Duration de Macaulay, modificada e efetiva: diferenças e exemplo

O vencimento é a data contratual prevista para o pagamento do principal. Duration descreve o calendário dos fluxos ou a sensibilidade do preço sob determinadas premissas. Não é outro nome para vencimento e não garante quando o investidor recuperará o valor pago.

Se uma tela mostra apenas “duration”, confirme se é Macaulay, modificada, efetiva, monetária ou outra medida. Identifique o título ou a carteira, a data de avaliação, a taxa ou curva, a convenção de capitalização e a base de preço. O CFA Institute separa as medidas baseadas na própria taxa do título e em fluxos fixos das medidas baseadas na curva de referência, que reprecificam o ativo e podem tratar fluxos incertos. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

A duration de Macaulay é a média dos momentos de recebimento dos fluxos previstos ponderada pelo valor presente. Para um fluxo CF_t no período t, preço P e taxa y, o peso é PV(CF_t)/P. Se P soma o valor presente de todos os fluxos modelados, os pesos somam um:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

Em um título com cupom, a duration de Macaulay costuma ser menor que o vencimento porque parte do valor volta antes, na forma de cupons. Um título zero-cupom tem apenas um fluxo previsto e, dadas as premissas de fluxo e desconto, sua duration de Macaulay equivale ao tempo até o vencimento.

Essa é uma média temporal em valor presente, não uma previsão do período que o investidor manterá o título nem uma garantia sobre o rendimento obtido ao reinvestir cupons. Algumas análises de imunização usam a medida, mas dependem de premissas adicionais sobre variações de juros, reinvestimento e o passivo que se pretende casar. A FINRA também alerta que duration não significa simplesmente tempo até o vencimento. {source:finraDurationExplainer}

Considere um título hipotético sem opções embutidas, com valor de face de US$ 1.000, cupom anual de 5%, três anos restantes e yield to maturity de 4% ao ano. Suponha pagamentos anuais, avaliação logo após uma data de cupom e capitalização anual. Os fluxos previstos são US$ 50 no primeiro ano, US$ 50 no segundo e US$ 1.050 no terceiro.

Descontados a 4%, os valores presentes são aproximadamente US$ 48,08, US$ 46,23 e US$ 933,45, totalizando preço de cerca de US$ 1.027,75. Ao dividir cada valor presente pelo preço, os pesos ficam em aproximadamente 4,68%, 4,50% e 90,82%. O último pagamento inclui o principal, mas os dois cupons anteriores ainda antecipam o prazo médio.

Somando cada tempo multiplicado pelo peso, 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, obtemos cerca de 2,8615 anos. O resultado é inferior ao vencimento de três anos porque parte do valor presente vem de cupons recebidos antes. Os números exibidos estão arredondados; o cálculo exato usa os valores presentes sem arredondamento. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

A duration modificada ajusta Macaulay à convenção de capitalização indicada. Para um título comum com fluxos fixos, taxa nominal anual y e capitalização m vezes ao ano, a relação usual é D_mod = D_Mac / (1 + y/m). No exemplo, os pagamentos são anuais, então m=1 e 2,8615 / 1,04 resulta em aproximadamente 2,7514 anos.

Para uma pequena mudança no yield do próprio título, a aproximação de primeira ordem da variação percentual do preço é ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, com Δy em formato decimal. Uma alta de 1 ponto-base é 0,0001, não 0,01; 100 pontos-base correspondem a 0,01. Com duration modificada de 2,7514, uma alta de 1 ponto percentual implica queda local estimada de 2,7514%, mantendo os demais dados fixos. O sinal negativo representa a relação local inversa entre taxa e preço nesse caso.

A duration modificada é a inclinação próxima ao yield inicial, não uma reprecificação completa para qualquer choque. A estimativa em reais ou dólares também exige o valor de mercado da posição. Uma magnitude de DV01 de primeira ordem costuma ser valor de mercado × duration modificada × 0,0001 para uma mudança de 1 ponto-base no yield próprio. Convenções de sinal variam, e o resultado não é um limite fixo de perda. A CME diferencia essa sensibilidade percentual do valor em moeda chamado DV01, BPV ou VBP. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

A duration efetiva usa preços de avaliações completas em cenários de juros. Seja P₀ o preço inicial, P₋ o preço após uma queda de Δr na curva de referência e P₊ o preço após uma alta de igual tamanho. A diferença central é D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), com Δr em formato decimal. O resultado costuma ser interpretado em anos como sensibilidade percentual ao choque de curva definido.

Ela é útil quando os fluxos futuros podem mudar com os juros, como em títulos resgatáveis, com opção de venda ou lastreados em hipotecas. O modelo pode atualizar as hipóteses de exercício ou amortização antecipada em cada cenário e então recalcular o preço. Por isso, o resultado depende da curva, do tamanho e formato do choque, do modelo, da volatilidade, das premissas de fluxo e da data de avaliação. O CFA Institute apresenta duration efetiva para risco de curva com fluxos incertos; a FINRA também a distingue das medidas de Macaulay e modificada em títulos com cláusulas de resgate. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Duration efetiva não significa automaticamente “mais precisa”. Ela responde a outra pergunta: como o preço cheio modelado muda sob um cenário especificado da curva de referência? Se os fluxos forem estáveis e a dúvida for sobre o yield do próprio título, a modificada pode ser mais direta. Em um choque de curva, informe se ele é paralelo e qual curva foi usada; para títulos com opções, indique o modelo que recalcula os fluxos.

Volte ao título de US$ 1.000 de valor de face. A 4% de yield, o preço é cerca de US$ 1.027,75 e a duration modificada é 2,7514. Uma alta de 100 pontos-base dá uma estimativa local de queda de 2,7514%, ou US$ 28,28, levando o preço a cerca de US$ 999,47. Uma queda de 100 pontos-base estima alta de US$ 28,28, para aproximadamente US$ 1.056,03.

Agora desconte novamente os fluxos previstos pela nova taxa. A 5%, o título vale US$ 1.000: queda de cerca de US$ 27,75 ou 2,70%. A 3%, vale aproximadamente US$ 1.056,57: alta de US$ 28,82 ou 2,80%. As variações não são simétricas porque a relação entre preço e yield é curva. Duration sozinha fornece a estimativa local; convexidade ajuda a explicar a diferença de segunda ordem em um movimento maior. São valores hipotéticos, com fluxos inalterados, capitalização anual e a mesma convenção de avaliação; não são cotação nem previsão. Consulte convexidade e sensibilidade do preço de títulos.

As medidas de Macaulay e modificada do exemplo são baseadas no yield. Como não foi definida uma curva de referência nem um modelo para choques, a duration efetiva não foi calculada. Para isso, é preciso reavaliar o título nos cenários de curva especificados. Se os fluxos mudarem, as premissas de exercício e amortização antecipada devem ser consistentes nos cenários de alta e queda.

Use Macaulay para o momento médio, em valor presente, dos fluxos previstos. Use duration modificada para estimar a variação percentual local diante de uma pequena mudança no yield próprio de um título com fluxos fixos, informando a convenção de capitalização. Use duration efetiva quando a curva de referência se move e os fluxos podem depender dos juros. Nenhuma delas prevê a direção das taxas.

A agregação de uma carteira costuma depender dos pesos por valor de mercado e da metodologia do provedor. Uma única duration efetiva resume um movimento amplo definido, mas pode esconder torções e curvaturas; a key-rate duration divide a sensibilidade entre pontos da curva. Para o valor em moeda por ponto-base, consulte DV01 e BPV. Riscos de spread de crédito, liquidez, inflação, câmbio e opções podem exigir análise separada; a duration da taxa de referência não mede todo o risco de um título.

As características do título também importam. No caso padrão de taxa fixa sem opções, mantidas as demais condições, fluxos mais distantes tendem a aumentar a duration; cupom ou yield mais alto costuma elevar o peso presente dos pagamentos próximos e reduzi-la. Com a aproximação do vencimento, o perfil de fluxos restantes muda, portanto duration não é fixa. Uma opção de resgate pode limitar a alta do preço quando os juros caem. Um título de taxa flutuante reajusta o cupom periodicamente e pode ter menor sensibilidade a juros que um título fixo de vencimento parecido, embora permaneçam riscos de spread, atraso no reajuste, piso e liquidez. São mecanismos sob premissas, não uma classificação universal. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

Duas fontes podem chamar de “duration” medidas diferentes. Registre o título ou a carteira, a data de avaliação, a base pelo preço cheio ou limpo, o yield ou a curva de referência, a frequência de capitalização, o tamanho do choque, se é paralelo ou não, o modelo de opções e se os fluxos ficam fixos ou são recalculados. Para comparar valores em moeda, alinhe também o tamanho da posição e a moeda. Se alguma entrada mudar, explique a diferença antes de comparar diretamente.

Sensibilidade do preço também não é retorno total esperado. Duration não inclui todos os fatores de retorno realizado, como cupons, reinvestimento, migração de crédito, mudanças de spread, custos de transação, impostos ou alterações na carteira. É uma sensibilidade condicionada a um ponto inicial e a um modelo. Confira a metodologia e a data-base da ficha do fundo ou da tela de análise; consulte o prospecto ou os documentos do título para os termos contratuais. Duration baixa não quer dizer risco total baixo nem prevê perdas futuras. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}