Модели пространства состояний и скрытые состояния
Разберитесь в уравнениях перехода и измерения, фильтрации, прогнозировании, сглаживании, идентификации и представлении меняющихся финансовых сигналов через модели пространства состояний
Короткий ответ
Модель пространства состояний отделяет меняющееся, но ненаблюдаемое состояние от зашумлённых измерений, порождённых этим состоянием. Уравнение перехода описывает изменение скрытого состояния, а уравнение измерения связывает его с наблюдаемыми данными. Прогнозирование использует информацию до нового наблюдения, фильтрация обновляет состояние по текущему наблюдению, а сглаживание пересматривает прошлые состояния с помощью всей выборки. Оценённое состояние зависит от модели и не является непосредственно обнаруженной истиной, поэтому идентификация, предпосылки о шуме, инициализация и пересмотры в реальном времени должны оставаться видимыми
Наблюдения и состояния выполняют разные роли
Рыночная цена наблюдаема, а эффективная цена, тренд, волатильность или премия за риск могут рассматриваться как скрытое состояние
Состояние — это компактное резюме, необходимое для описания динамики и прогноза будущих наблюдений. Оно не обязано соответствовать одному физически измеримому объекту
Выбор состояния — решение моделирования. Называние остаточного компонента «фундаментальной стоимостью» не делает эту экономическую интерпретацию идентифицированной
Два уравнения задают представление
Уравнение перехода переносит состояние с одной даты на следующую с помощью устойчивости, контролей и случайного шума процесса
Уравнение измерения отображает текущее состояние в наблюдаемые переменные и добавляет шум измерения или краткосрочные возмущения
Меняющиеся во времени матрицы могут представлять изменяющиеся экспозиции, пропуски наблюдений, сезонную структуру или известные вмешательства, не меняя базовую логику
Прогнозирование, фильтрация и сглаживание используют разную информацию
Одношаговый прогноз оценивает следующее состояние или наблюдение по данным до момента t−1. Это настоящий априорный прогноз в реальном времени
Фильтрация учитывает наблюдения до момента t и обновляет текущее состояние. Сглаживание использует позднейшие наблюдения, чтобы пересмотреть более раннее состояние
Исторический сглаженный график может выглядеть чище, чем всё доступное в реальном времени. Бэктесты не должны подменять сглаженные состояния фильтрованными оценками реального времени
Идентификация предшествует вычислениям
Разные повороты, масштабы или разложения состояния могут порождать одно и то же наблюдаемое распределение. Без ограничений метки и единицы скрытых компонентов не уникальны
Фиксация нагрузок, дисперсий, знаков или порядка состояний может идентифицировать представление, но каждое ограничение несёт экономический смысл
Почти неидентификация проявляется в плоской функции правдоподобия, нестабильных параметрах и состояниях, резко меняющихся при небольших изменениях спецификации
Дисперсии шумов управляют выделением сигнала
Шум процесса определяет, насколько быстро может двигаться скрытое состояние. Шум измерения определяет, насколько наблюдение может отклоняться от этого состояния
Высокое отношение шума процесса к шуму измерения даёт отзывчивое состояние, а низкое — более гладкое. Это оценённый компромисс, а не косметическая настройка
Если оба возмущения поглощают одну и ту же вариацию, их дисперсии могут быть слабо идентифицированы. Несколько измерений или структурные ограничения могут помочь
Оценивание оставляет диагностические следы
В линейных гауссовских моделях для вычисления ошибок прогнозирования и их дисперсий часто используют фильтр Калмана, формируя правдоподобие инноваций
Стандартизированные инновации не должны иметь систематической автокорреляции и предсказуемой дисперсии. Оставшиеся закономерности указывают на пропущенную динамику или структуру наблюдений
Выбросы, толстые хвосты, нелинейность и разрывы параметров могут искажать состояния. Устойчивые, нелинейные, негауссовские или симуляционные методы меняют и предпосылки, и вычисления
Финансовые компоненты меняются во времени
Модели пространства состояний могут разделять кривую доходности на скрытые факторы, оценивать меняющуюся во времени бету или отличать эффективную цену от шума микроструктуры
Они также могут представлять стохастическую волатильность, скрытую ликвидность или медленно меняющуюся ожидаемую доходность, если наблюдения содержат достаточно информации
Гибкое разложение не является причинным свидетельством. Каждый скрытый компонент наследует выбор измерений и ограничения перехода, использованные для его определения
Неопределённость реального времени должна быть явной
Если исторический пересмотр важен, сообщайте и фильтрованные, и сглаженные траектории вместе с неопределённостью состояния, а не одной линией
Укажите уравнения, единицы, ограничения, начальное распределение, ковариацию шумов, метод оценки параметров, обработку пропусков и начало прогноза
Оценивайте скользящие прогнозы и пересмотры. Модель, прекрасно объясняющая всю историю, всё ещё может плохо оценивать текущее состояние на краю выборки
Частые вопросы
Скрытое состояние — это настоящая, но невидимая экономическая переменная?
Не обязательно. Это определённое моделью представление, которое может поддерживать конкретную экономическую интерпретацию, а может и не поддерживать
В чём разница между фильтрацией и сглаживанием?
Фильтрация использует доступные данные до текущего момента, а сглаживание пересматривает состояние с помощью наблюдений, пришедших позже
Почему дисперсии шумов так важны?
Они определяют, трактуются ли новые наблюдения в основном как движение состояния или как временное возмущение измерения
Работают ли модели пространства состояний с пропущенными наблюдениями?
Да. Обновление измерения можно пропустить или адаптировать, если данные отсутствуют, а переход состояния всё равно продолжается