Engle–Granger 协整检验：残差与误差修正

两个具有趋势的序列可能因为共享随机趋势而看起来有关联。协整是更具体的判断：如果各序列是一阶单整 I(1)，某个特定的加权组合可能是平稳的 I(0)。在选定模型中，这个组合就是长期均衡误差。它围绕稳定分布波动，而不是无限漂移。

Engle–Granger 两步法用单方程检验这一判断。第一步用水平值估计长期关系；第二步检验估计残差是否有单位根。由于第一阶段必须选择哪个变量放在等式左侧，有限样本下检验结果会受方向影响。本文讨论经典的双变量设定；若可能存在多个协整关系，它不能取代系统方法。

常见设定假定组成变量是 I(1)：在选定规格下，水平值非平稳，而一阶差分平稳。单位根检验并不完美，在短样本或结构断点附近尤其如此，因此应把单整阶数检查视为证据，而非机械门槛。将 I(0) 序列与 I(1) 序列混合，不符合本文所述的经典 I(1) 协整情形。

应根据数据生成问题，决定长期方程包含截距、确定性趋势还是两者都不包含。例如，分析资产价格对数时，可以在价差关系中纳入截距但不设确定性趋势；某些经济总量可能需要趋势项。确定性项既影响估计的均衡，也影响残差检验的分布。看过 p 值后再挑选这些项，会使检验结果更难解释。

对两个水平序列 \(y_t\) 和 \(x_t\)，一种简单的第一阶段方程是：

\[ y_t = a + \beta x_t + u_t. \]

在维持的假设下，用普通最小二乘估计 \(a\) 和 \(\beta\)，并保存 \(\hat u_t = y_t-\hat a-\hat\beta x_t\)。如果这两个序列在该规格下协整，那么即使各自的水平值非平稳，这个拟合组合也应平稳。

在金融例子中，\(y_t\) 和 \(x_t\) 可以是同一频率观测的两种资产对数总回报指数。系数 \(\hat\beta\) 定义拟合的长期组合，但不会自动成为美元中性或低风险的投资组合权重。改变左侧变量、样本、股息处理、货币或趋势设定，都可能改变估计值和残差。应清楚说明方程的经济含义。

一种增广 Dickey–Fuller 型残差回归可写为：

\[ \Delta\hat u_t = \rho\hat u_{t-1} + \sum_{j=1}^{q}\phi_j\Delta\hat u_{t-j} + e_t. \]

“不存在协整”的原假设对应残差有单位根；备择假设是拟合残差平稳。在上述简化记法中，足够负的残差检验统计量才构成反对原假设的证据。滞后项用于刻画残差的序列依赖，因此滞后阶数与残差诊断都很重要。这与第一阶段为选择协整临界值情形而设定截距或趋势，是两个不同的选择。增广滞后过少可能留下序列相关；应说明如何选择滞后阶数，并检查合理的替代值，Agiakloglou 和 Newbold 也讨论了这一问题。

残差是第一步估计得到的，因此原假设下的分布会改变。不要把这个统计量与普通 Dickey–Fuller 临界值或通用 ADF p 值比较。应使用与所选确定性项、变量数量和样本量相符的 Engle–Granger 残差检验临界值或 p 值。Phillips 和 Ouliaris 推导了基于残差检验的渐近理论；MacKinnon 则为常见规格提供响应面临界值。 因此，即使残差检验统计量的数值相同，只要第一阶段的确定性项或解释变量数量不同，所比较的基准临界值也可能不同。

假设研究者在固定的月度样本中分析两个对数价格指数。按明确说明的单位根规格，两者看起来都是 I(1)。第一阶段回归包含截距并生成拟合残差。随后用适用于该确定性设定和样本的 Engle–Granger 分布评估残差统计量，而不是查普通 ADF 表。

假设匹配的检验 p 值低于研究者预先设定的 5% 门槛。研究者据此拒绝该规格下“不存在协整”的原假设，并发现估计组合平稳的证据。结论取决于样本、滞后选择、确定性项和单整假设。它不能证明所有资产对都有关联、关系会在样本外持续，或拟合残差能提供有利可图的入场信号。若 p 值高于 5%，正确表述是“该检验未能拒绝不存在协整”，而不是“已证明序列毫无关系”。

下图为概念示意：共同随机趋势可以与有界残差同时存在，偏离拟合关系的幅度之后也可能缩小。图中没有实测序列，也不表示调整总会以可预测的速度发生。

若长期关系得到支持，误差修正模型可以把短期变化与上一期的均衡误差结合起来。令 \(\hat u_{t-1}=y_{t-1}-\hat a-\hat\beta x_{t-1}\)，一个例子是：

\[ \Delta y_t = c + \lambda\hat u_{t-1} + \sum_{i=1}^{r}\phi_i\Delta y_{t-i} + \sum_{j=0}^{s}\theta_j\Delta x_{t-j} + \epsilon_t. \]

这里，\(\lambda\) 是该参数化中 \(y_t\) 的调整系数。如果 \(y\) 高于拟合关系且 \(\lambda<0\)，在其他条件相同的情况下，误差修正项会促使 \(y\) 向下变动。这个符号解释基于 \(\hat u=y-\hat a-\hat\beta x\) 的定义；若反过来定义残差，系数符号也会反转。短期系数描述额外的条件反应。其他变量也可能调整；协整本身不会说明哪个市场或经济变量承担调整。

除非模型确实具有那种简单动态形式，否则不要把 \(\lambda\) 机械地解释成“价差每月按这个百分比收敛”。滞后变化、多个调整变量、非线性反应和结构断点都会影响路径。稳定的长期关系不是结构性因果机制；调整系数的解释也以所指定的模型和信息集为条件。

Engle–Granger 单方程设定可以检验一个指定的长期组合，其中可以有一个因变量和多个解释变量。两个 I(1) 变量的协整秩最高为 1；更大的系统则可能有多个协整向量。一次残差检验不能确定整个系统的秩；Johansen 方法在自身 VAR 和确定性项假设下专门处理秩问题。

有限样本下，第一阶段的归一化也很重要。长期关系在概念上是关于线性组合的，但将 \(y\) 对 \(x\) 回归，与将 \(x\) 对 \(y\) 回归，通常不会得到数值相同的结果。应出于明确的经济理由选择归一化并报告。如果反转方程后结论改变，应报告这种敏感性，而不是只挑有利结果。

小样本下检验力可能较低，滞后选择、确定性项、离群值和结构断点也会影响结果。长期关系发生断点后，原本平稳的组合在全样本内可能显得不稳定。一次拒绝是在既定规格下的证据，不是关系永久存在的证明。

在交易应用中，拟合残差可能被称为价差，但这个名称并未定义可执行的投资组合。基于对数价格构造的价差不同于金额头寸；仅含价格的序列也不同于总回报序列。回归系数可能漂移；即便估计残差平稳，也不会自动给出入场门槛、持有期、止损或仓位大小。

长期关系只能用每个决策时点可获得的数据估计。如果用整个回测样本估计对冲系数，再回到更早日期交易，信号就泄漏了未来观测。应按时间顺序划分形成期和评估期，计入股息、拆股、借券可得性、融资、买卖价差、市场冲击和再平衡，并定义诊断显示断点时如何处理。搜索大量资产对和窗口也会产生协整检验无法校正的选择偏差。

实践中要问的不只是某个残差检验是否拒绝原假设。还要问经济联系是否有持续的理由、能否通过透明的稳定性检查，以及在纳入不确定性和成本后可执行规则是否仍然成立。协整可以为模型提供信息，但不能保证收敛、对冲有效或盈利。

说明变量、变换、频率、样本日期、单整证据和第一阶段归一化。列出是否包含截距或趋势、残差检验类型、滞后选择规则、检验统计量，以及协整专用临界值或 p 值的来源。报告采用合理替代滞后或样本窗口时的敏感性，并说明是否分析了断点。

若估计误差修正模型，应定义滞后失衡项和符号约定，说明允许哪些变量调整，并将短期系数与长期关系分开。若是交易研究，应披露按时间顺序划分的样本、配对选择规则、成本、融资、借券假设和失败处理方式。只有这些细节齐备，读者才能区分可复现的检验与一张看似显示收敛的图。

Engle 和 Granger 的协整、估计与检验原始论文阐述了协整与误差修正的联系。Phillips 和 Ouliaris 推导了残差协整检验的渐近理论。MacKinnon 的临界值研究说明了随样本量和检验规格变化的响应面临界值。Agiakloglou 和 Newbold 研究了增广 Dickey–Fuller 检验的滞后结构90022-Q)。对于可能存在多个关系的系统，可参阅 Johansen 的协整向量分析90041-3)。相关指南包括[配对交易中的协整与相关关系](/zh-CN/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的平稳性、单位根与均值回归](/zh-CN/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及[用局部投影法估计脉冲响应](/zh-CN/learn/local-projections-impulse-responses-horizons-explained)。