อธิบาย Feller Condition ในโมเดล CIR และ Heston
ทำความเข้าใจ Feller condition พฤติกรรมของขอบเขตศูนย์ nonnegativity เทียบกับ strict positivity และผลด้านตัวเลขสำหรับโมเดล CIR และ Heston
คำตอบโดยตรง
สำหรับ dX_t = κ(θ-X_t)dt + σ√X_t dW_t, Feller condition 2κθ ≥ σ² ทำให้ศูนย์ไม่สามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นที่เป็นบวก หากเงื่อนไขไม่ผ่าน CIR process แบบ exact ยังคง nonnegative แต่สามารถไปถึงศูนย์ได้ ซึ่งต่างจากค่าติดลบที่เกิดจากวิธีเชิงตัวเลข
Square-root diffusion เชื่อม scale เข้ากับ uncertainty
Feller inequality เปรียบเทียบ drift กับ noise
boundary condition มาตรฐานคือ 2κθ ≥ σ² โดยสมมติให้ parameters เป็นบวกและ initial state เป็นบวก
มันเปรียบเทียบ inward drift ที่ศูนย์กับ diffusion intensity ไม่ได้ทดสอบว่า calibration fit ราคาออปชันหรือไม่
บางตำราใช้ Feller index 2κθ/σ² หรือ dimension 4κθ/σ² ดังนั้นต้องตรวจสอบ convention ของ threshold
การผ่านเงื่อนไขทำให้เป็นบวกอย่างเคร่งครัด
เมื่อ 2κθ ≥ σ² และ X_0 > 0 ศูนย์จะเข้าไม่ถึงสำหรับ CIR process แบบ continuous-time ในอุดมคติ
state จะเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในเวลาจำกัด และหลีกเลี่ยงการแตะ square-root boundary ที่เสื่อมสภาพ
strict positivity แข็งแรงกว่า nonnegativity และไม่ควรลดทอนเป็นคำกล่าวกว้าง ๆ ว่าโมเดล stable
การไม่ผ่านเปิดให้แตะ boundary แต่ไม่ทำให้เป็นค่าลบ
เมื่อ 0 < 2κθ < σ² ศูนย์เป็นจุดที่ไปถึงได้ แต่คำตอบ CIR มาตรฐานยังคง nonnegative
เมื่อ θ เป็นบวก zero boundary จะสะท้อนกลับทันที ไม่ใช่ state ที่ถูกดูดซับถาวร
ดังนั้น Feller condition ที่ไม่ผ่านไม่ได้ทำให้ stochastic differential equation ใช้ไม่ได้หรือเป็นลบด้วยตัวมันเอง
Heston ใช้การทดสอบเดียวกันกับ variance
variance ของ Heston เป็นไปตาม dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t โดยแทน σ ด้วย vol-of-vol ξ
เงื่อนไขที่ใช้กันคือ 2κθ ≥ ξ² การไม่ผ่านเปิดให้ variance แตะศูนย์และอาจทำให้ sensitivity ต่อ boundary คมชัดขึ้น
Heston model ที่ calibrated แล้วยังใช้ได้เมื่อเงื่อนไขไม่ผ่าน แต่การตีความและการจัดการเชิงตัวเลขต้องระมัดระวังเพิ่ม
Discretization สร้างปัญหาอีกแบบหนึ่ง
Euler step แบบ naive อาจให้ค่าติดลบแม้ process แบบ exact จะ nonnegative และ Feller condition จะผ่าน
full truncation, implicit methods, quadratic-exponential schemes หรือการ sampling จาก exact transition จัดการ boundary แตกต่างกัน
การ clip ค่าติดลบเปลี่ยนโมเดลที่จำลอง ดังนั้นควรทดสอบ convergence, bias และความเสถียรของ Greeks
Calibration ต้องมี diagnostics ที่คำนึงถึง boundary
รายงาน ratio 2κθ/ξ² ไม่ใช่เพียงว่าผ่านหรือไม่ และเปรียบเทียบ ratio นี้ข้ามวันที่ measure และ uncertainty ของ parameter
parameters แบบ physical และ risk-neutral ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน เพราะ variance risk premia สามารถเปลี่ยน dynamics ของ mean-reversion
ทดสอบเส้นทางใกล้ศูนย์ sensitivity ต่อ time-step, transition moments, error ของออปชัน และ hedge outputs ก่อนเชื่อถือโมเดลที่ fit แล้ว
คำถามที่พบบ่อย
Feller condition สำหรับ CIR process คืออะไร
สำหรับ dX = κ(θ-X)dt + σ√X dW, เงื่อนไข strict positivity มาตรฐานคือ 2κθ ≥ σ²
หาก Feller condition ไม่ผ่านจะเกิดอะไรขึ้น
process แบบ exact ไปถึงศูนย์ได้ แต่ยังคง nonnegative ภายใต้ CIR specification มาตรฐานที่มี parameters เป็นบวก
Heston ต้องมี Feller condition หรือไม่
ไม่ใช่สำหรับการ pricing ทุกแบบ แต่การไม่ผ่านเปิดให้ variance แตะศูนย์และเพิ่มข้อกังวลเรื่อง boundary ทั้งเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลข
เหตุใด simulation จึงให้ variance ติดลบได้
discrete scheme เช่น naive Euler อาจละเมิด boundary ของ process แบบ exact ดังนั้นต้องตรวจสอบวิธี simulation แยกต่างหาก