Gärtner–Ellis Teoremi Açıklaması: Büyük Sapmalar ve Opsiyon Kuyrukları

Z_n rassal vektörleri ve a_n→∞ hızı için Λ_n(θ)=a_n^{-1}log E[exp(a_n⟨θ,Z_n⟩)] tanımlayın

Λ_n(θ)’nın belirtilen bir alanda genişletilmiş-gerçek değerli Λ(θ) fonksiyonuna noktasal olarak yakınsadığını varsayın

Bu limit, nadir olay olasılıklarını ölçmek için kullanılan aynı ölçekte üstel moment büyümesini kaydeder

Aday oran Λ*(x)=sup_θ{⟨θ,x⟩−Λ(θ)} olup Λ’nın Legendre–Fenchel dönüşümüdür

Λ türevlenebilirse bir x hedefi, ∇Λ(θ)=x koşulunu sağlayan bir eğim θ ile eşleştirilebilir

Λ*(x) değeri, ilgili eğilmiş ölçü altında x’i tipik hale getirmenin üstel maliyetidir

Teorem, üstel sıkılık koşulları altında kapalı kümeler için çoğunlukla bir üst sınır verir

Temel alt sınırı, bir destekleyici hiper düzlemin hedefi açıkça belirlediği Λ*’ın yalnızca maruz kalan noktalarını kapsayabilir

Esas düzgünlük, alt yarı-süreklilik ve sonlu alan sınırlarındaki dik davranış, bunu tam bir alt sınıra genişletebilir

Log moment üreten fonksiyonu sıfır çevresinde sonlu olan iid gözlemlerde örneklem ortalaması, standart koşullar altında Λ* oranına sahiptir

Gärtner–Ellis daha geniştir; ölçeklenmiş dönüşüm limiti bilindiğinde bağımlı veya iid olmayan aileleri ele alabilir

Bu genişlik ücretsiz değildir: limiti, üstel sıkılığı ve sınır düzgünlüğünü kanıtlamak zor kısım olabilir

Risksiz log getiriler için uzun-zaman, kısa-zaman veya küçük-gürültü dönüşüm limiti kuyruk ve zarar-dışı opsiyon asimptotiklerini ima edebilir

Önde gelen opsiyon fiyatı azalmasını bir referansla eşleştirmek, aynı rejimde önde gelen zımni volatilite davranışını verebilir

Argüman boyunca fiyatlama ölçüsü, martingal koşulu, kullanım fiyatı ölçeği ve dönüşüm alanı tutarlı kalmalıdır

Her Legendre–Fenchel dönüşümü, sistemin temel nadir olay oranı konveks olmasa bile konvekstir

Düzgün olmayan bir Λ, yarışan fazları kodlayabilir; duali ise doğrusal parçalar ve tekil olmayan en iyi eğimleri içerebilir

Körü körüne dual alma bu nedenle konveks zarfı döndürebilir ve daha doğrudan bir büyük sapma analizi gerektiren durumları kaçırabilir

Genişleyen bir θ ızgarasında Λ_n yakınsamasını, dönüşüm sonluluğunu, konveksliği, türevleri ve sınır büyümesini kontrol edin

Λ*(x)’i tek bir vadeyle değil, birkaç ölçekte simüle edilmiş log olasılıkları veya bağımsız asimptotiklerle karşılaştırın

Türetilen opsiyon fiyatlarında maruz kalan nokta kapsamını, üstel sıkılığı, en iyi çözümün tekliğini, martingal geçerliliğini ve statik arbitraj testlerini belgeleyin