QLIKE与平方误差：含噪代理变量下的波动率预测评估

波动率模型预测未来收益率可能有多分散，而不预测收益率会上涨还是下跌。评估前要先定义目标，例如用平方基点表示的下一日收益条件方差。标准差预测、方差预测和日内已实现方差估计彼此相关，但如果不说明转换方式和预测期限，就不能互换使用。

这个问题与模型如何生成预测是两回事。GARCH指南介绍了根据过去收益更新条件方差的一种方法。本文从两个或更多模型已经给出预测后开始，讨论如何用对实际方差的不完美测量来评分。

在确定目标、评估样本和损失函数之前，“最佳预测”没有唯一含义。由于不同损失函数给预测误差赋予不同代价，同一模型可能在一种损失下排名第一，在另一种损失下排名第二

设 vₜ 为目标收益的不可观测条件方差，hₜ 为在该收益发生前根据已有信息生成的预测，xₜ 为评估时使用的可观测代理变量。收益平方是一种常见代理变量，但只有当收益的条件均值为零时，它才是方差的条件无偏代理变量。如果条件均值不为零，原始收益平方估计的是条件二阶矩，而不是条件方差；也可以先去除条件均值，再用剩余收益构造代理变量。由日内收益计算的已实现方差可以提供更丰富的交易时段变动信息，但它仍然只测量一个时间区间，并受抽样和价格数据规则影响。

估计并扣除条件均值，并不会自动消除代理变量偏差。若 mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁]、hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)，且估计均值 m̂ₜ 根据预测起点可用的信息确定，则 E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)²。因此，可预测的均值估计误差会给代理变量增加一个非负项。在引用条件无偏结果前，应说明均值如何估计，以及代理变量的目标是方差还是二阶矩。

xₜ 与 hₜ 应对应相同的资产、收益定义、时间区间、预测期限和单位。如果 xₜ 的单位是 bp²，hₜ 也必须是 bp²，此时平方误差损失的单位为 bp⁴。除非这就是预先设定的目标，否则不要用遗漏隔夜区间的已实现指标来评价收盘到收盘的日条件方差预测。

请为相同的预测起点保留代理变量值和所有模型的预测。如果某个模型缺少某日的预测，应事先规定共同样本或有依据的缺失值处理规则。在不同日期上计算平均值，会把模型表现和各模型面对的市场环境差异混在一起

对于非负方差代理变量 xₜ 和正方差预测 hₜ，平方误差损失为

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE损失为

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

分数越低越好。当 xₜ 严格大于零时，QLIKE也常写成等价的比率形式：xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1。两个公式只相差一个取决于已观测代理变量、但不取决于预测值的项，因此在共同样本上给出相同排序。只要 hₜ 为正，log(hₜ) 形式在 xₜ 为零时仍有定义。Patton给出了这些方差损失的定义，并研究其在不完美代理变量下的性质（Patton，2011）。

QLIKE对应于高斯准似然所隐含的方差预测评分（Hansen和Lunde，2005）。这种联系不能证明收益服从高斯分布，低分也不能验证模型的分布假设。平方误差则是代理变量与预测之间绝对差值的平方。关键是选择符合比较目标和代理变量假设的评分规则

平方误差的单位是方差单位的平方，代理值与预测相差越大，分数上升越快。因此，少数特别大的代理值可能主导平均分。如果目标是让较大的绝对方差误差受到更多惩罚，这种做法可能合适，但结果也会对极端观测更敏感。

将 xₜ 和 hₜ 同时乘以相同的正单位换算常数 c，会使 log(hₜ) + xₜ/hₜ 增加 log(c)。对于在同一代理变量样本上评分的所有预测，这一增量都相同，因此排序不变；但对数项的绝对值取决于所选单位。QLIKE通过 xₜ/hₜ 反映预测相对代理值的比例，并通过 log(hₜ) 反映 hₜ 的尺度。如果预测值远低于一个很大的代理值，比率项会迅速上升；高估也会随着 log(hₜ) 增加而付出代价，但在比例误差相近时上升较慢。QLIKE并不抗离群值：极端大的代理值仍会抬高 xₜ/hₜ。

没有一种损失适用于所有决策。平方误差对方差单位下较大的绝对误差赋予更高权重，而QLIKE以不同方式处理相对误差。Patton关于代理变量排序稳健性的结果，并不表示这两种损失会对模型给出相同排序，也不表示它们不受离群值影响

假设观测到的方差代理变量为 x = [1, 4] bp²。模型A的预测为 hᴬ = [1, 1] bp²，模型B的预测为 hᴮ = [4, 2] bp²。以下数值是为展示损失函数如何改变排序而设定的假设值。

MSE更偏好模型A：其平均分为4.5 bp⁴，低于模型B的6.5 bp⁴。QLIKE更偏好模型B：其平均分约为2.165，低于A的2.5。这两个观测值只用于展示计算，数量太少，无法估计不确定性或证明哪个预测更好，也不能说明任何交易策略的表现 <!-- learn:illustration -->

波动率代理变量可以含有噪声，但仍满足条件无偏。设 E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ，其中 Fₜ₋₁ 是作出预测时可用的信息。对于根据这些信息生成的预测 hₜ，平方误差损失的条件期望为

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

方差项不取决于评分的是哪个预测。它给所有预测的期望MSE增加相同数值，因此比较期望损失时会相互抵消。对于QLIKE，条件无偏性意味着

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

这与用潜在方差替代代理变量所得到的分数相同。在这些条件下，两种损失各自都能保留竞争方差预测相对于潜在目标的期望排序。Patton（2011）将此称为对代理变量噪声的排序稳健性；这里指期望排序不受噪声影响，并非抗离群值能力。

这一结果假设条件信息集相同、代理变量条件无偏、QLIKE的预测值为正，并且期望损失有限。它不表示MSE和QLIKE会给模型排出相同名次。正如前面的两期示例所示，即使两种损失使用同一组含噪观测，它们也会以不同方式衡量预测误差

期望排序不变，并不保证每个已观测样本都与潜在方差的排序一致。代理变量噪声会增加已观测损失的波动，并可能降低预测比较的检验功效。在较短的评估期内，即使条件无偏在平均意义上成立，几个偶然偏高或偏低的代理值也可能改变模型排序。

如果代理变量相对于所述目标存在条件偏差，这一保证也会失效。高频已实现方差可能受到买卖价反弹、过时或不同步的报价、抽样频率以及遗漏隔夜收益的影响。针对日内积分方差的代理变量，未必是收盘到收盘条件方差的无偏测量。已实现波动率计算指南介绍指标构造选择，双尺度已实现波动率指南介绍一种旨在处理部分高频市场微观结构噪声的估计量。Hansen和Lunde（2006）讨论了市场微观结构噪声对已实现方差测量的影响。

这里的“稳健”有严格的限定含义：代理变量条件无偏时，期望排序得以保留。它不表示样本评分会忽略离群值、任何已实现波动率指标都无偏，或在目标不匹配时比较仍然可靠。应说明代理变量测量什么，以及它通过哪些假设与 vₜ 联系

对于在同一预测起点确定的两个预测 hᴬₜ 和 hᴮₜ，期望 MSE 差为 E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)²。在相同的代理变量条件下，期望 QLIKE 差为 log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ。这些表达式说明，代理变量稳健性消除的是代理变量期望评分中的额外噪声。两种预测比较仍然不同，因为 MSE 和 QLIKE 对误差赋予不同的代价。

选好分数后，在每个共同预测起点计算配对损失差。令 dₜ = L_A,ₜ − L_B,ₜ，平均值为正表示B的损失更低。Diebold–Mariano检验利用配对差值的时间序列，评估其期望值是否为零。它不会替你选择QLIKE还是MSE，也不会决定应该关注什么目标。Diebold–Mariano指南介绍了更一般的推断框架。

如果多期预测期限相互重叠，或分数差因其他原因存在序列相关，应使用能够处理依赖性的标准误，例如适当的HAC估计。Newey和West（1987）提出了正半定HAC协方差估计量。报告预测期限、评估起点、损失差符号、协方差方法，以及适用时的核函数和带宽。检验得出较小的p值，也无法弥补代理变量有偏或目标不匹配的问题

采用按时间顺序进行的样本外设计，并保存每个模型在各个预测起点实际会生成的预测值。在查看哪个模型得分更好之前，先确定目标、代理变量构造、预测期限、单位、共同样本和损失函数。记录估计窗口、重新估计规则、缺失值处理方式，以及评估期是否被反复用于调整模型。如果同时比较MSE和QLIKE却只报告胜者，应披露这一选择，而不要将结果描述成唯一且预先指定的检验。

报告各模型的平均损失、配对差值、样本量、代理变量定义和推断方法。QLIKE要求 hₜ > 0；如果给预测设置下限，应在评估前确定，因为下限可能改变分数。检查结果对合理的代理变量和抽样选择是否敏感，同时说明尝试多种选择本身也会造成结果筛选问题。

较低的波动率损失只代表在指定评分和代理变量下的表现。它不能证明某个预测因子导致了波动率变化、收益服从正态分布，或使用该预测的策略在扣除价差、费用、滑点、融资成本并考虑风险限制后会盈利。应将预测能力和交易结果作为不同主张分别评估