算术平均与几何平均收益率：平均10%不等于每年增长10%

使用同一投资或组合连续、等长的观察期间。统一币种，起始价值为正，假设没有外部资金进出。还要说明收入是否再投资，以及收益率是否已包含成本。

各期收益率r用小数表示：40%写作0.40，亏损20%写作−0.20。资金应乘以增长因子1 + r，而不是r本身。

算术平均 = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n。它概括观测到的单期收益率平均值，但不能直接重现持续投资账户的最终余额。

连续期间应相乘增长因子：累计收益率 = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1。

全程保持价格收益与总收益的口径一致。中途改变分配款的处理方式，是另一个问题，不是选择哪种平均值能解决的。

假设同一币种10,000投资了完整两年。第一年收益为+40%，第二年为−20%。没有手续费、分配款、追加投入或提款。

若按算术平均10%逐年复利计算，就会得到10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100。多出的900没有在这个账户中出现，而是另一条收益路径的结果。

数字是独立构造的假设算术例子，不是回测、实际投资表现或预测。换一个币种符号不会改变这些百分比。

• 起始价值：10,000。
• 第一年末：10,000 × 1.40 = 14,000。
• 第二年末：14,000 × 0.80 = 11,200。
• 算术平均：(40% − 20%) ÷ 2 = 每年10%。
• 累计收益率：11,200 ÷ 10,000 − 1 = 两年12%。

几何平均收益率是能重现实际增长因子的固定单期收益率g，满足(1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)。

因此g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1。应对增长因子的乘积求n次方根，而不是直接把收益百分比相乘后开方。

两年案例中，g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 每年5.8301%。使用未四舍五入的数值，10,000 × (1 + g)^2 = 11,200。

期间单位为年时，这个几何平均就等于年复合增长率CAGR。无外部资金进出时，CAGR = (期末价值 ÷ 期初价值)^(1/t) − 1，t为经过的年数。

另一个例子中，10,000在五年后成为15,000。累计盈利50%，但CAGR为(1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%，不是50% ÷ 5 = 10%。

[FINRA的年化收益说明](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained)也区分复利年化与将累计收益除以年数的做法。

连续两年+10%、+10%，与+40%、−20%的算术平均相同。然而10,000在前一种情况下变成12,100，后一种只到11,200。

当增长因子为正时，几何平均不会高于算术平均；所有期间收益率相同才会相等。这是在比较同一组观测值，不是给不同基金直接排名的规则。

两者的差距不是应从余额中额外扣除的手续费。复利终值已经包含每期收益的影响。它也不能证明任何低波动投资都必定跑赢另一项投资。

[CFA Institute关于两种平均的讨论](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1)解释了复利为何是乘法而不是加法。

没有外部现金流时，将这两个固定收益率调换顺序不会改变乘积。不过中间路径与观测回撤仍可能改变。

用月度观测值求出的几何平均是月收益率。如果连续十二个月每月恰好获得1%，年度增长为(1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%，不是12%。

这个例子明确给出了全部十二个月。把单个已观察到的1%月份年化，只是在假设相同结果重复，不是一年的实际表现，也不是预测。

如果观测间隔不相等，每次观测的几何平均不会自动成为年收益率。在满足起止价值CAGR计算条件时，应使用实际经过的年数；不满整年还应说明天数约定。

年化数字平滑连接起点和终点。它不代表每一年都赚到该比例，也不表示中间没有大额亏损。

假设同一期间向资产A投入100、向B投入900。A上涨50%，B下跌10%。期末价值分别为150与810，总计960。

组合收益率为(960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%。使用期初权重也一样：0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%。

将+50%和−10%不加权平均得到+20%，忽略了资金配置。将1.50与0.90相乘也不对：这两个持仓同时存在，不是同一笔钱的两个连续期间。

外部存取款又是另一条边界。追加5,000后余额从10,000变成15,000，不一定意味着投资赚了50%。

[GIPS现金流计算原则](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/)区分时间加权表现与反映现金流时点和金额的收益率。

小额期权权利金的收益百分比，不等于整个账户的收益百分比。交易规模不同、持仓期重叠与闲置现金，都使随意相乘单笔交易收益率无法代表账户增长。

[OIC杠杆说明](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk)解释了期权权利金为何可能呈现放大的盈利和亏损百分比。

对于期货，缴纳的保证金是担保，不是购买全部资产敞口的价款。改变这个分母，不会让标的资产产生新的收益。

[CME保证金说明](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed)介绍了这些资金的用途。

比较交易可参考期货收益率的分母；计算组合复利则应使用一致的整个账户估值。纳入未平仓头寸，并让每项成本只计入一次。

先确定要回答的是平均观测值、一项投资的资金增长，还是同时持有的组合表现。这三种问题需要不同计算。

正增长因子公式假设每期收益率高于−100%。全部损失后，没有剩余资金继续复利。账户净值为负时，应分析现金流和负债，而不是作一般CAGR比较。 [!TRYMARK] TryMark平均收益核对 下次检视表现时，以报告的期末价值为核对目标。用带日期的账户收益率重现它；成本、再投资假设或外部现金流改变时，再检查一次。 [!WARNING] 历史平均不保证能够重复的增长 算术平均和几何平均都不能确定明年收益。需要更高盈利或看到平滑的CAGR，都不是增加杠杆的理由。这些例子用于解释测量方法，不是投资建议。

• 记录日期、期间长度、币种及期初、期末价值。
• 区分收入、再投资、成本和外部资金进出。
• 年化之前，先用连续增长因子重建期末价值。
• 分别标注算术平均、累计收益率、单期几何平均与CAGR。