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方差不存在时替代钟形曲线的分布阅读约15分钟
金融中的Stable Distribution与无限方差
理解Alpha-stable分布、广义中心极限定理、无限方差、尾部参数、聚合与早期金融证据，以及采用稳定模型前所需的诊断
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Stable Distribution把独立副本相加并调整位置与尺度后，仍留在同一分布族。非正态Alpha-stable规律具有幂律尾部与无限方差，因此√n缩放、传统波动率和方差推断可能失效。稳定性在数学上一致，但仍是需要实证选择与验证的模型
稳定性是加法下的性质
若对独立副本X_1、X_2和正数a、b，aX_1+bX_2与某个c>0、d下的cX+d同分布，则该分布稳定
这种封闭性使总和保持在同一形状分布族内，因此自然适合聚合
正态分布是α=2的稳定成员；稳定并不自动表示重尾或无限方差
四个参数描述一元稳定律
稳定指数α位于(0,2]，偏斜β位于[−1,1]，尺度与位置在声明参数化下决定大小和中心
α<2时，在非退化条件下尾部以指数α正则变化，极端值远比正态模型常见
稳定密度通常没有初等闭式，且参数化尤其在α=1附近不同，所以软件约定非常重要
矩的存在会改变风险含义
α<2的非正态稳定律具有无限总体方差，即使每个有限数据集的样本方差都有限
绝对一阶矩仅在α>1时有限；α≤1时传统总体均值通常也不存在
不断增大的样本方差或不稳定均值与重尾一致，却不能单独证明矩无限
广义中心极限定理解释该分布族
若独立同分布变量的标准化总和收敛到非退化极限，可能的极限必为稳定律
有限方差输入导向Gaussian α=2，适当正则变化输入则可能导向α<2稳定极限
聚合尺度是n^(1/α)而非√n，中心化方式取决于α和参数化
稳定律拥有悠久金融历史
Mandelbrot观察到投机价格变化中的大幅变动远多于Gaussian模型，因而提出Stable Paretian规律
Fama研究了Stable Paretian收益，以及没有有限方差时分散投资如何成立
后来发现的波动率聚集、截断尾部和状态变化说明，精确iid稳定性并非重尾收益的唯一解释
无限方差是一项强结构声明
精确α<2模型表示任何期限都没有有限总体方差，而不只是方差很大或难以估计
Tempered stable、截断稳定、混合、跳跃、GARCH和随机波动率模型可保留有限矩并模拟有限样本重尾
有限数据难以区分真正无限尾部与非常遥远的有限截点，因此不能只凭对数图的一段直线作结论
验证必须同时检查聚合与尾部
用多种方法估计α及其不确定性，并检查特征函数拟合、分位数、超越值与参数稳定性
检验不同期限的总和是否按预测重新缩放，以及拟合后是否仍有残差依赖或波动率聚集
与有限方差替代模型比较预测尾部覆盖和决策，并报告拟合模型认为哪些矩不存在
常见问题
什么是Stable Distribution？
它是独立副本相加并调整位置与尺度后，仍属于同一分布族的概率分布
所有Stable Distribution都有无限方差吗？
不是。Gaussian α=2成员有有限方差，所有α<2的非正态稳定律都有无限方差
为什么样本方差仍是有限数？
任何有限个有限观测算出的方差都有限，即使模型的总体二阶矩无限
金融收益真的服从Alpha-stable吗？
某些范围可能相似，但截断、波动率聚集、混合与状态变化也能产生相近数据
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权