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极端概率截然不同的两个对称模型阅读约15分钟
金融中的正态分布与Student-t分布
比较正态与Student-t分布的尾部衰减、自由度、尺度和方差、似然、多元依赖，以及它们作为金融收益模型的局限
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
正态分布的尾部由均值和方差决定，并按指数速度衰减。Student-t分布增加自由度ν，尾部按幂律衰减，给予极端观测更高概率。它可能更好地拟合金融收益，但一个对称静态分布无法解释所有状态、偏斜与波动率聚集
两者都是对称位置尺度分布族
正态变量可写成X=μ+σZ，其中Z是标准正态，σ等于标准差
位置尺度Student-t变量可写成X=μ+sT_ν，其中s是尺度，ν控制尾部厚度
两者都围绕μ对称，因此若不扩展或变换，都不能产生收益偏斜
Student-t来自方差不确定性
若Z∼N(0,1)、V∼χ²_ν且相互独立，则T=Z/√(V/ν)服从标准Student-t分布
随机分母使较大的标准化值比固定方差正态模型更有可能出现
当ν趋于无穷，分母不确定性消失，Student-t分布趋近正态分布
自由度决定矩是否存在
Student-t尾部按ν控制的幂律衰减，正态尾部则按距离平方呈指数衰减
均值在ν>1、方差在ν>2、四阶矩在ν>4时存在；更低ν时相应总体矩不存在
ν>4时超额峰度为6/(ν−4)，明确显示其向正态尾部靠近的过程
尺度不一定是标准差
对ν>2的位置尺度t分布，Var(X)=s²ν/(ν−2)，所以s小于标准差
若把正态σ与t尺度s都当成波动率比较，会制造虚假的尾部或似然差异
软件使用不同参数名称，有时采用方差标准化版本，因此必须记录确切密度约定
似然会改变中心与尾部的权衡
正态最大似然让残差平方占主导，少数极端观测可能抬高方差估计
Student-t似然通过ν降低大型标准化残差的影响，在不宣告其不可能的情况下提供稳健拟合
ν若估计在矩边界附近，即使优化器收敛，方差、峰度与风险度量也可能不稳定
多元模型会改变联合极端
多元正态律意味着Gaussian Copula，在低于完全相关时渐近尾部依赖为零
多元t分布共享随机尺度，在有限ν下产生对称的正尾部依赖
若股票共同崩盘不同于共同上涨，或依赖随状态变化，这种对称性仍可能错误
应用样本外尾部检验选模型
比较概率与分位数图、阈值超越、预测似然、区间覆盖率以及VaR或ES回测
在滚动窗口重新拟合，若结构仍残留则检验skewed-t、混合、随机波动率与过滤残差等替代方案
t拟合更好表示它对所选任务更有用，并不表示收益真实服从一个永恒不变的t规律
常见问题
Student-t为什么比正态分布尾部更厚？
其随机尺度混合产生幂律衰减，而正态概率随距离平方呈指数衰减
自由度是什么意思？
参数ν控制尾部厚度与矩的存在，较小正值会产生更重尾部
Student-t尺度等于波动率吗？
通常不等于。在常见位置尺度约定下，ν>2时标准差为s√[ν/(ν−2)]
Student-t总是更适合金融收益吗？
不是。它捕捉对称重尾，却可能遗漏偏斜、波动率动态、跳跃和状态依赖
资料来源与延伸阅读
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选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
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