Локальная и подразумеваемая волатильность: котировка, поверхность и модель
Поймите, чем наблюдаемая подразумеваемая волатильность отличается от функции состояния локальной волатильности, как калибровка Дюпира связывает их и почему это различие важно
Короткий ответ
Подразумеваемая волатильность — постоянный вход модели, воспроизводящий цену одного опциона. Локальная волатильность — мгновенная ставка модели для каждого времени и уровня базового актива, выведенная из полной поверхности опционов
Подразумеваемая волатильность — координата котировки
Возьмите наблюдаемую цену опциона и решите выбранную модель ценообразования относительно входной волатильности, воспроизводящей эту цену. Результат относится к данному страйку, сроку, котировке, форварду и соглашению
Повторение инверсии по страйкам и срокам создаёт поверхность подразумеваемой волатильности. Её перекос и срочная структура компактно выражают относительные цены опционов
IV не является волатильностью, которой базовый актив обязательно должен следовать в каждый момент. У разных опционов на один базовый актив может быть разная IV одновременно
Локальная волатильность — функция состояния
Модель локальной волатильности задаёт мгновенную волатильность σlocal(t, S) в зависимости от времени и уровня базового актива, достигнутого в этот момент
В базовой модели нет отдельного случайного фактора волатильности. Если известны время и спот, коэффициент диффузии определяется откалиброванной функцией
Поэтому локальная волатильность отличается и от IV одного контракта, и от исторической реализованной волатильности, измеренной по прошлым доходностям
Дюпир связывает поверхность цен с локальной дисперсией
При выполнении условий регулярности и рыночных предположений уравнение Дюпира использует производные цен европейских коллов по страйку и сроку, чтобы вывести локальную дисперсию в каждом состоянии
На практике сначала подгоняют гладкую поверхность IV, согласованную с отсутствием арбитража, превращают её в цены опционов или суммарную дисперсию, а затем дифференцируют подогнанную поверхность
Следовательно, локальная волатильность — результат обратной модели. Её не считывают напрямую из одной ячейки опционной цепочки
Калибровка не является будущей истиной
Правильно откалиброванная модель локальной волатильности может воспроизвести сегодняшние цены европейских ванильных опционов по подогнанной поверхности с учётом данных, ставок, дивидендов и численных решений
Такое поперечное соответствие не доказывает, что модель предскажет завтрашнюю динамику поверхности. Две модели могут совпасть с сегодняшними ценами ванильных опционов и дать разные значения для зависимых от траектории или форвардно стартующих выплат
Модель обычно создаёт определённую связь между спотом и будущей волатильностью. Реальные рынки могут демонстрировать стохастическую волатильность, скачки, событийный риск или другое движение перекоса
Дифференцирование усиливает плохие данные
Расчёт Дюпира зависит от производных по сроку и страйку, включая кривизну. Широкие спреды, редкие страйки, пересекающиеся сроки и шумная интерполяция могут создать нестабильную или отрицательную локальную дисперсию
Очищайте котировки, используйте согласованные с форвардом координаты, соблюдайте условия отсутствия арбитража и проверяйте экстраполяцию границ. Визуально гладкий график IV не обязательно безопасно дифференцировать
Небольшие изменения поверхности могут дать большие изменения локальной волатильности там, где плотность гаммы мала. Указывайте область калибровки и регуляризацию, а не одну необъяснённую сетку
Две поверхности отвечают на разные вопросы
Подразумеваемая поверхность отвечает, какая постоянная волатильность переоценивает каждый котируемый сегодня опцион. Локальная поверхность отвечает, какая зависящая от состояния мгновенная диффузия заставляет модель воспроизвести поверхность цен
Ни одна из них не является прямым прогнозом реального мира. Обе обычно интерпретируются в риск-нейтральной системе ценообразования, тогда как реализованные пути и P&L хеджа зависят от фактической динамики и исполнения
Выбирайте модель под выплату
Для оценки ванильных опционов может хватить поверхности IV, контролируемой на арбитраж. Барьеры, кликеты, форвардные старты и другие выплаты, зависящие от траектории, требуют предположений о пути и будущей поверхности
Сравнивайте локальные, стохастические, скачковые и гибридные модели с релевантными хеджами и поведением рынка. Выбор модели — решение о риске, а не косметическое преобразование
Стрессируйте динамику спота и перекоса и неопределённость калибровки. Если сделка работает только при одной подогнанной локальной поверхности, зависимость от модели должна попасть в отчёт о риске
Частые вопросы
Локальная волатильность — это то же самое, что подразумеваемая?
Нет. IV инвертируется для страйка и срока, а локальная волатильность — мгновенная функция состояния, выведенная из всей поверхности в рамках модели
Может ли локальная волатильность воспроизвести поверхность IV?
При предположениях модели и чистой поверхности без арбитража её можно откалибровать так, чтобы воспроизвести сегодняшние цены европейских ванильных опционов по этой поверхности
Почему калибровка локальной волатильности нестабильна?
Она дифференцирует цены опционов или подогнанную суммарную дисперсию по страйку и сроку. Дифференцирование усиливает редкие котировки, шум bid—ask, ошибки интерполяции и предположения о границах
Локальная волатильность — прогноз реализованной волатильности?
Нет. Это риск-нейтральный вход модели, согласованный с текущими ценами. Фактическая реализованная волатильность и будущая динамика улыбки могут существенно отличаться