ADF 与 Phillips–Perron：单位根检验有何不同

在自回归水平方程中，单位根意味着冲击可能不会从序列水平中消退。把一阶差分写成对滞后水平的回归，就能看出这个假设：若滞后水平项的系数为零，则在给定模型下，水平过程的根为 1。负系数表示证据朝向平稳备择，但前提是维持假设和确定性项设定合理。

因此，在常见 ADF 和 PP 实现中，原假设不是“序列平稳”。原假设是单位根；备择是假定序列围绕所选确定性成分平稳。统计量不够负而未能拒绝原假设，并不能证明序列存在单位根。样本可能只是信息不足，无法区分单位根与自回归根接近 1 的高度持续平稳过程。

这与以平稳性为原假设的 KPSS 检验不同，也不同于直接检验协整。平稳性与单位根指南介绍更广泛的问题；Engle–Granger 指南讨论非平稳序列的某个线性组合可能平稳这一特殊情形。

单位根回归可以不含确定性项，只含常数，或包含常数和线性时间趋势。这些不是无关紧要的开关。常数允许单位根原假设下存在漂移，也允许平稳备择下均值非零；时间趋势则让平稳备择围绕确定性趋势波动。所选项会改变模型和原假设下的非标准分布。

加入不必要的趋势会增加待估参数，可能降低检验功效。遗漏真实漂移或趋势则可能扭曲检验尺寸和解释。应根据数据生成问题及序列图选择设定，明确报告，并使用相应临界值。不要事后挑选最容易得到预期拒绝结论的选项。

同一原则适用于对数价格、价差、利率或收益率。对价格水平而言合理的正趋势，放在收益率上可能毫无意义。检验无法替你确定研究对象的经济含义。确定性成分属于假设的一部分，不应作为估计后隐藏的预处理细节。

增广 Dickey–Fuller 回归可写为：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

其中 dₜ 包含所选确定性项，原假设为 H₀: γ = 0。加入差分滞后项，是为了让剩余扰动足够适合检验近似。它们在回归内部以参数方式描述短期动态，并不是额外的单位根约束。

滞后阶数 p 很关键。滞后过少可能让 εₜ 仍有序列相关，破坏预期的近似；滞后过多会消耗自由度，样本较短时尤其削弱功效。Harris（1992）90022-Q) 的蒙特卡洛研究考察了 ADF 滞后结构、尺寸和功效相关的实际选择。可预先说明最大滞后，结合合理的信息准则与残差诊断，并披露邻近滞后选择是否改变结论。选出的滞后较小，并不能证明残差依赖无关紧要。

某些过程中，滞后选择本身也很困难。Ng 和 Perron 指出，当误差的移动平均根接近 −1 时，在他们研究的设定中，传统 AIC 或 BIC 可能选取过少的增广滞后；他们修订的信息准则针对 GLS 去趋势的单位根程序及相关检验。这是特定动态下的警示，不意味着某个准则或更长滞后总是更优。

Phillips–Perron 检验从 Dickey–Fuller 式回归出发，但没有 ADF 的差分滞后项总和：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

随后，它用短期方差和长期协方差估计修正检验统计量。一种常见的长期方差估计形式为：

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

这里 γ̂ⱼ 是残差自协方差，K 是核权重，ℓ 是带宽或截断阶数。具体定义会随 PP 统计量及软件约定而异。概念差异是一致的：ADF 在回归中加入差分滞后项；PP 则对较短回归的统计量施加非参数依赖性修正。

PP 不是简单的“使用稳健标准误的 ADF”。它的修正改变单位根统计量及其渐近处理；常规异方差稳健回归输出并不能让普通 t 临界值有效。带宽和核函数决定修正纳入多少依赖性。带宽过小可能漏掉相关性；过宽则可能使长期方差估计更嘈杂。

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在单位根原假设下，滞后水平由随机趋势生成，而不是平稳回归变量。因此，DF 系列统计量的极限分布是非标准的。即使样本很大，常规 t 表也不是其参考分布。临界值取决于回归中没有常数、含常数，还是同时含常数与趋势，也取决于统计量及具体实现。

PP 统计量会经过变换以考虑依赖性，但单位根原假设仍须依据相应的非标准参考分布评估。应使用与确定性项和统计量相匹配的可靠实现所给临界值或 p 值。不要拿某一设定的 ADF 统计量对照另一设定的 PP 临界值，也不要把输出的系数 t 比率当成普通 Student t 统计量来判断拒绝。

渐近校准并不保证每个有限样本都表现良好。Schwert 的蒙特卡洛研究报告，单位根程序会受到模型误设影响，不同方法的有限样本表现也不同。解读 p 值时，应结合样本长度、数据生成特征、滞后或带宽以及回归设定。

“尺寸”是真正的单位根原假设被错误拒绝的概率；“功效”是在指定平稳备择下拒绝原假设的概率。即便某个样本结果看起来明确，若真实依赖结构下检验尺寸失真，也可能产生误判。ADF 滞后阶数与 PP 长期方差修正通过不同近似处理相关的依赖问题，因此一种方法的结果并不能自动证明另一种方法稳健。

对于 ADF，要检查加入滞后后残差是否仍有序列相关，并观察稍微增加滞后是否实质改变推断。对于 PP，应报告核函数和带宽规则，并检查合理替代设定。这些是敏感性分析，不是搜遍设定后只保留最有利 p 值的许可。Ng–Perron 的结果也提醒，滞后选择与扰动过程及确定性去趋势相互作用，机械地套用一个信息准则未必足以解决所有设计问题。

两种检验对高度持续但平稳的备择都可能功效较低。未能拒绝不构成必须差分的肯定证据。若样本较短、过程接近单位根，或结论对模型选择至关重要，应考虑假设明确的补充证据和其他方法，而不要把 ADF 与 PP 当作相互独立的投票。

水平突变、趋势变化、政策制度更迭、汇率挂钩机制改变或市场结构转变，都可能使过程看起来高度持续；实际情况或许更适合描述为围绕变化中确定性路径的若干平稳区段。Perron 对重大历史断点的分析展示了单位根结论为何可能取决于是否允许断点。标准 ADF 和 PP 设定不会自动发现所有断点。

应绘制序列图，记录已知制度变化，并判断允许断点的检验或分段模型是否回答了实际问题。观察同一份样本后再搜寻断点也会影响推断；应使用临界值适用于搜索过程的方法，或将其视为探索性分析。Bai–Perron 指南介绍回归断点估计；这是独立程序，并非可以直接替代 ADF 或 PP 的修正。

变换同样重要。价格水平、对数价格、价差和收益率是经济含义不同的变量。对类似单位根的水平取差分可能得到更稳定的序列；但对本来平稳的水平取差分可能丢失信息，并造成不必要的噪声设定。配对研究中的协整分析有助于区分各自的随机趋势与可能平稳的价差。以上诊断都不能单独证明策略有盈利能力。

假设某个虚构水平过程为：

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

其中 μ 为常数漂移，εₜ 为存在序列依赖的创新项。两边减去 yₜ₋₁ 得到 Δyₜ = μ + εₜ，因此相应差分回归中 yₜ₋₁ 的系数 γ 为零。这就是单位根原假设的表示。这个代数关系不会给出 p 值：推断仍采用非标准参考分布，并取决于确定性项与依赖性的处理方式。

若使用 ADF，差分滞后项试图在回归中描述短期依赖。若使用 PP，基础方程更短，统计量则使用估计的长期协方差修正。若数据存在确定性趋势断点，那么即便软件给出看似精确的统计量，两种标准实现也都可能设定错误。

比较包含三个独立层面：实质原假设、回归和确定性项设定、以及残差依赖修正。固定前两项后，ADF 和 PP 可作为有用的替代诊断；不断更改三者直到某个检验拒绝则不可取。结果不同应促使你检查假设和调参，而不是把胜出者当成自动决定模型的裁判。

请报告变量及其变换、样本日期、观测频率、确定性项、ADF 滞后规则与选定阶数，或 PP 统计量、核函数和带宽。还要说明原假设与备择、统计量、对应临界值或 p 值，以及残差序列相关或断点检查。如果结果对合理设定敏感，应如实说明，不要只展示支持首选叙述的设定。

实用流程是先确定目标与经济模型，再选择确定性项，执行设定合理的 ADF 或 PP，诊断序列依赖与潜在断点，最后将结论与补充证据对照。方差比检验指南考察随机游走行为的另一种含义；它的原假设不同，不能替代单位根检验。

ADF 或 PP 都不会因为 p 值越过阈值就命令差分。差分是针对序列和研究问题的建模选择：预测变动、估计长期关系、检验交易价差或保留水平，可能导向不同做法。检验可以为决策提供信息，但最终变换也应符合数据生成机制、稳定性、预测目标及协整结构。