّح هل تسمح افتراضات الأخطاء بتباينات خاصة بالمقاطع أو ارتباط تسلسلي أو تغير توزيعات المتغيرات التفسيرية، وهل تغطيها نظرية الاختبار المختار. يجعل قصر المقاطع تقدير التغاير المتين هشًا بوجه خاص، وهو سبب آخر لتخطيط التقليم وأبعاد النموذج معًا. ولخلفية عن تقديرات الانحدار وافتراضات التغاير، راجع دليل انحدار OLS.

يسمي التقرير القابل لإعادة الإنتاج النتيجة وكل المتغيرات التفسيرية والتحويلات وفترة العينة وترددها وقيود الثابت والمعاملات ومواصفة التغيّر الكامل أو الجزئي والحد الأقصى المرشح \(m\) ونسبة التقليم والحد الأدنى للطول واصطلاح التاريخ وطريقة التحسين والاختبار أو المعيار المستخدم لاختيار \(m\). وأدرج عدد الانقطاعات المختار والمعاملات لكل مقطع والتواريخ وفترات عدم اليقين وإحصاءات الاختبار ومعالجة التغاير ومصدر القيم الحرجة. واشرح أي نقاط نهاية أو مشاهدات استُبعدت من البحث.

يثبت اكتشاف الانقطاع إحصائيًا وجود دليل على عدم استقرار المعاملات في الانحدار المحدد وفي ظل افتراضاته. ولا يثبت الحدث الذي تسبب في التغير أو أن إصدارًا إخباريًا أو تحولًا في السياسة كان السبب أو أن المعاملات قبل الانقطاع وبعده ستستمر. قد يعكس الانقطاع متغيرًا محذوفًا أو تغير تعريف البيانات أو نوبة تقلب أو مشكلة قياس أو تحولًا اقتصاديًا حقيقيًا؛ ولا يميز اختبار الانحدار وحده بين هذه التفسيرات.

في التداول الكمي، يستخدم البحث على العينة الكاملة مشاهدات من جانبي كل انقطاع مقدّر. والتداول كما لو كان تاريخ الانقطاع المختار معروفًا في حينه يسبب انحياز النظر إلى المستقبل. قيّم أي قاعدة نظام زمنيًا، وأعد التقدير بالمعلومات المتاحة في كل تاريخ فقط، وأدرج الفارق والرسوم وأثر السوق والتمويل والاقتراض ودوران التداول والتأخير. قارن بخطوط أساس بسيطة ذات معاملات ثابتة وعدم التداول، واترك بيانات لاحقة فعلًا للتحقق. قد يبرر الانقطاع مراجعة النموذج أو فحص المخاطر؛ لكنه ليس دليلًا على قدرة تنبؤية أو ميزة قابلة للاستثمار.

يعرض بحث باي وبيرون (1998) الاختبارات والتقدير للتغيرات الهيكلية المتعددة في النماذج الخطية في ورقتهما الأصلية. وتشرح ورقة الحساب لعام 2003 إجراءات البرمجة الديناميكية والتغير الجزئي، بينما توضح ورقة القيم الحرجة اختلاف القيم بحسب التصميم. وتوفر ورقة أندروز عن نقطة التغير المجهولة أساسًا ذا صلة بحالة انقطاع واحد. ولتشخيصات قريبة، قارن اختبار تشاو بتاريخ محدد مسبقًا مع اختبار CUSUM للانحدار.