KPSS 平稳性检验：原假设、统计量与带宽

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin 检验简称 KPSS，它把常见 Dickey–Fuller 检验的原假设方向反过来。KPSS 的原假设是序列相对于检验指定的确定性项平稳；原始设定的备择允许随机游走分量具有正的创新方差。

KPSS 统计量足够大，表示反对所选水平或趋势平稳原假设的证据较强。统计量较小只表示在当前设定和样本下，证据不足以拒绝原假设。它不证明过程永远平稳、均值永久稳定，或价格会回到可交易水平。

平稳性与单位根指南介绍相关概念。ADF 与 Phillips–Perron 对比介绍另外两种把单位根放在原假设中的检验。它们回答互补的问题，不能视为同一检验的可互换版本。

KPSS 将观测序列写作

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

其中 \(d_t\) 是确定性部分，\(r_t\) 是随机游走分量，\(\epsilon_t\) 是平稳误差。水平平稳检验中，\(d_t\) 含截距；趋势平稳检验中，它含截距和线性时间趋势。

原假设令随机游走创新的方差为零，即 \(\sigma_u^2=0\)。没有随机游走时，序列围绕指定常数或确定性趋势波动。备择允许 \(\sigma_u^2>0\)，此时冲击可以累积为随机趋势，而非围绕确定性路径逐渐消退。

这是检验维持的模型，并不表示所有备择都是教科书式随机游走。结构突变、分数持久性、非线性动态、方差变化或确定性项设定不当，也可能使原假设模型不适合样本。检验揭示数据与所选平稳性设定之间的冲突，不会识别唯一替代模型。

先将观测值对所选确定性项回归，残差记为 \(\hat e_t\)。累积部分和为

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS 统计量通常写作

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

其中 \(n\) 是样本量，\(\hat{\omega}^{\,2}\) 是残差长期方差估计。若残差连续多期同号，\(S_t\) 会远离零。对部分和平方会让持续偏离比孤立的符号变化贡献更大。

统计量非负。相对于长期方差，累计偏离越大，越难维持平稳性原假设。分母很关键：即使基础过程平稳，残差的序列相关也会改变部分和应有的波动程度。

水平版本检验序列是否围绕常数平稳；趋势版本先去掉截距和线性时间趋势，再检验剩余部分是否平稳。有些实现把两类称为 mu 和 tau，但名称和输出约定因软件而异。

选择会同时改变残差和参考分布。趋势平稳序列若漏掉确定性趋势，可能留下长串残差模式并抬高统计量。无理由加入趋势也会改变被检验模型，还可能降低对某些备择的检验力。应根据数据定义和经济问题决定，并报告选择，不要反复切换到结果看起来有利为止。

KPSS 临界值来自非标准渐近分布，水平与趋势情形不同。不要与普通 t 或卡方阈值比较，也不要把一个记忆中的阈值用于所有确定性设定。应使用相应的临界值表或软件结果，并注明显著性水平。

部分软件只报告 p 值范围，因为它用有限的临界值表进行比较。此时报告输出支持的范围，不要编造更多小数位。注明水平/趋势情形和临界值来源，以便他人复现判断。

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一种常见长期方差估计会对残差自协方差加权：

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

这里，\(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\)表示分母为\(n\)的滞后\(j\)样本自协方差；不同实现的有限样本计算约定可能有所不同。

使用 Bartlett 权重时，\(w_j=1-j/(\ell+1)\)。截断带宽 \(\ell\) 决定纳入多少残差自协方差以及权重衰减速度。不同实现可能采用不同核函数、带宽规则和有限样本约定；要可复现就需报告这些设置。

这个带宽不是 ADF 回归中加入的差分滞后数。KPSS 用它控制长期方差估计；ADF 则把差分滞后项放进回归方程。软件可能都称其为 lag，因此只写“lag 4”无法说明具体设定。

带宽太短可能漏掉重要的短期依赖；带宽太长可能加入噪声较大的样本自协方差。两者都可能改变统计量、检验尺寸或检验力，对任何残差模式都没有统一影响方向。报告核函数和滞后选择规则，并查看合理且预先确定的替代设定是否改变解读。

长期方差调整与异方差和自相关一致的协方差估计有关，但不会让 KPSS 对所有依赖形式、结构突变或错误确定性设定都稳健。Newey–West 协方差指南进一步说明 HAC 估计的作用与局限。

假设六个合成观测的趋势回归残差为 \(1,-1,0,0,-1,1\)。残差和为零，且与线性时间趋势正交，这是含趋势回归残差应满足的条件。部分和为 \(1,0,0,0,-1,0\)，其平方和为 \(2\)。

为说明算术过程，采用分母为 \(n\) 的样本自协方差约定和带宽为 1 的 Bartlett 权重。残差方差项为 \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\)。一阶自协方差为 \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\)，其 Bartlett 权重是 \(1/2\)。因此

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

六个点的计算只演示公式机制，样本太小，不能支持通常的渐近 KPSS 判断。不要像解释实证发现那样将该统计量与已发表临界值比较。

把 KPSS 和 ADF 类检验一起运行，可以看出结论在多大程度上依赖原假设。应将它们视为两个不同模型下的证据：

两种检验在滞后修正、确定性项、样本和有限样本近似上可能不同。适当时对齐设置，并记录不可避免的差异。不要把四种组合转成自动差分规则。未拒绝不等于原假设为真。

均值的一次性变化、趋势变化或方差突变，会使各状态内平稳的过程在全样本上看起来非平稳。相反，接近 1 的根也会让有限数据难以与单位根区分。短样本、异常值、厚尾、非线性调整和分数积分都会让参考近似失准。

报告检验前，先画出序列水平、所选确定性拟合和残差。若结构突变合理，使用考虑突变的设计并说明原假设、突变处理和临界值。若尝试过多个突变日期或带宽，要披露选择过程；搜索中最小的 p 值不是未经筛选的检验结果。

对两项资产的价差，KPSS 不检验协整。Engle–Granger 指南介绍基于残差的协整程序及其独立临界值问题；Johansen 秩检验指南介绍系统方法。单个价格序列上的 KPSS 不能替代这两种分析。

若对估计对冲比率、ARMA 模型或选定突变日期后得到的残差运行 KPSS，这些残差来自前置拟合步骤。参数估计和模型选择会改变原假设分布。不要默认普通临界值适用于整条流程；应使用针对拟合模型校准的残差检验，或重复估计步骤的 bootstrap。

报告变量和变换、观测数、水平或趋势原假设、确定性项、长期方差核函数、带宽规则、统计量、对应临界值或 p 值及显著性水平。只有替代设定有理由且透明报告时，才加入敏感性检查；不要试遍多个窗口和版本后只挑最适合宣传的结果。

对市场数据，还要说明样本日期、频率、交易时段对齐、缺失值处理，以及序列属于价格、收益、残差还是价差。未拒绝 KPSS 原假设不代表价差很快收敛。均值回归策略仍需定义均衡、进行样本外评估、确保信号在下单时可用，并纳入实际价差、资金、借券和执行成本。

对 log-price 水平的检验与对其一阶差分——收益——的检验回答不同问题。差分在某些模型下可去除随机趋势，但也改变研究变量，且不能证明两个资产间存在长期关系。应依据研究对象选择变换并明确报告。

Kwiatkowski、Phillips、Schmidt 和 Shin 的1992 年论文90104-Y)把 KPSS 表述为检验随机游走分量方差是否为零的 LM 检验。Newey 和 West 的1987 年论文是半正定 HAC 协方差估计的主要文献。比较单位根原假设时，可参阅 Dickey 和 Fuller 的1979 年论文。