ADF и Phillips–Perron: чем различаются тесты на единичный корень

В авторегрессионном уравнении уровня единичный корень означает, что шок не обязан затухать в уровне. Если записать первую разность как регрессию на лагированный уровень, гипотеза становится явной: коэффициент при лагированном уровне равен нулю, если у процесса уровня есть корень, равный единице, в рамках заданной модели. Отрицательный коэффициент указывает в сторону стационарной альтернативы при подходящих детерминированных компонентах и остальных предположениях.

Таким образом, в обычных реализациях ADF и PP нулевая гипотеза не утверждает, что ряд стационарен. Нулевая гипотеза — наличие единичного корня; альтернатива — стационарность относительно выбранной детерминированной компоненты. Если статистика недостаточно отрицательна и нулевая гипотеза не отвергается, это не доказывает существование корня. В выборке может просто не хватать информации, чтобы отличить его от очень устойчивого стационарного процесса с авторегрессионным корнем, близким к единице.

Это отличается от теста, где нулевая гипотеза — стационарность, например KPSS, и от прямого теста на коинтеграцию. Руководство по стационарности и единичному корню объясняет более широкие понятия; руководство Энгла—Грейнджера рассматривает особый случай, когда линейная комбинация нестационарных рядов стационарна.

В регрессию для проверки единичного корня можно не включать детерминированные компоненты, добавить константу либо константу и линейный временной тренд. Это не косметические настройки. Константа допускает дрейф при нулевой гипотезе о единичном корне и ненулевое среднее при стационарной альтернативе. Тренд позволяет стационарной альтернативе колебаться вокруг детерминированной тенденции. Эти компоненты меняют модель и нулевое распределение.

Ненужный тренд может снизить мощность теста, поскольку приходится оценивать дополнительные параметры. Пропуск фактического дрейфа или тренда может исказить размер теста и его интерпретацию. Выбирайте спецификацию по вопросу о процессе генерации данных и графику ряда, указывайте её явно и используйте соответствующие критические значения. Не выбирайте постфактум вариант, дающий желаемое отклонение.

То же относится к логарифмам цен, спредам, процентным ставкам и доходностям. Восходящий тренд может быть правдоподобен для уровня цены, но не для доходности. Тест не выбирает за вас экономически значимую переменную. Детерминированные компоненты — часть гипотезы, а не скрытая стадия предобработки.

Расширенную регрессию Дики—Фуллера можно записать так:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Здесь dₜ содержит выбранные детерминированные компоненты, а нулевая гипотеза имеет вид H₀: γ = 0. Дополнительные лагированные разности должны сделать остаточное возмущение достаточно подходящим для приближения распределения теста. Они параметрически моделируют краткосрочную динамику в регрессии и не добавляют ограничений на единичный корень.

Порядок лага p имеет значение. Слишком мало лагов может оставить серийную корреляцию в εₜ и ослабить нужное приближение. Слишком много лагов расходует степени свободы и может снизить мощность, особенно при короткой выборке. Заранее укажите максимальный лаг, сопоставьте обоснованный информационный критерий с диагностикой остатков и сообщите, меняется ли вывод при близких значениях лага. Малый выбранный лаг не доказывает, что остаточная зависимость безвредна. Харрис (1992)90022-Q) рассматривает практический выбор структуры лагов, размера и мощности ADF.

В некоторых процессах выбрать лаги сложно. Нг и Перрон показывают, что при корне скользящего среднего около −1 стандартные AIC или BIC могут выбрать слишком мало дополнительных лагов в изученных ими процедурах проверки единичного корня. Их модифицированные информационные критерии разработаны для процедур с GLS-детрендингом и связанных тестов. Это предупреждение для отдельных типов динамики, а не общее правило, что один критерий или более длинный лаг всегда лучше.

Тест Филлипса—Перрона начинается с регрессии типа Дики—Фуллера, но без суммы лагированных разностей ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Затем статистика корректируется с использованием оценок краткосрочной дисперсии и долгосрочной ковариации. Один из распространённых вариантов оценки долгосрочной дисперсии имеет вид:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Здесь γ̂ⱼ — автоковариации остатков, K — вес ядра, а ℓ — выбор полосы или усечения. Точное определение зависит от статистики PP и соглашений конкретного ПО. Концептуальное различие остаётся неизменным: ADF добавляет лагированные разности в регрессию, PP применяет непараметрическую поправку на зависимость к статистике более короткой регрессии.

PP — не просто «ADF с робастными стандартными ошибками». Поправка меняет статистику единичного корня и её асимптотическое распределение; обычный вывод робастной регрессии не делает стандартные критические значения t корректными. Ядро и ширина полосы определяют, какую зависимость учтёт поправка. Слишком узкая полоса может пропустить важную корреляцию, а слишком широкая — сделать оценку долгосрочной дисперсии более шумной.

<!-- learn:illustration -->

При нулевой гипотезе о единичном корне лагированный уровень порождается стохастическим трендом, а не стационарным регрессором. Поэтому у статистик семейства DF нестандартные предельные распределения. Обычная таблица t не подходит даже при большом объёме выборки. Критические значения зависят от наличия константы и временного тренда, а также от выбранной статистики и реализации.

Статистики PP преобразуются с учётом зависимости, но нулевая гипотеза о единичном корне по-прежнему проверяется относительно подходящего нестандартного референсного закона. Используйте критические значения или p-value из признанной реализации, соответствующей детерминированным компонентам и статистике. Не сравнивайте статистику ADF из одной спецификации с критическими значениями PP из другой и не трактуйте отображаемое отношение t-статистики коэффициента как обычную статистику Стьюдента.

Асимптотическая калибровка не гарантирует хорошего поведения в каждой конечной выборке. Монте-Карло-исследование Шверта указывает на чувствительность процедур проверки единичного корня к ошибочной спецификации модели и на различия в поведении методов при конечной выборке. Поэтому интерпретируйте p-value с учётом длины выборки, зависимости данных, настройки лага или полосы и спецификации регрессии.

Размер теста — вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу о единичном корне; мощность — вероятность отклонить её при заданной стационарной альтернативе. В одной выборке тест может выглядеть убедительным, но иметь неправильный размер при фактической структуре зависимости. Лаги ADF и поправка PP на долгосрочную ковариацию решают связанные задачи с помощью разных приближений; результат одного не гарантирует устойчивость другого.

Для ADF проверьте, сохраняется ли автокорреляция остатков после добавления лагов и меняет ли дополнительный лаг вывод. Для PP укажите ядро и правило выбора полосы, затем проверьте разумные альтернативы. Это анализ чувствительности, а не разрешение перебрать множество спецификаций и оставить только наиболее выгодный p-value. Результаты Нг—Перрона также показывают, что выбор лага взаимодействует с процессом ошибок и детрендингом; механический информационный критерий подходит не для каждого дизайна.

У обоих тестов может быть низкая мощность против очень устойчивых стационарных альтернатив. Неотклонение нулевой гипотезы не является положительным доказательством необходимости разностей. Если выборка короткая, корень близок к единице или вывод важен для модели, рассмотрите дополнительные свидетельства и другие процедуры с явно указанными предположениями, а не считайте ADF и PP независимыми голосами.

Скачок уровня, смена тренда, политического режима, валютной привязки или рыночной структуры может сделать ряд очень устойчивым, хотя его лучше описывают стационарные сегменты вокруг меняющейся детерминированной траектории. Анализ Перрона крупных исторических изменений показывает, что вывод о единичном корне может зависеть от того, допускается ли сдвиг. Стандартные ADF и PP не находят автоматически каждый разрыв.

Постройте график ряда, задокументируйте известные институциональные изменения и спросите, отвечает ли на задачу тест со сдвигом или сегментная модель. Поиск сдвига после просмотра той же выборки может повлиять на выводы; используйте метод с критическими значениями, учитывающими такой поиск, или назовите анализ исследовательским. Руководство Бай—Перрона посвящено оценке сдвигов в регрессии, а не прямой поправке к неизменённым ADF или PP.

Преобразование тоже важно. Уровень цены, логарифм цены, ценовой спред и доходность — разные экономические переменные. Разности для уровня, похожего на ряд с единичным корнем, могут дать более стабильный ряд; разности для стационарного уровня могут потерять информацию и создать ненужно шумную спецификацию. В анализе пар кoинтеграция помогает отличать отдельные стохастические тренды от потенциально стационарного спреда. Ни одна диагностика сама по себе не доказывает прибыльность стратегии.

Предположим, что гипотетический уровень подчиняется:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ — постоянный дрейф, а инновации εₜ могут быть серийно зависимыми. Вычтем yₜ₋₁ и получим Δyₜ = μ + εₜ; коэффициент γ при лагированном уровне равен нулю в соответствующей регрессии разностей. Это алгебраическая запись нулевой гипотезы о единичном корне. Она не даёт p-value: референсный закон остаётся нестандартным и зависит от детерминированных компонент и учёта зависимости.

При оценке ADF лагированные разности пытаются представить краткосрочную зависимость в регрессии. При PP базовое уравнение короче, а статистика получает оценённую поправку на долгосрочную ковариацию. Если в данных есть сдвиг детерминированного тренда, обе стандартные реализации могут быть неверно специфицированы, даже если ПО выдаёт статистику, выглядящую точной.

У сравнения три уровня: содержательная нулевая гипотеза, спецификация регрессии и детерминированных компонент, поправка на остаточную зависимость. Если первые два уровня зафиксированы, ADF и PP — полезные альтернативные диагностики; менять все три, пока один тест не отвергнет ноль, — не проверка устойчивости. Разные результаты подсказывают проверить предположения и настройки, а не выбрать победителя, который автоматически определит модель.

Укажите переменную и её преобразование, даты и частоту выборки, детерминированные компоненты, правило выбора лага ADF и выбранный порядок, либо статистику PP, ядро и ширину полосы. Приведите нулевую и альтернативную гипотезы, статистику, подходящее критическое значение или p-value, а также проверки автокорреляции остатков и сдвигов. Если результат чувствителен к разумным настройкам, сообщите об этом; не показывайте только спецификацию, поддерживающую предпочтительную интерпретацию.

Полезный рабочий процесс начинается с выбора целевой переменной и экономической модели, затем фиксируются детерминированные компоненты, запускается правильно специфицированный ADF или PP, проверяются зависимость и возможные сдвиги, результат сравнивается с дополнительными свидетельствами. Руководство по тесту отношения дисперсий рассматривает другое следствие случайного блуждания. У него другая нулевая гипотеза, и он не заменяет тест единичного корня.

Ни ADF, ни PP не предписывает брать разности при пересечении p-value заданного порога. Разности — это решение о модели для ряда и вопроса: прогноз изменений, оценка долгосрочной связи, тест торгового спреда или сохранение информации уровня могут требовать разного подхода. Тест помогает принять решение, но итоговое преобразование должно учитывать процесс генерации данных, стабильность, цель прогноза и возможную структуру коинтеграции.