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计价基准与测度变换详解
理解计价基准选择如何改变概率测度、哪些相对价格成为鞅，以及远期测度为何能简化定价
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
计价基准是用作价值单位的严格为正可交易资产。把所有价格除以该资产并转向其对应测度后，适格相对价格成为鞅，从而可一致整理随机贴现并进一步简化特定衍生品收益的条件期望估值
价格总是以某种单位表示
美元价格把货币作为可见单位，而资产定价模型常把货币市场账户作为动态计价基准
若 Nₜ 是计价基准，资产 X 的相对价格为 Xₜ/Nₜ，即购买 X 所需的 N 数量
更换单位不会创造价值，只是重组相同经济收益并选择更方便的条件期望
有效计价基准必须严格为正
它必须在相关期限内可交易且严格为正，才能定义除法并保持测度密度有效
可能触及零的资产通常不能作为全局基准，除非采用局部化或缩小状态空间
定义其总回报价值时，融资、抵押、股息与再投资必须一致纳入
每个计价基准都有对应测度
从货币市场基准 B 与风险中性测度 Qᴮ 出发，另一个 N 通过基于 N/B 的密度定义 Qᴺ
在 Qᴺ 下，每个适格交易价格除以 N 后是鞅；在 Qᴮ 下，则是除以 B 后具有该性质
原始资产价格不存在脱离测度的鞅结论，计价基准与测度必须成对出现
估值恒等式保留原始价格
T时刻收益 H 可写成 Nₜ 乘以 Qᴺ 下 H/N_T 的条件期望
更换基准会同时改变收益单位与概率权重，若假设一致，最终货币价值保持相同
这是定价变换，并不预测某个测度下的事件概率在现实中更可能发生
零息债券产生远期测度
选择 T到期零息债券 P(t,T) 作为基准，在 T远期测度下，适格的 T交割远期价格成为鞅
它可从 T支付的收益中消除随机贴现，简化利率上限、互换期权、债券期权等产品
到期日必须与支付日匹配，多笔现金流需谨慎拆分；一个远期测度不能同时简化所有日期
合理选择可减少代数与模拟方差
选择类似于收益中正因子的基准，除法后可能把产品转化为更简单的指标或交换期权
在蒙特卡洛中，变换收益可能方差更低或无需另行模拟贴现因子，但改善并非自动发生
数值便利无法修复模型不一致，变换后漂移、协方差与密度动态仍必须正确
股息与外汇说明经济含义
股票计价基准必须包含再投资股息，而不能只用报价的除息价格
在外汇中，本国与外国货币市场账户自然产生本国和外国风险中性测度
Quanto与跨币种请求权展示汇率、资产、利率和所选基准相关性造成的漂移调整
验证应恢复相同货币价值
在两个基准下为同一基准合约定价，换回原货币后应在解析或数值误差内一致
检查密度归一化、相对资产鞅、支付日对齐、总回报约定与模拟漂移调整
记录计价基准、对应测度、Radon–Nikodym导数、结算货币与所有现金流日期
常见问题
金融中的计价基准是什么？
它是用来表示其他资产价格和收益的严格为正可交易价值单位
为什么更换计价基准会改变概率测度？
测度需重新加权，使相对新基准而非旧基准的价格满足鞅性质
什么是远期测度？
它是与特定到期零息债券基准关联的测度，使适当远期价格成为鞅
计价基准选择会改变期权价值吗？
模型与转换一致时不会，它只改变计算同一价值所用的表达方式
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权