Johansen 协整检验：秩、迹检验与最大特征根检验

假设 \(y_t\) 含有 \(k\) 个变量，并在明确的数据生成设定下将每个变量视为 \(I(1)\)。协整秩 \(r\) 是这些变量水平值的线性组合中彼此独立且平稳的关系数量。若 \(r=0\)，则在该规格下没有找到这种组合。若 \(0<r<k\)，则存在 \(r\) 个独立长期关系；在通常的 \(I(1)\) 系统条件下，还存在 \(k-r\) 个共同随机趋势。秩为 1 表示整个系统中有一个关系，并不一定意味着存在一对显而易见的资产。

这是一个系统层面的问题。两步 Engle–Granger 方法估计一条经过归一化的长期方程，再检验拟合残差。Johansen 的极大似然方法则估计并检验向量自回归中协整空间的维数，因此能够表示多个独立关系。两种方法回答相关但不同的问题，在有限样本或滞后阶数、确定性项设定不同时，结果可能不一致。

省略确定性项后，水平 VAR 可改写为简化的向量误差修正形式：

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

这里的 \(p\) 是水平 VAR 的滞后阶数。\(\beta\) 的列表示长期组合，\(\alpha\) 则包含调整载荷，将先前的失衡与当前变化联系起来。当 \(\Pi\) 的秩为 \(r\) 时，它可以分解为两个 \(k\times r\) 矩阵 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。决定系统中误差修正项数量的是矩阵的秩，而不只是变量数量。

如果全部 \(k\) 个序列确实是 \(I(1)\)，通常的协整情形满足 \(r<k\)。满秩结果意味着水平值可能围绕拟合规格允许的确定性项平稳，应重新检查最初关于单整阶数的前提。秩为 0 并不证明变量之间完全没有任何联系；它表示在所选模型和检验秩下，没有找到平稳的水平组合。

将估计特征根按 \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\) 排序。这些数值来自极大似然过程中的降秩问题，并不是通常意义上的方差解释百分比。候选秩为 \(r\) 时，迹统计量为：

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

它检验 \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\)，对比 \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\)，并汇总其余特征根提供的证据。最大特征根统计量为：

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

它检验秩 \(r\) 对比下一个秩 \(r+1\)。因此，迹检验询问关系总数是否超过 \(r\)，而最大特征根检验询问数据是否支持增加下一条关系。这两种秩检验的原假设都不使用常见的卡方参考分布。

设想一个有 200 个有效观测值、估计特征根依次为 \(0.16\)、\(0.05\) 和 \(0.01\) 的三变量系统。这些是教学用的假设输入，不是市场估计。在 \(r=0\) 时，迹统计量合计三个部分，约为 \(47.14\)；最大特征根统计量只取第一项，约为 \(34.87\)。在 \(r=1\) 时，两者分别约为 \(12.27\) 和 \(10.26\)；在 \(r=2\) 时，两者都只用最后一个特征根，约为 \(2.01\)。

计算得到的是检验统计量，而不是秩判定。要作出判断，必须与确切确定性设定和检验顺序对应的临界值或 p 值比较。例如，软件表中的“拒绝 \(r=0\)”表示在该表假设和所选显著性水平下，有证据反对秩为 0；它并不直接表示某个资产价差平稳的概率。p 值高于阈值表示无法拒绝该秩原假设，并不证明原假设为真。

解读秩之前，先选择有依据的 VAR 滞后阶数。水平 VAR 的阶数 \(p\) 对应 VECM 中 \(p-1\) 阶差分滞后。滞后太少可能使残差保留序列相关；滞后太多则会消耗自由度，使有限样本推断不稳定。信息准则可以帮助整理候选项，但残差诊断、样本量和经济过程的时间特征同样重要。说明如何选择阶数，并检查合理的替代值。

确定截距和趋势应放在协整关系之外、限制在关系内部，还是在维持的模型中省略。这些设定意味着不同的长期行为，也会产生不同的秩检验分布。应依据问题和数据选择规格，而不是搜索最有利的 p 值。临界值要匹配准确的确定性设定、变量数量和具体实现。Johansen 秩统计量服从非标准分布。MacKinnon、Haug 和 Michelis 针对特定的 Johansen 型似然比检验计算响应面分布，其中包括允许外生 \(I(1)\) 变量的扩展。这些数值不能直接套用于所有秩检验设置。

确定性项的位置并非软件中的装饰性选项。在常见参数化中，限制在协整关系内的常数项允许该均衡组合具有非零均值；不受限制、放在关系之外的常数项，则可能允许水平值出现不同的确定性漂移。趋势限制也会改变模型维持的长期路径。只写“包含常数项”并不完整；应说明常数项的位置和每项限制。

核心估计对象是协整空间。在秩为 1 的模型中，将向量 \(\beta\) 乘以任意非零常数，不会改变哪个水平组合是平稳的。因此分析者会选择一种归一化方式，例如将某个系数设为 1。在更高秩的情况下，有多个基底可以张成相同空间；软件显示的向量并非自动代表唯一的经济关系。解释某个具体向量需要额外理论或约束，并应报告归一化方式。

调整矩阵 \(\alpha\) 反映在拟合系统中哪些变量会对失衡作出反应。其符号取决于所选归一化方式，各项是系统条件下的系数，并非独立的因果效应。较小或为零的载荷可以引出弱外生性假设，但需要在维持的模型下进行相应的正式约束检验。协整秩本身无法说明哪个变量“领先”、哪条关系具有经济意义，或冲击会如何影响未来价格。

这种不唯一性来自矩阵分解本身，并非显示方式造成的假象。对于非奇异矩阵 \(H\)，\(\beta H\) 与 \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) 会产生相同的长期矩阵 \(\Pi\)。因此，即使估计出的空间可以识别，软件显示的某一组向量也未必唯一。若要选定某个向量作为可交易价差，需要明确的归一化或经济约束；其单位和风险还须另行分析。

通常从 0 开始，依次检验候选秩，直到遇到第一个无法拒绝的原假设。选定的秩是在所选显著性水平和规格下的模型选择。若迹检验和最大特征根检验结果不同，应同时报告并调查滞后阶数、确定性项、检验力不足、结构断点和样本敏感性，而不是隐藏分歧。

似然比临界值是非标准的，并取决于系统规格。接近单位根的行为、短样本、异常值、状态变化、\(I(2)\) 变量或外生积分变量，可能使简单的 \(I(1)\) 设定不再合适。标准秩表不会自动涵盖这些情况。Johansen 的早期研究在高斯 VAR 假设下建立似然推断；后续响应面计算为特定检验设置提供参考分布，并非适用于所有数据问题。

例如，若迹检验拒绝 \(r=0\) 和 \(r=1\)，但不拒绝 \(r=2\)，常规顺序检验会在该规格和显著性水平下选择秩 2。这不表示秩为 2 的概率等于 1。最大特征根检验比较相邻秩的原假设，因此也应报告它的判定。不要把一种检验的临界值用于另一种统计量。

所选秩也取决于样本期间。经济关系、市场结构或变量定义发生变化时，前后期样本的估计结果可能不同。敏感性分析能揭示这种不稳定性，但搜索许多样本终点会带来另一类多重检验问题。应说明哪些时间窗口是预先设定的，并将事后尝试的切分视为探索性证据。

在交易研究中，估计出的 \(\beta\) 向量可以作为一种价差定义的候选，但秩本身不会给出入场和退出水平、仓位大小或预期收益。当存在多个协整向量时，选择某个组合可能涉及归一化、约束和数据筛选。即使估计出统计关系，权重也可能要求做空、使用杠杆或持有流动性差的资产。

只使用每个决策日期可获得的信息估计系统，并按时间顺序检验完整的筛选和重新估计流程。检查关系在样本外是否稳定，并按需要纳入股息、合约换月、货币转换、融资、借券可用性、买卖价差、市场冲击和执行时点。拒绝某个秩原假设是关于特定模型的证据，并非盈利能力主张。[Engle–Granger 检验与误差修正](/zh-CN/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)介绍单方程替代方法；[配对交易中的协整与相关性](/zh-CN/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)说明相关性为何不是同一种性质。

说明 \(k\) 个变量、变换方式、观测频率、样本日期和单整阶数证据。报告水平 VAR 滞后阶数、确定性项位置、有效样本量、迹统计量与最大特征根统计量、对应的临界值或 p 值、显著性水平和顺序秩判定。说明两种检验是否一致、后续采用哪个秩，以及敏感性检查是否改变结果。

展示向量时，给出归一化、限制条件及相应的调整载荷。用于交易时，还应披露每次再平衡可用的数据、向量选择规则、样本外设计、成本和失败处理。Johansen 的1988 年协整向量分析90041-3)建立了协整空间和秩的似然方法。1991 年高斯 VAR 研究讨论秩推断及向量假设。MacKinnon、Haug 和 Michelis 提供协整似然比检验的响应面分布。相关指南介绍[平稳性与单位根](/zh-CN/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)。