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测度变换阅读约12分钟
期权定价中的Girsanov定理详解
理解Girsanov定理如何在概率测度之间移动布朗漂移、保留扩散项并导出风险中性动态
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Girsanov定理描述绝对连续概率测度变换如何移动布朗驱动过程的漂移，同时保留其扩散项。在明确的密度与可积性条件下，它是把现实世界动态严谨连接到风险中性定价动态的核心工具
现实测度动态包含预期收益漂移
在现实测度 P 下，股票可能服从 dS/S = μdt + σdWᴾ，其中 μ 是模型预期收益率
该漂移对预测和组合选择很重要，但完整扩散模型中的无套利期权价值不应依赖任意 μ 估计
从现实概率转向定价概率不是更换一个符号，而是需要有效的测度变换
密度过程重新加权整条路径
Radon–Nikodym导数定义新测度截至各时点相对旧测度如何加权事件
在布朗模型中，密度通常写成由常记为 λ 的过程构造的随机指数
密度必须为正且期望为一，否则所提表达式可能无法定义等价概率测度
布朗运动获得补偿漂移
在有效密度下，采用一种常见符号约定，Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt 是新测度 Q 下的布朗运动
代入 dWᴾ = dWᵠ − λdt，会移动所有暴露于该布朗冲击过程的漂移
乘在 dW 上的波动率不会消失。等价扩散测度变换改变漂移而保留瞬时协方差结构
风险中性漂移服从融资与持有成本
对无股息股票，选择 λ 使 Q 漂移成为短期利率 r；有股息率 q 时，除息漂移通常是 r − q
贴现总回报资产于是成为 Q 鞅，可复制收益可按贴现 Q 期望定价
这不表示股票在现实中实际赚取 r，而是说明其漂移在所选定价测度下如何表现
Lambda表示布朗风险价格
在无股息的简单常数系数情形，按所述符号约定 λ = (μ − r) / σ
有多个风险源时，风险价格向量通过波动率载荷矩阵移动漂移；载荷秩不足时无法实现任意漂移
在不完备市场中，交易资产未确定的风险价格分量可能保留，从而产生多个可接受鞅测度
定理需要可积性条件
Novikov、Kazamaki等条件常用于确保随机指数是真鞅，而不只是局部鞅
等价性也保留零概率事件，测度变换不能让真正不可能的路径变得可能而仍保持等价
爆炸系数、严格局部鞅、无限期限或弱正则性都可能使随意应用公式失效
跳跃与实现需要更广泛的变换
对跳跃过程，测度变换除连续漂移外还可能改变跳跃强度和跳跃大小分布
校准定价模型可直接指定风险中性参数，但连接现实估计仍需要风险溢价模型
解释变换动态前，应说明原测度、目标测度、密度、符号、计价基准、期限与成立条件
常见问题
Girsanov定理在金融中做什么？
它给出改变概率测度、移动布朗漂移并让贴现可交易价格成为鞅的条件
Girsanov定理会改变波动率吗？
等价布朗扩散变换会移动漂移，同时保留瞬时扩散系数与协方差
什么是市场风险价格？
它是密度中把风险暴露转换为现实测度与定价测度间漂移调整的过程
Girsanov定理可用于跳跃吗？
可通过更广泛的半鞅结果使用，但跳跃强度与大小分布也可能改变，必须说明
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权