Cornish–Fisher Expansion สำหรับ Risk Quantiles
ทำความเข้าใจว่า Cornish–Fisher ปรับ normal quantiles ด้วย cumulants อย่างไร ต่างจาก Edgeworth อย่างไร และเหตุใดการประมาณ tail risk จึงต้องตรวจสอบ monotonicity และ stability
คำตอบโดยตรง
Cornish–Fisher expansion ประมาณ quantiles ของ distribution ด้วยการปรับ normal quantile อ้างอิงด้วย standardized cumulants สามารถแปลง skewness และ kurtosis เป็นการปรับ scenario หรือ VaR ได้ แต่สูตรที่ตัดทอนอาจทำให้ quantiles ไขว้กันและประมาณ far tail ได้ไม่น่าเชื่อถือ
ผลลัพธ์คือ quantile ไม่ใช่ density
สำหรับ probability p ให้ z_p=Φ^{-1}(p) เป็น standard normal quantile
Cornish–Fisher ปรับ z_p แล้วปรับ scale ผลลัพธ์ด้วย target mean μ และ standard deviation σ
มันตอบว่า threshold ใดสอดคล้องกับ p ไม่ได้ตอบว่า density หรือ expected loss เหนือ threshold นั้นเป็นเท่าใด
Skewness และ kurtosis สร้างการปรับแก้ลำดับแรก
เมื่อมี standardized skewness γ₁ และ excess kurtosis γ₂ การตัดทอนที่ใช้กันเริ่มจาก z_p+γ₁(z_p²−1)/6
จากนั้นบวก γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 ก่อนคูณด้วย σ และบวก μ
พจน์ γ₁² แสดงว่า asymptotic order ไม่เหมือนกับการบวกการปรับแก้ทีละหนึ่งพจน์สำหรับ moment ที่สูงขึ้น
Expansion มาจากการกลับด้านแบบ asymptotic
Cornish–Fisher สามารถอนุมานได้จากการกลับด้าน Edgeworth approximation ของ cumulative distribution
Edgeworth ประมาณ density หรือ CDF ที่ x ขณะที่ Cornish–Fisher ประมาณ x ที่ทำให้ได้ cumulative probability ที่เลือก
ทั้งสองต้องประกาศ asymptotic sequence และการ scale ของ cumulant หากต้องการให้ order ของการตัดทอนถูกควบคุม
การใช้งานด้านความเสี่ยงต้องใช้ measure ที่ถูกต้อง
การประมาณจาก physical return สามารถปรับ historical หรือ forecast VaR scenarios ขณะที่ option-implied cumulants อธิบาย risk-neutral distribution
อินพุตสองแบบนี้ตอบคำถามคนละข้อ และไม่ควรนำมาผสมเพียงเพราะใช้คำว่า skewness และ kurtosis เหมือนกัน
Cornish–Fisher ให้ threshold แต่ไม่ใช่ expected shortfall ซึ่งขึ้นกับ loss distribution ทั้งหมดที่อยู่เหนือ threshold
Quantiles อาจไขว้กันหรือถอยหลัง
การปรับด้วย polynomial เติบโตอย่างรวดเร็วเมื่อ |z_p| มีค่ามาก และอาจทำให้ quantile ที่ประมาณลดลงเมื่อ p เพิ่มขึ้น
Skewness หรือ kurtosis ขนาดใหญ่อาจทำให้การประมาณอยู่นอก support ของตัวแปร หรือกลับลำดับของ tail ที่ต้องการ
Monotone rearrangement สามารถซ่อมลำดับในเชิงตัวเลขได้ แต่เส้นโค้งที่ซ่อมแล้วไม่ใช่ truncated expansion เดิมที่ไม่แตะต้องอีกต่อไป
Cumulants ที่ประมาณเพิ่มชั้นของข้อผิดพลาด
Sample skewness และ kurtosis มี noise และไวต่อ outliers, window ที่เลือก regime shifts และ dependence
การใช้อินพุตที่ประมาณราวกับทราบแน่นอนจะละเลย parameter uncertainty ซึ่งอาจครอง formal asymptotic correction
ความน่าจะเป็น far-tail ขยายทั้งข้อผิดพลาดของ coefficient และข้อผิดพลาดจากการตัดทอน ตรงจุดที่การตัดสินใจความเสี่ยงมีผลมากที่สุด
การตรวจสอบทดสอบ quantiles ในฐานะเส้นโค้ง
ตรวจ q(p) บน dense probability grid ว่ามี monotonicity ค่าจำกัด ข้อจำกัดของ support และพฤติกรรมปลายเส้นโค้งที่สมเหตุสมผล
เปรียบเทียบกับ distribution ที่รู้แน่นอน simulation, bootstrap intervals และอัตรา exceedance นอกตัวอย่างที่หลายระดับ probability
บันทึก convention ของ cumulant, sample horizon, การจัดการ dependence, truncation order, repair method และการคำนวณ expected shortfall ที่แยกต่างหาก
คำถามที่พบบ่อย
Cornish–Fisher expansion ประมาณอะไร?
ประมาณ quantile ที่เลือกจาก reference normal quantile บวกการปรับแก้ที่เกี่ยวข้องกับ skewness, kurtosis และ cumulants ที่สูงขึ้น
Cornish–Fisher ต่างจาก Edgeworth อย่างไร?
Edgeworth ประมาณ density หรือ CDF ที่ค่าใดค่าหนึ่ง ส่วน Cornish–Fisher ประมาณค่าที่สัมพันธ์กับ probability ที่เลือก
Cornish–Fisher คำนวณ expected shortfall ได้หรือไม่?
ไม่ได้ด้วยตัวเอง Expected shortfall ต้องใช้ค่าเฉลี่ย loss เหนือ quantile ซึ่งไม่ได้ถูกกำหนดจาก threshold ที่ปรับแก้เพียงค่าเดียว
เหตุใด quantiles ของ Cornish–Fisher จึงไขว้กันได้?
การปรับด้วย polynomial ที่ตัดทอนอาจเติบโตและแกว่งใน tail ทำให้ฟังก์ชัน quantile ที่ประมาณไม่เป็น monotone