อธิบาย Heston Model และ Stochastic Volatility

Black-Scholes ใช้ความผันผวนคงที่ค่าเดียวตลอดอายุสัญญา แต่ราคาตลาดของออปชันกลับบอกเป็นนัยถึงความผันผวนที่ต่างกันตามราคาใช้สิทธิ วันหมดอายุ และเวลา

แบบจำลอง stochastic-volatility ถือว่าความแปรปรวนเป็นตัวแปรสถานะสุ่มอีกตัวหนึ่ง ความไม่แน่นอนของวันพรุ่งนี้ขึ้นอยู่ทั้งกับระดับสินทรัพย์และความแปรปรวนที่เกิดขึ้นตลอดเส้นทาง

สิ่งนี้เพิ่มพลวัตที่สมจริงขึ้น แต่ก็เพิ่มแหล่งความเสี่ยงที่ซื้อขายไม่ได้ ราคาที่สมบูรณ์ต้องมีสมมติฐานว่าความเสี่ยงของความแปรปรวนถูกกำหนดราคาอย่างไร

diffusion ของสินทรัพย์ใช้ √vₜ เป็นความผันผวนฉับพลัน ความแปรปรวนเป็นไปตาม dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ ภายใต้มาตรวัดการกำหนดราคาที่เลือก

ความแปรปรวนปัจจุบัน v₀ กำหนดจุดเริ่มต้น Theta คือระดับความแปรปรวนระยะยาว kappa คือความเร็ว mean reversion และ xi คือความผันผวนของความแปรปรวน

พจน์รากที่สองทำให้ขนาดของแรงกระแทกความแปรปรวนปรับตามสถานะปัจจุบัน พารามิเตอร์อยู่ในหน่วยความแปรปรวน ดังนั้นไม่ควรอ่าน theta ตรง ๆ เป็นเปอร์เซ็นต์ความผันผวน

เมื่อความแปรปรวนสูงกว่า theta drift จะดึงลง เมื่อ ต่ำกว่า theta drift จะดึงขึ้น Kappa ควบคุมว่าการดึงนั้นทำงานเร็วเพียงใด

Mean reversion ที่เร็วทำให้แรงกระแทกปัจจุบันมีผลต่ออายุสั้นมากกว่าอายุไกล ส่วนการกลับตัวที่ช้าจะกระจายผลไปไกลขึ้นตามโครงสร้างอายุ

Kappa และ theta อาจชดเชยกันระหว่างการคาลิเบรต เส้นโค้งที่ฟิตดูสมเหตุสมผลไม่ได้รับประกันว่าพารามิเตอร์ใดพารามิเตอร์หนึ่งถูกระบุได้อย่างแม่นยำ

แรงกระแทก Brownian ของ spot และความแปรปรวนมีความสัมพันธ์ rho ค่า rho ที่เป็นลบหมายความว่าแรงกระแทก spot ติดลบมักเกิดพร้อมแรงกระแทกความแปรปรวนเป็นบวก

ช่องทางที่คล้าย leverage นี้ช่วยสร้าง skew ฝั่งขาลงของหุ้น: spot ที่ลดลงและความแปรปรวนที่เพิ่มขึ้นเสริมมูลค่าของออปชันฝั่งขาลง

Rho ไม่ใช่ความสัมพันธ์ในอดีตระหว่างผลตอบแทนกับซีรีส์ IV ที่เสนอราคา แต่เป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลองแบบฉับพลันภายใต้มาตรวัดและการคาลิเบรตที่เลือก

Xi ควบคุมความสุ่มของความแปรปรวน xi ที่สูงขึ้นทำให้การแจกแจงความแปรปรวนในอนาคตกว้างขึ้น และอาจเพิ่มความโค้งข้ามราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุ

ผลของมันมีปฏิสัมพันธ์กับ rho, kappa, theta และ v₀ พารามิเตอร์ตัวเดียวไม่ได้แมปไปยังคุณลักษณะที่มองเห็นได้เพียงอย่างเดียวของพื้นผิวความผันผวนโดยตรง

เงื่อนไข Feller 2κθ ≥ ξ² เป็นเงื่อนไขเพียงพอสำหรับความแปรปรวนที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดในกระบวนการอุดมคติ แต่การนำไปใช้และการทำให้ไม่ต่อเนื่องยังมีความสำคัญ

การคาลิเบรตเลือกพารามิเตอร์ที่ทำให้ความคลาดเคลื่อนระหว่างราคาหรือความผันผวนโดยนัยของออปชันในตลาดกับแบบจำลองบนกริดที่เลือกมีค่าน้อยที่สุด

ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับน้ำหนักของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ การจัดการ bid-ask วันหมดอายุ ราคาใช้สิทธิ ขอบเขต optimizer อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล และวิธีอินทิเกรตเชิงตัวเลข

ชุดพารามิเตอร์หลายชุดอาจฟิตได้ใกล้เคียงกัน ควรรายงานความคลาดเคลื่อนของราคาและเสถียรภาพของพารามิเตอร์ พร้อมทดสอบแบบจำลองกับสัญญาที่ไม่ได้ใช้ในการฟิต

Heston พื้นฐานมีเส้นทางต่อเนื่อง ปัจจัยความแปรปรวนหนึ่งตัว และพารามิเตอร์คงที่ ตลาดจริงอาจมี jump เปลี่ยนระบอบ มีเหตุการณ์ carry และทำให้ skew เคลื่อนต่างออกไป

ปีกลึกและอายุสั้นมากอาจเปิดเผย jump ที่หายไป อายุยาวอาจเผย mean reversion ที่ไม่เสถียรหรือความจำเป็นต้องใช้หลายปัจจัย

ใช้ Heston เป็นเครื่องสร้างสถานการณ์ที่สอดคล้องกัน ไม่ใช่หลักฐานว่ากระบวนการจริงเป็นเช่นนั้น Stress jump พารามิเตอร์ การเคลื่อนของพื้นผิว สภาพคล่อง และความคลาดเคลื่อนจากการ hedge นอกแบบจำลองที่ฟิต