Тест коинтеграции Йохансена: ранг, след и максимальное собственное значение

Предположим, что \(y_t\) содержит \(k\) переменных, каждая из которых считается \(I(1)\) при заданном механизме генерации данных. Ранг коинтеграции \(r\) — число линейно независимых комбинаций уровней этих переменных, которые являются стационарными. Если \(r=0\), модель не находит такую комбинацию в рамках выбранной спецификации. Если \(0<r<k\), существуют \(r\) независимых долгосрочных связей, а при обычных условиях для системы \(I(1)\) остаются \(k-r\) общих стохастических трендов. Ранг один означает одну связь между переменными всей системы; это не обязательно одна очевидная пара активов.

Это вопрос о системе в целом. Двухэтапная процедура Энгла—Грейнджера оценивает одно нормированное долгосрочное уравнение, а затем проверяет его расчетный остаток. Метод максимального правдоподобия Йохансена оценивает и проверяет размерность пространства коинтеграции в векторной авторегрессии, поэтому допускает более одной независимой связи. Методы отвечают на связанные, но разные вопросы; в конечных выборках или при разных лагах и детерминированных компонентах результаты могут расходиться.

VAR в уровнях можно преобразовать в упрощенную векторную модель коррекции ошибок; детерминированные компоненты здесь опущены:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Здесь \(p\) — порядок лагов VAR в уровнях. Столбцы \(\beta\) описывают долгосрочные комбинации, а \(\alpha\) содержит коэффициенты корректировки, связывающие предыдущее нарушение равновесия с текущими изменениями. Если ранг \(\Pi\) равен \(r\), ее можно разложить на матрицы \(\alpha\) и \(\beta\) размера \(k\times r\). Именно ранг, а не только число переменных, определяет количество членов коррекции ошибок в системе.

Если все \(k\) рядов действительно имеют порядок \(I(1)\), обычные случаи коинтеграции требуют \(r<k\). Полный ранг указывает на стационарность уровней вокруг детерминированных компонентов, разрешенных подогнанной спецификацией, и требует перепроверить исходную предпосылку о порядке интеграции. Нулевой ранг не доказывает полного отсутствия какой-либо связи между переменными; он означает, что выбранная модель не нашла стационарную комбинацию уровней при проверяемом ранге.

Упорядочим оцененные собственные значения так: \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Они получены в задаче пониженного ранга процедуры максимального правдоподобия и не являются обычными долями объясненной дисперсии. Для проверяемого ранга \(r\) статистика следа равна

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

и проверяет \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) против \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Она суммирует свидетельства по оставшимся собственным значениям. Статистика максимального собственного значения равна

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

и проверяет ранг \(r\) против следующего ранга \(r+1\). Таким образом, тест следа спрашивает, превышает ли общее число связей \(r\), а тест максимального собственного значения — поддерживают ли данные добавление следующей связи. При нулевой гипотезе о ранге ни одна из статистик не имеет обычного опорного распределения хи-квадрат.

Представим систему из трех переменных с 200 доступными наблюдениями и упорядоченными оцененными собственными значениями \(0.16\), \(0.05\) и \(0.01\). Это вымышленные учебные числа, а не рыночные оценки. При \(r=0\) статистика следа суммирует все три слагаемых и равна примерно \(47.14\), тогда как статистика максимального собственного значения использует только первое и равна примерно \(34.87\). При \(r=1\) значения составляют около \(12.27\) и \(10.26\); при \(r=2\) обе статистики используют последнее собственное значение и равны примерно \(2.01\).

В результате вычисления получаются тестовые статистики, а не решение о ранге. Для решения каждую статистику нужно сопоставить с критическими значениями или p-значениями именно для выбранного детерминированного случая и последовательности проверок. Например, строка программной таблицы «отклонить при \(r=0\)» свидетельствует против нулевого ранга только при предпосылках этой таблицы и выбранном уровне значимости; это не прямая вероятность стационарности спреда конкретного актива. P-значение выше порога означает, что нулевая гипотеза данного ранга не отклонена, а не то, что она доказана.

До интерпретации ранга выберите обоснованный порядок VAR. VAR в уровнях порядка \(p\) соответствует \(p-1\) лагам первых разностей в VECM. Слишком малое число лагов может оставить серийную корреляцию в остатках; слишком большое расходует степени свободы и может сделать выводы на конечной выборке нестабильными. Информационные критерии помогают упорядочить варианты, но важны также диагностика остатков, размер выборки и экономические сроки. Укажите правило выбора и проверьте разумные альтернативы.

Решите, где задать константы и тренды: вне коинтеграционного соотношения, с ограничениями внутри него или исключить их из поддерживаемой модели. Эти варианты означают разное долгосрочное поведение и разные распределения статистик ранга. Выбирайте спецификацию с учетом вопроса и данных, а не поиском наиболее благоприятного p-значения. Критические значения должны точно соответствовать детерминированному случаю, числу переменных и реализации. Статистики ранга Йохансена имеют нестандартные распределения. Маккиннон, Хауг и Михелис рассчитали распределения на основе поверхностей отклика для заданных вариантов тестов отношения правдоподобия типа Йохансена, включая расширение с экзогенными переменными \(I(1)\). Их значения нельзя переносить на любую конфигурацию теста ранга.

Положение детерминированного компонента — не косметическая настройка программы. В распространенных параметризациях константа, ограниченная коинтеграционным соотношением, допускает ненулевое среднее этой равновесной комбинации; неограниченная константа вне соотношения может допускать иной детерминированный дрейф уровней. Ограничения на тренд тоже меняют предполагаемую долгосрочную траекторию. Таблица с пометкой только «константа включена» неполна, если не указано ее положение. Изучите уравнение модели и сообщите каждое ограничение.

Основной объект оценки — пространство коинтеграции. В модели с рангом один умножение вектора \(\beta\) на ненулевую константу не меняет того, какая комбинация уровней стационарна; поэтому аналитик выбирает нормировку, например задает один коэффициент равным единице. При более высоком ранге множество базисов может порождать одно и то же пространство; векторы, показанные программой, не обязательно представляют уникальные экономические отношения. Для толкования конкретного вектора нужны ограничения или дополнительная теория, а нормировку следует сообщать.

Матрица корректировки \(\alpha\) показывает, какие переменные реагируют на нарушение равновесия в оцененной системе. Знак коэффициента зависит от выбранной нормировки, а элементы матрицы — это условные коэффициенты системы, не самостоятельные причинные эффекты. Малый или нулевой коэффициент корректировки может мотивировать гипотезу о слабой экзогенности, но для вывода нужны соответствующие формальные ограничения и поддерживаемая модель. Сам ранг коинтеграции не указывает, какая переменная «ведет», какое соотношение экономически содержательно и как шок повлияет на будущие цены.

Неединственность — свойство факторизации, а не только способа отображения. Для невырожденной \(H\) матрицы \(\beta H\) и \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) дают одну и ту же долгосрочную матрицу \(\Pi\). Поэтому оцененное пространство может быть идентифицировано, даже если конкретный набор показанных векторов не уникален. Чтобы выбрать один вектор как торговый спред, нужна явная нормировка или экономическое ограничение; единицы измерения и риск также следует анализировать отдельно.

Ранг обычно оценивают последовательной проверкой кандидатов, начиная с нуля и повышая его до первой нулевой гипотезы, которую не удалось отклонить. Выбранный ранг является результатом выбора модели при заданных уровне значимости и спецификации. Если тесты следа и максимального собственного значения расходятся, сообщите оба результата и проверьте порядок лагов, детерминированные компоненты, слабую мощность, структурные сдвиги и чувствительность к выборке, а не скрывайте расхождение.

Критические значения отношения правдоподобия нестандартны и зависят от спецификации системы. Поведение около единичного корня, короткая выборка, выбросы, смена режима, переменные \(I(2)\) или экзогенные интегрированные регрессоры могут сделать простую схему \(I(1)\) неподходящей. Стандартная таблица ранга автоматически не охватывает эти случаи. В исходной работе Йохансена выводится оценивание максимального правдоподобия при предпосылках гауссовой VAR; последующие расчеты поверхностей отклика дают опорные распределения для заданных тестовых схем, а не для каждой возможной проблемы данных.

Например, если тест следа отвергает \(r=0\) и \(r=1\), но не отвергает \(r=2\), стандартная последовательность выбирает ранг два при данной спецификации и уровне значимости. Это не означает, что вероятность истинности ранга два равна единице. Последовательность теста максимального собственного значения сравнивает нулевые гипотезы для соседних рангов, поэтому ее решения тоже следует показать. Не применяйте критическое значение одного теста к статистике другого.

Выбранный ранг относится и к периоду выборки. Изменение экономической связи, структуры рынка или определений переменных может привести к различию оценок на раннем и позднем участках выборки. Анализ чувствительности помогает выявить такую нестабильность, но поиск по множеству конечных точек создает дополнительную проблему множественных проверок. Укажите, какие интервалы были заданы заранее, а незапланированные разбиения рассматривайте как поисковые свидетельства.

В торговом исследовании оцененный вектор \(\beta\) может быть кандидатом для определения спреда, но ранг не задает уровни входа и выхода, размеры позиций или ожидаемые доходности. При нескольких векторах коинтеграции выбор одной комбинации может требовать нормировки, ограничений и отбора данных. Даже оцененная статистическая связь может подразумевать короткие позиции, кредитное плечо или низкую ликвидность.

Оценивайте систему только по информации, доступной на каждую дату решения, и проверяйте всю процедуру отбора и переоценки в хронологическом порядке. Убедитесь, что связь сохраняется вне выборки, и при необходимости учитывайте дивиденды, роллирование контрактов, конвертацию валюты, финансирование, доступность займа, спреды между ценами покупки и продажи, рыночное воздействие и время исполнения. Отклонение гипотезы о ранге — свидетельство для заданной модели, а не утверждение о прибыльности. В руководстве о тесте Энгла—Грейнджера и коррекции ошибок описан одноуравневый вариант; материал о коинтеграции и корреляции в парном трейдинге объясняет, почему корреляция — другое свойство.

Укажите \(k\) переменных, преобразования, частоту наблюдений, даты выборки и свидетельства о порядке интеграции. Приведите порядок лагов VAR в уровнях, размещение детерминированных компонентов, фактический размер выборки, статистики следа и максимального собственного значения, соответствующие критические значения или p-значения, уровень значимости и последовательные решения о ранге. Уточните, совпали ли два теста, какой ранг использовался далее и какие проверки чувствительности изменили результат.

При представлении векторов укажите нормировку, ограничения и соответствующие коэффициенты корректировки. Для торгового применения раскройте доступную информацию на каждой ребалансировке, правило выбора вектора, схему проверки вне выборки, издержки и порядок действий при сбое. В анализе векторов коинтеграции Йохансена 1988 года90041-3) разработан метод максимального правдоподобия для пространства коинтеграции и его ранга. В работе 1991 года о гауссовой VAR рассматриваются выводы о ранге и гипотезы о векторах. Маккиннон, Хауг и Михелис приводят распределения поверхностей отклика для тестов отношения правдоподобия коинтеграции. Связанное руководство объясняет стационарность и единичные корни.