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测度密度12分钟
金融中的Radon–Nikodym导数：如何改变概率权重
解释Radon–Nikodym导数如何重加权概率、转换期望，以及密度过程在风险中性定价中的作用
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Radon–Nikodym导数dQ/dP是一个非负随机变量，表示概率测度Q相对P如何重新赋予每个结果权重。它把Q下的期望转换为P下的加权期望；在金融中，它不改变哪些事件可能发生，却能连接真实测度与定价测度
绝对连续性允许密度存在
若P认为概率为零的每个事件在Q下也为零，就称Q对P绝对连续，记作Q ≪ P
Radon–Nikodym定理此时给出非负密度Z = dQ/dP，除P零测集外唯一
若P与Q相互绝对连续，两者等价，并对哪些事件不可能发生意见一致
密度逐状态分配概率
对任意事件A，Q(A) = E_P[Z 1_A]；若两者都是概率测度，则E_P[Z] = 1
Z大于1的结果在Q下相对权重增加，低于1则减少
这里的导数不是对时间或价格求导，而是一个测度相对另一个测度的密度
期望通过乘以密度转换
在所需可积条件下，支付X满足E_Q[X] = E_P[ZX]
恒等式只改变权重，不改变支付或样本空间；同一个X被用另一套权重平均
若测度等价且Z为正，dP/dQ = 1/Z在Q下几乎处处成立，密度变换也有链式法则
它是连续版本的似然比
有限状态中，p_s为正时Z_s = q_s/p_s，因此q_s = p_s Z_s
这与重要性抽样相同：在一个分布下取样，再以似然比校正平均值
密度波动过大会把权重集中到少数状态，即使恒等式精确，蒙特卡洛估计也可能不稳定
密度过程展示信息如何展开
给定终值密度Z_T，定义Z_t = E_P[Z_T | F_t]，它是非负P鞅
当Z_t为正时，E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t
信息流很重要，因为Z_t记录时点t已有信息能揭示的终值重加权部分
定价测度使用等价密度
资产定价模型寻找等价测度Q，使恰当贴现后的可交易价格成为鞅或局部鞅
Girsanov定理描述密度如何改变布朗运动漂移，同时保留扩散不确定性和零概率事件
以货币市场账户为计价基准时，适当假设下随机贴现因子可写成贴现项乘以dQ/dP
解释与估计需要检查条件
风险中性Q是定价测度，不必等于真实测度P对实际发生频率的预测
候选密度须非负、均值为1、适应信息流，并让目标贴现资产成为鞅
使用转换期望前，应披露基础与目标测度、计价基准、期限、密度方向、可积性和数值诊断
常见问题
如何简单理解Radon–Nikodym导数？
它是似然比，说明一套概率体系对每个结果给予的权重是另一套体系的多少倍
为什么Q必须对P绝对连续？
若Q给P认为不可能的事件正概率，就无法用相对P的有限密度恢复该概率
dQ/dP是时间导数吗？
不是；它是Q相对P的测度密度，随时间的密度过程由终值密度的条件期望形成
它与风险中性定价有何关系？
它把真实概率权重换成定价权重，使贴现后的交易价格可以在Q下成为鞅
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权