Тест KPSS на стационарность: нулевая гипотеза, статистика и полоса

Тест Квятковского–Филлипса–Шмидта–Шина обычно называют KPSS. В отличие от привычных тестов Дики—Фуллера, в нём нулевая гипотеза обратная: ряд стационарен относительно заданных детерминированных компонентов. В исходной постановке альтернатива допускает компонент случайного блуждания с положительной дисперсией инноваций.

Достаточно большая статистика KPSS служит свидетельством против выбранной нулевой гипотезы о стационарности уровня или тренда. Небольшая статистика означает, что при выбранных настройках выборка не дала достаточно оснований отвергнуть эту гипотезу. Это не доказывает, что процесс всегда будет стационарным, среднее останется неизменным или цена вернётся к уровню, пригодному для торговли.

В руководстве по стационарности и единичным корням разобраны связанные понятия. В сравнении тестов ADF и Филлипса—Перрона описаны два теста, в которых единичный корень является нулевой гипотезой. Они отвечают на дополняющие друг друга вопросы, а не представляют собой взаимозаменяемые версии одного теста.

В KPSS наблюдаемый ряд представляют так:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Здесь \(d_t\) — детерминированная компонента, \(r_t\) — компонент случайного блуждания, а \(\epsilon_t\) — стационарная ошибка. В тесте стационарности уровня в \(d_t\) входит константа. В тесте стационарности относительно тренда добавляются константа и линейный временной тренд.

Нулевая гипотеза задаёт нулевую дисперсию инноваций случайного блуждания: \(\sigma_u^2=0\). Без этого компонента ряд колеблется вокруг выбранной константы или детерминированного тренда. Альтернатива допускает \(\sigma_u^2>0\), поэтому шоки могут накапливаться и формировать стохастический тренд, а не затухать вокруг заданной траектории.

Это модель, принимаемая при построении теста, а не утверждение, что любая альтернатива обязательно является классическим случайным блужданием. Структурные сдвиги, дробная интегрированность и персистентность, нелинейная динамика, меняющаяся дисперсия и неверно выбранные детерминированные компоненты также могут привести к плохому соответствию нулевой модели выборке. Тест выявляет противоречие с предпосылками стационарности, но не определяет единственную альтернативную модель.

Сначала регрессируйте наблюдения на выбранные детерминированные компоненты и обозначьте остатки как \(\hat e_t\). Накопленные частичные суммы равны

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Статистику KPSS обычно записывают так:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

где \(n\) — размер выборки, а \(\hat{\omega}^{\,2}\) — оценка долгосрочной дисперсии остатков. Если остатки долго имеют один знак, \(S_t\) удаляется от нуля. Квадраты частичных сумм сильнее учитывают длительные отклонения, чем отдельные смены знака.

Статистика неотрицательна. Чем больше накопленные отклонения относительно оценённой долгосрочной дисперсии, тем сложнее сохранить нулевую гипотезу о стационарности. Знаменатель важен: серийная зависимость остатков влияет на разброс частичных сумм даже при стационарном исходном процессе.

Вариант для уровня проверяет стационарность ряда относительно константы. Вариант с трендом сначала удаляет константу и линейный временной тренд, а затем проверяет стационарность оставшейся компоненты. В некоторых реализациях эти случаи обозначают mu и tau, но названия и формат вывода зависят от программного обеспечения.

Выбор меняет и остатки, и эталонное распределение. Если не удалить тренд из ряда, стационарного относительно тренда, длинный рисунок остатков может увеличить статистику. Добавление тренда без обоснования меняет проверяемую модель и может снизить мощность против некоторых альтернатив. Выбирайте спецификацию по определению данных и экономическому вопросу, а затем сообщайте о ней; не меняйте её после просмотра результатов в поисках выгодного значения.

Критические значения KPSS основаны на нестандартных асимптотических распределениях и различаются для случаев уровня и тренда. Не сравнивайте статистику с обычными порогами t- или хи-квадрат-распределения и не применяйте одно запомненное значение ко всем спецификациям. Используйте подходящую таблицу или вывод программы и укажите уровень значимости.

Некоторые реализации выдают лишь диапазон p-значения, поскольку сопоставляют статистику с ограниченной таблицей критических значений. В таком случае сообщите диапазон, который действительно поддерживает вывод, и не добавляйте неподтверждённые десятичные знаки. Укажите также вариант уровня или тренда и источник критических значений, чтобы другой исследователь мог воспроизвести решение.

<!-- learn:illustration -->

Для оценки долгосрочной дисперсии часто используют взвешенные автоковариации остатков:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Здесь \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) — выборочная автоковариация при лаге \(j\) с делителем \(n\); соглашения для конечных выборок могут различаться в разных реализациях.

Для весов Бартлетта \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Полоса усечения \(\ell\) определяет, сколько автоковариаций остатков войдёт в оценку и как быстро будут уменьшаться их веса. Реализации могут различаться ядром, правилом выбора полосы и поправками для конечной выборки; для воспроизводимости укажите эти настройки.

Эта полоса не равна числу лагов разностей, добавленных в регрессию ADF. В KPSS она задаёт диапазон автоковариаций в оценке долгосрочной дисперсии; в ADF лаги разностей включаются непосредственно в уравнение регрессии. Программа может называть обе настройки «лагами», поэтому формулировки вроде «лаг 4» недостаточно.

Слишком короткая полоса может не учитывать существенную краткосрочную зависимость. Слишком длинная добавит шумные выборочные автоковариации. В обоих случаях могут измениться статистика, размер или мощность теста, но направление эффекта зависит от рисунка остатков. Укажите ядро и правило выбора лага и проверьте, меняет ли интерпретацию разумная альтернатива, заданная заранее.

Эта поправка на долгосрочную дисперсию связана с оцениванием ковариаций, устойчивых к гетероскедастичности и автокорреляции (HAC). Однако она не делает KPSS устойчивым к любой зависимости, структурным сдвигам или неверной детерминированной спецификации. В руководстве по ковариации Ньюи—Уэста шире рассмотрены роль и ограничения HAC.

Предположим, что регрессия с трендом для шести синтетических наблюдений дала остатки \(1,-1,0,0,-1,1\). Их сумма равна нулю, как и скалярное произведение остатков с линейным временным трендом — это ожидаемое свойство остатков трендовой регрессии. Частичные суммы равны \(1,0,0,0,-1,0\), а сумма их квадратов — \(2\).

Для иллюстрации арифметики используйте выборочную автоковариацию с делителем \(n\) и полосу Бартлетта, равную единице. Дисперсионная составляющая остатков равна \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Автоковариация первого лага равна \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), а её вес Бартлетта — \(1/2\). Следовательно,

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Этот расчёт на шести точках показывает только механику. Выборка слишком мала для обычного асимптотического решения по KPSS; не следует сопоставлять полученную статистику с опубликованным критическим значением так, будто это эмпирический результат.

Запуск KPSS вместе с тестом типа ADF помогает увидеть, насколько вывод зависит от нулевой гипотезы. Интерпретируйте пару как свидетельства в рамках двух разных моделей:

Тесты могут различаться поправками на лаги, детерминированными компонентами, используемыми наблюдениями и приближениями для конечной выборки. По возможности согласуйте настройки и зафиксируйте неизбежные различия. Не превращайте четыре сочетания результатов в автоматическое правило дифференцирования. Отсутствие оснований отвергнуть нулевую гипотезу не означает, что она верна.

Однократный сдвиг среднего, изменение тренда или дисперсии могут создать впечатление нестационарности ряда, который стационарен внутри каждого режима. И наоборот, при ограниченных данных трудно отличить корень, близкий к единице, от единичного корня. На эталонное приближение также влияют короткая выборка, выбросы, тяжёлые хвосты, нелинейная корректировка и дробная интегрированность.

Перед публикацией результатов постройте графики уровня, выбранного детерминированного тренда и остатков. Если вероятен сдвиг, используйте метод, который явно его учитывает, и укажите нулевую гипотезу, способ обработки сдвига и критические значения. Сообщите, если перебирали даты сдвига или полосы: минимальное p-значение после такого поиска уже не является результатом теста без отбора.

Для предполагаемой пары активов или спреда KPSS не проверяет коинтеграцию. В руководстве Энгла—Грейнджера описан остаточный тест коинтеграции и отдельная проблема его критических значений. Руководство по рангу коинтеграции Йохансена рассматривает системный подход. Результат KPSS для одного ценового ряда не заменяет ни один из этих анализов.

Если применить KPSS к остаткам после оценки коэффициента хеджирования, модели ARMA или выбранной даты сдвига, нужно учитывать предшествующий этап подгонки. Оценка параметров и выбор модели могут изменить нулевое распределение. Не считайте стандартные критические значения автоматически применимыми ко всей процедуре: используйте тест остатков, откалиброванный для оценённой модели, или бутстрэп, повторяющий шаги оценивания.

Укажите переменную и преобразование, число наблюдений, нулевую гипотезу об уровне или тренде, детерминированные компоненты, ядро для долгосрочной дисперсии, правило выбора полосы, статистику, соответствующее критическое значение или p-значение и уровень значимости. Анализ чувствительности уместен, если вы прозрачно сообщаете причины и варианты; не выбирайте самый привлекательный результат после перебора окон и спецификаций.

Для рыночных данных укажите даты выборки, частоту, согласование торговых сессий, обработку пропусков и то, что именно проверяется: цена, доходность, остаток или спред. Отсутствие оснований отвергнуть нулевую гипотезу KPSS не означает, что спред скоро сойдётся. Для стратегии возврата к среднему нужны определённое равновесие, проверка вне выборки, сигнал, доступный на момент совершения сделки, и реалистичный учёт спредов, фондирования, заимствования и исполнения.

Тест уровня логарифма цены отвечает на другой вопрос, чем тест доходности — первой разности логарифма цены. Дифференцирование в некоторых моделях может убрать стохастический тренд, но одновременно меняет исследуемую переменную и не доказывает долгосрочную связь между активами. Выбирайте преобразование исходя из оцениваемой величины и модели и явно указывайте его.

Квятковский, Филлипс, Шмидт и Шин в статье 1992 года90104-Y) сформулировали этот метод как LM-тест нулевой дисперсии компонента случайного блуждания. Статья Ньюи и Уэста 1987 года — один из основных первоисточников по положительно полуопределённым HAC-оценкам ковариации. Для сопоставления с нулевой гипотезой о единичном корне см. статью Дики и Фуллера 1979 года.