Realized GARCH 详解：联合建模收益率与已实现波动率

ARCH 和 GARCH 模型根据收益率序列推断时变方差。Engle 提出了 ARCH，Bollerslev 随后发展了它的广义形式（Engle，1982；Bollerslev，198690063-1)）。收益率只是对该时段波动幅度的含噪信号：一个异常小的收盘到收盘收益率，并不能说明交易时段平静；一个大收益率也无法说明价格是沿着怎样的路径变动的。日内价格可以提供另一种已实现度量，例如已实现方差，从而包含更多关于时段内价格变动的信息。

Realized GARCH 将该度量纳入方差动态。在基本设定中，前一期条件方差和前一期已实现度量都会影响当前条件方差的更新。模型还为已实现度量本身建立方程。这个额外方程是关键：它描述该度量与潜在方差、收益率冲击之间的关系，而不是把它当成一个没有解释的外部输入。

原论文报告称，在其道琼斯成分股和一只交易所交易指数基金的样本中，相比只使用日收益率的 GARCH，Realized GARCH 的样本内拟合有所改善。这是特定样本的结果，并不保证它在每种资产或时期都能提供更好的预测。关于仅使用收益率的基准模型，请参阅 GARCH 指南。

令 rₜ 表示时期 t 的收益率；若模型包含条件均值，则这里的收益率已扣除该均值。令 hₜ 表示在该时期开始时可用的信息 Fₜ₋₁ 条件下，rₜ 的条件方差；令 xₜ 表示在时期 t 内或期末观测到的正值已实现度量。例如，xₜ 可以是日内收益率平方和，其单位与 hₜ 相同，都是收益率平方。

时间顺序很重要。hₜ 的预测使用时期 t 开始前可用的信息；观测到 rₜ 和 xₜ 后，模型才会更新下一期方差预测 hₜ₊₁。不能把 xₜ 用作在时期 t 尚未发生时就已获得 hₜ 预测的依据。

Realized GARCH 是收益率与已测量波动率代理变量的动态模型。它不同于 MIDAS 回归：MIDAS 使用结构化的滞后权重函数来连接不同频率的数据。两者都可以使用日内信息，但比较前必须明确其方程、预测目标和时间顺序。

常见的 Realized GARCH(1,1) 模型包含收益率方程、方差方程和测量方程：

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = \omega + \beta\log hₜ₋₁ + \gamma\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = \xi + \phi\log hₜ + \tau(zₜ) + uₜ \]

其中 zₜ 是标准化收益率创新，uₜ 是测量噪声，τ(zₜ) 允许已观测度量与收益率冲击相关。第一条方程用条件标准差缩放单位方差冲击。第二条方程根据前一期的对数方差和对数已实现度量更新对数方差。第三条方程把观测到的对数度量与当前潜在对数方差、收益率冲击和测量创新联系起来。

对数形式便于在不受限的对数尺度上表示正值 hₜ 和 xₜ；对方差预测取指数后，就会得到正值。因而，截距 ω 是对数方差方程的截距，本身并不是长期方差。在基本模型中，参数是联合估计的，不应将某个系数孤立地视为完整的持久性指标。

将 t−1 时点的测量方程代入方差更新式，可以看出已实现度量如何反馈到对数方差：

\[ \log hₜ = (\omega + \gamma\xi) + (\beta + \gamma\phi)\log hₜ₋₁ + \gamma\tau(zₜ₋₁) + \gamma uₜ₋₁ \]

对于这个 (1,1) 设定，对数方差的持久性由 β + γφ 概括，而不是只由 β 表示。测量关系也参与反馈：较高的前期方差与较高的已实现度量相关，而该度量随后进入下一次更新。这一代数关系有助于理解拟合系数；它并不能证明每一种 Realized GARCH 扩展都满足平稳性条件，因此应依据实际估计的具体设定进行推断。

Hansen、Huang 和 Shek 在论文中介绍了该联合模型的线性形式和对数线性形式，并展示了三个方程构成的系统（2012 年论文）。具体滞后阶数、已实现度量、条件均值和创新假设，应以实际估计的设定为准。

测量方程有助于解释已实现度量为何会同时随潜在方差和收益率冲击变动。一种常见的杠杆函数为：

\[ \tau(zₜ) = \tau₁zₜ + \tau₂(zₜ² - 1) \]

线性项和中心化的二次项可以表示收益率冲击与已实现度量之间的不对称关系。其形状取决于系数；仅凭公式本身，不能断定负收益会导致未来波动率上升。

在论文的基准设定中，zₜ 和 uₜ 被建模为两种不同的创新，zₜ 标准化，且二者相互独立。这是一种便于分析的统计设定，并不意味着每个样本中的市场收益率或测量误差都服从某种特定分布。即使没有把正态性当成事实，估计时也可以使用高斯准似然。

这条方程也使 Realized GARCH 区别于 GARCH-X。GARCH-X 可以把观测度量放入方差更新式，却不说明该度量自身如何演变。Realized GARCH 也对已实现度量建模，因此在未来的已实现度量尚未观测到时，仍可进行多步预测。该模型描述的是联合统计关系；它不会把已实现度量变成外部原因。

假设某个拟合后的对数线性模型参数为 ω = −0.7824、β = 0.75、γ = 0.15。时期 t 结束时，当前条件方差为 hₜ = 0.0004，观测到的已实现度量为 xₜ = 0.0009。所有数值均为假设值，且为正；它们使用相同的日收益率小数方差单位。

使用方差方程更新时期 t+1 的预测：

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= -0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx -7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(-7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

对应的条件标准差为 √0.0004517 ≈ 0.02125，也就是所述收益率时期约 2.13%。已实现度量通过其拟合系数影响下一期方差预测；这项计算不会重新估计任何系数，也不会借助测量方程声称 xₜ 等于 hₜ。

这个例子只演示计算过程。它没有纳入参数不确定性、估计误差或样本外观测，因此无法说明统计显著性，也不能说明该模型是否优于基准。

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估计时需要对齐的收益率和已实现度量观测值。似然或准似然会结合收益率方程与测量方程，因此对创新分布或依赖结构的假设不同，拟合参数也可能不同。研究者应说明估计方法、创新假设、条件均值的处理方式、已实现度量和数据清理规则，而不能只展示递推式而不交代测量模型。

每个时期结束后，模型可以使用新观测到的收益率和已实现度量更新状态，并生成下一期方差预测。进行多步预测时，未来的 x 值尚不可知。完整的 Realized GARCH 设定会为已实现度量提供动态，因此预测需要考虑其未来分布或期望，而不是把测试样本中的未来已实现值直接代入。

评估目标必须与预测目标一致，例如下一期条件收益率方差，或同一时间区间上的已实现度量。目标、代理变量、单位、期限和评估日期都应对齐。样本内似然比较的是模型拟合程度，不能替代按时间顺序进行的预测检验。

在预测实际可用的时点保存每次预测；重新拟合时只能使用该时点已有的信息，并在共同样本上与预先选定的基准比较。应在查看结果之前选定损失函数，并报告配对损失差及其不确定性估计；需要时还应考虑序列依赖。QLIKE 与平方误差指南解释了代理变量特性和损失函数为何会影响比较结果。

模型的用途取决于输入的度量和时间区间。由日内价格构造的已实现度量可能遗漏隔夜变动，即使 rₜ 是收盘到收盘收益率也是如此。原论文明确允许已实现度量的窗口短于收益率区间；其测量方程并不要求 xₜ 是 hₜ 的无偏估计。这种灵活性并不意味着窗口错配无关紧要：φ 的解释、预测目标和模型比较都仍取决于时间区间。

论文给出一个具体例子：由约 6.5 个交易小时构造的度量，可以与 24 小时收盘到收盘收益率的条件方差配对。在这种设定下，作者预期 φ < 1，因为日内度量只覆盖完整收益率区间的一部分。因此，拟合得到的 φ 取决于所用度量、交易时段和收益率定义，并不是可以不加调整地移植到其他资产或采样设计的通用校准常数。

高频数据还可能包含买卖价反弹、异步交易、价格离散、过时报价和记录错误。双尺度已实现波动率指南介绍了一种旨在处理部分高频微观结构噪声的估计方法。Hansen 和 Lunde 记录了市场微观结构噪声可能对已实现方差测量产生显著影响（2006 年论文）。更换代理变量可能改变模型拟合、预测和杠杆效应估计。

由于对数线性模型使用 log xₜ，所选度量必须严格为正。如果数据可能为零或负值，任何变换、过滤或下限处理都会改变模型，应说明理由并披露处理方式。检查已实现度量是否包含跳跃、覆盖哪个交易时段、如何处理缺失的 K 线，以及度量单位是否与收益率方差相符。增加日内观测数量并不会自动消除测量误差。

普通 GARCH 使用滞后收益率或平方创新以及滞后方差。Realized GARCH 将已实现度量加入方差动态，并通过与潜在方差和收益率冲击相关的方程对该度量建模。GARCH-X 通常把新增度量当作外部输入。MIDAS 回归使用参数化的跨频率滞后权重曲线；GARCH-MIDAS 是相关的混合模型，应该单独阅读其方程。这些名称不能互换。

在模型假设下，该模型预测的是定义明确的条件方差或已实现度量。它不会预测收益率方向，不会证明日内度量导致下一期方差，也不能证明某种策略有盈利能力。较好的样本内似然不保证未来预测更好。交易结论需要另行定义信号，并进行扣除成本后的评估，纳入价差、费用、市场冲击、融资和风险限额。

要让报告可复现，应说明资产与样本、收益率定义和条件均值、已实现度量构造与交易时段、模型方程和滞后阶数、创新假设、估计窗口、预测时点和期限、基准、评分损失与不确定性方法。还应报告对合理的已实现度量选择有多敏感，并披露任何数据剔除或正值调整。