Định lý Cameron–Martin trong tài chính: dịch chuyển đường đi khả dĩ

Một vector Gaussian không suy biến được dịch bởi bất kỳ vector hữu hạn cố định nào vẫn có mật độ tương đương với luật Gaussian ban đầu

Tỷ số khả năng là một biểu thức mũ bao gồm dịch chuyển và vector quan sát được

Wiener measure sống trên một không gian đường đi vô hạn chiều, nơi không phải mọi phép tịnh tiến đường đi tất định đều vô hại

Đối với chuyển động Brown trên [0,T], đường Cameron–Martin h bắt đầu tại zero và tuyệt đối liên tục

Đạo hàm h′ phải khả tích bình phương, tạo ra năng lượng hữu hạn ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt

Các đường đi này tạo thành một không gian Hilbert dù một đường mẫu Brown điển hình tự nó không nằm trong không gian đó

Nếu h thuộc không gian Cameron–Martin, các luật của W và W+h liên tục tuyệt đối lẫn nhau

Mật độ Radon–Nikodym của chúng có một số hạng tuyến tính mũ theo h′ đối với W và một hiệu chỉnh âm bằng nửa năng lượng

Tính tương đương nghĩa là hai luật thống nhất về những biến cố có xác suất bằng zero, không có nghĩa các biến cố đó giữ nguyên xác suất

Nếu một phép tịnh tiến tất định thiếu năng lượng hữu hạn cần thiết, Wiener measure bị dịch và Wiener measure gốc nhìn chung kỳ dị lẫn nhau

Mỗi độ đo khi đó tập trung trên một tập mà độ đo kia xem là null, một hiện tượng không có tương đương trong Gaussian hữu hạn chiều

Ranh giới rõ ràng này là thông điệp trung tâm của định lý, không chỉ là công thức cho tỷ số khả năng khả dĩ

Cameron–Martin xử lý các phép tịnh tiến tất định, còn Girsanov cho phép thay đổi drift ngẫu nhiên thích nghi phù hợp

Cả hai đều dùng mật độ mũ và các ý tưởng về khả tích bình phương, nhưng Girsanov còn cần một martingale mật độ hợp lệ trong các điều kiện đã nêu

Gọi mọi thay đổi drift là Cameron–Martin sẽ che giấu khác biệt giữa một phép tịnh tiến hình học cố định và một phép đổi độ đo ngẫu nhiên

Thay đổi drift risk-neutral, độ nhạy của tỷ số khả năng, importance sampling và các mô hình lãi suất Gaussian đều dựa vào việc tái trọng số không gian đường đi có liên quan

Một dịch chuyển được chọn có thể khiến các vùng payoff hiếm dễ mô phỏng hơn, với mật độ hiệu chỉnh trung bình mẫu tạo ra

Các phương pháp Malliavin cũng dùng các hướng Cameron–Martin để định nghĩa đạo hàm của các hàm phụ thuộc đường đi và các ước tính Greeks

Định lý nói về hình học độ đo Gaussian; nó không chứng minh tính đầy đủ của thị trường, không có arbitrage hay động lực Brown thực nghiệm

Một dịch chuyển hợp lệ về toán học vẫn có thể tạo trọng số mô phỏng không ổn định hoặc bỏ qua jump, biến động ngẫu nhiên và ma sát giao dịch

Kiểm tra không gian đường đi, hiệp phương sai, quy ước mật độ, tính khả tích và phương sai ước tính trước khi dùng kết quả trong tính toán