اختبار Hansen J: شرح القيود الزائدة التعريف في GMM

تقدّر طريقة العزوم المعمّمة (GMM) المعلمات بجعل النسخ العينية لشروط العزوم النظرية أقرب ما يمكن إلى الصفر. في نموذج المتغيرات الأداتية، قد ينص أحد العزوم على أن الأداة المقترحة غير مترابطة مع الخطأ الهيكلي عند القيمة الحقيقية للمعلمة. وتنتج نماذج أخرى شروط عزوم من معادلات تسعير الأصول أو معادلات أويلر أو قيود بيانات اللوحات.

إذا كان عدد شروط العزوم في النموذج أكبر من عدد المعلمات المجهولة، تبقى بعد التقدير قيود إضافية يمكن فحصها. تلخّص إحصائية Hansen J مدى ابتعاد العزوم العينية المقدّرة عن الصفر بعد تطبيق مصفوفة ترجيح محددة. إنها اختبار مشترك لمواصفات النموذج ضمن ذلك الإعداد، وليست تدقيقًا مباشرًا يصنّف أداة بعينها بأنها «صالحة» أو «غير صالحة».

وهذا التمييز مهم في التمويل والبحوث الكمية. قد يقدّم نموذج التداول أو تسعير الأصول عدة شروط للعزوم، لكن نتيجة الاختبار تعتمد على العوائد والعوامل والأدوات والفترات الزمنية وافتراضات التغاير التي تعرّف تلك العزوم. قد تكون قيمة p صغيرة دليلًا ضد حزمة الافتراضات هذه؛ أما القيمة الكبيرة فليست دليلًا مستقلًا على صحة جميع الافتراضات.

لتكن \(g_t(\theta)\) متجهًا من \(q\) مساهمات العزوم في التاريخ \(t\)، محسوبًا عند متجه المعلمات \(\theta\). ومتوسطه العيني هو:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

تختار GMM القيمة \(\hat\theta\) لتصغير مسافة تربيعية موزونة مثل:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

حيث إن \(W_T\) مصفوفة ترجيح موجبة. ويحدد الترجيح مقدار مساهمة الاختلاف بين شروط العزوم في المعيار. تستخدم GMM الكفؤة وزنًا مرتبطًا بمقلوب مصفوفة التغاير طويلة الأجل للعزوم، وفق افتراضات المعاينة المعلنة. ويستخدم اختبار J قيمة المعيار بعد تصغيرها، لا قيمة تابع الهدف عند معلمات اختيرت من دون تقدير.

الصيغة موجزة، لكن مكوّناتها ليست قابلة للاستبدال. فتغيير الأدوات يغيّر \(g_t\)، وتغيير العينة يغيّر المتوسط، وتغيير مقدّر التغاير يغيّر الوزن، كما قد يغيّر المقدّر المعلمات الملائمة. لذلك يتطلب تكرار إحصائية J تفاصيل أكثر من رقم واحد وكلمة «متين».

إذا وُجدت \(q\) شروط عزوم مستقلة و\(k\) معلمات محددة محليًا، فإن درجات الحرية التقليدية لفرط التعريف تساوي \(q-k\). مثلًا، تترك ثلاثة عزوم مستقلة مستخدمة لتقدير معلمتين قيدًا واحدًا زائدًا للتعريف. وتحت الفرضية الصفرية التي تفيد بصحة جميع عزوم المجتمع، تُقارن إحصائية J الموزونة على نحو صحيح تقاربيًا بتوزيع كاي تربيع بتلك الدرجات من الحرية.

إذا تساوى عدد العزوم مع عدد المعلمات، يكون النموذج محددًا تمامًا، ويمكن عمومًا جعل العزوم الملائمة مساوية للصفر. لا تبقى قيود زائدة يقيّمها اختبار J؛ لذلك تكون درجات الحرية صفرًا ولا يتوفر فحص لفرط التعريف. أما وجود معلمات أكثر من العزوم المستقلة فيشير إلى مشكلة تعريف مختلفة؛ ولا ينتج عنه درجات حرية سالبة أو اختبار J ذي معنى.

احسب قيود العزوم المستقلة الفعلية، لا عدد الأعمدة الظاهر في مخرجات البرنامج فحسب. فقد تقلل الأدوات المكررة أو العزوم المعتمدة خطيًا الرتبة الفعلية. كما يعتمد مرجع كاي تربيع المعتاد على تحقق التعريف وشروط العينات الكبيرة الأخرى. ولا تستطيع قيمة اسمية لـ \(q-k\) معالجة مصفوفة تغاير للعزوم مفردة أو سيئة التقدير.

لنفترض أن نموذجًا يستخدم ثلاثة شروط للعزوم لتقدير معلمتين، فتكون درجات الحرية التقليدية \(3-2=1\). ولنفترض أن إجراءً برمجيًا أبلغ عن إحصائية J تساوي \(5.4\) باستخدام ترجيح يُفترض اتساقه مع افتراضات التغاير المذكورة. وبالمقارنة مع توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة، تكون قيمة p نحو \(0.020\). وعند مستوى 5% محدد مسبقًا، يرفض الباحث الفرضية الصفرية المشتركة القائلة إن عزوم المجتمع الثلاثة تساوي صفرًا.

هذا الاستنتاج أضيق من القول إن «الأداة رقم 2 غير صالحة». فإحصائية J مسافة موزونة واحدة للنظام كله، ولا تحدد أي عزم سبب التعارض. وقد تعكس النتيجة نفسها أداة غير صالحة، أو معادلة هيكلية سيئة التحديد، أو سمة ديناميكية محذوفة، أو نموذج تغاير خاطئًا، أو إخفاقًا آخر في الافتراضات المعتمدة. ويلزم إجراء تشخيصات إضافية والاستعانة بمعرفة موضوعية للتحري عن السبب.

إذا كانت قيمة p تساوي \(0.20\)، فالاستنتاج الصحيح هو أن الاختبار لم يرفض القيود المشتركة عند المستوى المختار. وليس الاستنتاج أن «صلاحية الأدوات قد ثبتت». فقد ينتج عدم الرفض عن معقولية القيود أو ضعف قوة الاختبار أو صغر العينة أو ارتفاع ضجيجها بما يمنع تمييز الانتهاكات. ينبغي تحديد العتبة قبل الاطلاع على مجموعة من بدائل النموذج؛ فالبحث حتى تظهر قيمة p مقبولة يخلق مشكلة انتقاء أخرى.

الفرضية الصفرية مجموعة من قيود المجتمع، وتُفسر في ضوء النموذج والشروط التقاربية التي تبرر التوزيع المرجعي للإحصائية. عندما يرفض اختبار J، يصعب التوفيق بين جزء من تلك المنظومة المفترضة على الأقل وبين العينة، وفق الترجيح المستخدم. ولا يستطيع الاختبار وحده التمييز بين إخفاق قيد الاستبعاد أو خطأ الشكل الدالي أو إغفال الاعتماد على الحالة أو خطأ بناء البيانات أو عدم ملاءمة تقدير التغاير طويل الأجل.

ولا يثبت الاختبار السببية أيضًا. في تصميم المتغيرات الأداتية، يستطيع اختبار فرط التعريف تقييم مدى الاتساق المشترك للقيود الإضافية بعضها مع بعض في ظل النموذج. لكنه لا يثبت قيد الاستبعاد لكل أداة، ولا سيما إذا كانت الأدوات كلها قد تشترك في انتهاكه. لملاءمة الأداة وقيد الاستبعاد معنيان مختلفان: تُفحص الملاءمة بتشخيصات المرحلة الأولى والتعريف الضعيف، بينما يتطلب الاستبعاد شرح المسار الاقتصادي الذي يبرره.

في تطبيق خطي لتسعير الأصول، قد تختبر إحصائية من نوع J قيود التسعير المشتركة التي يفرضها نموذج عوامل بعينه ومجموعة أصول الاختبار. لا يحدد الرفض تلقائيًا العامل المحذوف ولا يثبت أن استراتيجية تداول أخرى ستحقق عائدًا. كما أن عدم الرفض لا يثبت الحقيقة الاقتصادية للنموذج. يتناول دليل Fama–MacBeth إجراءً مرتبطًا لتسعير المخاطر المقطعي وحدود الاستدلال فيه.

نشأ اختبار Sargan الكلاسيكي في تقدير المتغيرات الأداتية ضمن افتراضات تغاير مقيّدة، تشمل عادةً تجانس تباين الأخطاء. أما اختبار Hansen J فهو إحصائية فرط التعريف في GMM، مبنية على تغاير مقدّر للعزوم يمكنه احتساب عدم تجانس التباين، وكذلك الاعتماد الزمني عند استخدام تقدير ملائم للتغاير طويل الأجل. ولا تجعل تسمية «Hansen» التطبيق متينًا تجاه كل أشكال سوء التحديد؛ إذ يجب أن يتوافق اختيار التغاير والترجيح مع عملية العزوم.

في عزوم السلاسل الزمنية، يغيّر الارتباط التسلسلي التباين طويل الأجل لمتوسطها العيني. وقد يكون مقدّر HAC مثل Newey–West جزءًا من حساب تغاير ملائم عندما تتوافق افتراضاته واختيار الفجوات مع البيانات. وقد تتطلب بيانات اللوحات أو الملاحظات المجمّعة بناءً مختلفًا للتغاير. ولا يعني تصحيح التغاير المستخدم لمعيارية أخطاء المعاملات وحدها أن هدف J بُني باستخدام مصفوفة ترجيح متوافقة.

تقدّر طرق GMM ذات الخطوة الواحدة أو الخطوتين أو التكرار المعلمات بأوزان مختلفة. وفي الإجراءات الكفؤة ذات الخطوتين، يضيف تقدير الوزن نفسه قدرًا من عدم اليقين في العينات المحدودة؛ وقد تصبح الأخطاء المعيارية وسلوك الاختبار هشّين، خصوصًا عندما يكون عدد العزوم كبيرًا نسبةً إلى المشاهدات. وتتعلق تصحيحات Windmeijer للعينات المحدودة بتقدير التباين في إعدادات خطية محددة من GMM الكفؤة ذات الخطوتين، وليست تعديلًا عامًا لكل إحصائية J.

لا يختبر J قوة الأدوات. فقد تجعل الأدوات ضعيفة المعلومات تقديرات المعلمات والتقريبات التقليدية غير موثوقة؛ لذا ينبغي استخدام طرائق مصممة للتعريف الضعيف بدل التعامل مع قيمة p مطمئنة لاختبار J على أنها تشخيص للقوة. كما أن معايرة كاي تربيع للعينات الكبيرة لا تضمن أن تتصرف عينة مالية قصيرة وفق حدها التقاربي.

قد تبدو إضافة أدوات أو شروط عزوم جذابة لأنها توحي بمعلومات إضافية. لكن تضخم عدد الأدوات في GMM للبيانات اللوحية الديناميكية قد يؤدي إلى فرط ملاءمة المتغيرات الداخلية ويضعف قدرة اختبارات المواصفات على كشف الانتهاك. لذلك قد لا توفر قيمة p مرتفعة جدًا بعد إنشاء مجموعة ضخمة من الأدوات إلا قدرًا ضئيلًا من الاطمئنان. أبلغ عن العدد، واشرح فترات الإبطاء أو نوافذ الإنشاء، وقارن مجموعات مختصرة يمكن الدفاع عنها أو أدوات مطوية عند الاقتضاء.

قد تقوّض العينات الصغيرة والعزوم شبه المتداخلة خطيًا وتقديرات التغاير الضعيفة وحدود المعلمات والتعريف الضعيف التفسيرات المدرسية. تستدعي هذه الحالات تحليل الحساسية واستدلالًا بديلًا ملائمًا، لا ادعاءً آليًا بأن J «اجتاز». وإذا شمل اختيار النموذج أدوات أو نطاقات إبطاء أو عوامل أو تقسيمات عينات كثيرة، فسجّل عملية البحث وتجنب عرض أفضل نتيجة ظاهريًا كما لو كان الاختبار محددًا مسبقًا.

تعرض بعض إجراءات بيانات اللوحات الديناميكية اختبار فرق Hansen أو اختبار C لمجموعة فرعية من شروط العزوم، مثل كتلة أدوات إضافية. ومن حيث المفهوم، يسأل هذا التداخل عما إذا كانت تلك الكتلة تضيف قيودًا متوافقة مع بقية العزوم المعتمدة. والاستنتاج مشروط ببقية المواصفات؛ وليس شهادة مستقلة بصلاحية كل أداة.

لا يكون لطرح إحصائيتي J توزيع مرجعي إلا عند تحقق شروط التداخل والتقدير والتغاير ذات الصلة. وينبغي أن يستخدم النموذجان المقارنان عينات متوافقة وتعريفات متوافقة للعزوم، مع مراعاة الترجيح وسلوك العينات المحدودة. وقد تفقد اختبارات المجموعات الفرعية قوتها أيضًا عندما تكون مجموعة الأدوات الكاملة كبيرة. وإذا اختُبرت عدة مجموعات، فأبلغ عن المقارنات كلها بدل اختيار نتيجة مواتية واحدة.

اذكر العينة ومتجه المعلمات وتعريفات العزوم وعدد المشاهدات وعدد القيود ورتبتها الفعلية ودرجات الحرية. وبيّن ما إذا كان المقدّر أحادي الخطوة أو ثنائي الخطوات أو تكراريًا، وكيفية الحصول على مصفوفة الترجيح، وبنية التغاير المسموح بها، وأي تصحيح للعينة المحدودة استُخدم. وأبلغ عن إحصائية J وتوزيعها المرجعي وقيمة p وعتبة القرار المحددة للتحليل.

اعرض عدد الأدوات وطريقة إنشائها وتشخيصات المرحلة الأولى أو الملاءمة وحساسية التقديرات للتغييرات المعقولة في مجموعات العزوم. واشرح سبب استيفاء الأدوات للتوقيت الاقتصادي وحجة الاستبعاد؛ ولا تستبدل هذه الحجة بعدم رفض اختبار فرط التعريف. وإذا استخدمت اختبار مجموعة فرعية، فعرّف المجموعة والمقارنة بوضوح. للاطلاع على خلفية افتراضات IV، راجع دليل الداخلية والمتغيرات الأداتية؛ ولخيارات التغاير، راجع دليل الأخطاء المعيارية المتينة وHAC.

تتناول نظرية Hansen التقاربية لـ GMM، واختبار Sargan للمتغيرات الأداتية، وتحليل Stock وWright لـالتعريف الضعيف، ودراسة Roodman لـتضخم عدد الأدوات، وتحليل Windmeijer لـتباين الخطوتين في العينات المحدودة، ومقدّر Newey وWest لـتغاير HAC جوانب مختلفة من هذا التصميم. تنطبق نتائجها في ظل افتراضاتها المعلنة، ولا تمثل موافقة عامة على نموذج تجريبي.