Retornos aritméticos versus geométricos: por que uma média de 10% não é crescimento de 10%

Use períodos consecutivos de mesma duração para o mesmo investimento ou carteira. Trabalhe em uma única moeda, com valor inicial positivo e sem fluxos de caixa externos. Informe se a renda é reinvestida e se os retornos incluem custos

Escreva cada retorno de período como um decimal r: 40% vira 0.40 e uma perda de 20% vira −0.20. Seu fator de crescimento é 1 + r, e não o próprio r

Média aritmética = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Ela descreve o retorno médio observado de um único período. Não reconstrói o saldo final de uma conta mantida continuamente investida

Para períodos consecutivos, multiplique os fatores de crescimento: retorno acumulado = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1

Mantenha retorno de preço e retorno total consistentes ao longo de toda a série. Alternar entre eles no meio da série cria um problema diferente daquele de escolher uma média

Considere dois anos completos e 10,000 unidades de uma mesma moeda que não muda. Os retornos hipotéticos são de +40% no primeiro ano e −20% no segundo. Não há taxas, distribuições, depósitos ou saques

Capitalizar a média aritmética daria, em vez disso, 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Esses 900 adicionais nunca apareceram nessa conta; pertencem a uma trajetória de retornos diferente

O exemplo é aritmética original, não um backtest, resultado de investimento real ou previsão. O símbolo da moeda não mudaria os percentuais

• Início: 10,000.
• Depois do primeiro ano: 10,000 × 1.40 = 14,000.
• Depois do segundo ano: 14,000 × 0.80 = 11,200.
• Média aritmética: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% ao ano.
• Retorno acumulado: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% em dois anos.

O retorno geométrico é a taxa constante por período g que reproduz o fator de crescimento real: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)

Assim, g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Extraia a raiz n-ésima do produto dos fatores de crescimento, não dos percentuais de retorno

No exemplo de dois anos, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% ao ano. Usando a taxa não arredondada, 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200

Quando os períodos são anos, esse retorno geométrico é igual à taxa composta de crescimento anual, ou CAGR. Sem fluxos externos, CAGR = (valor final ÷ valor inicial)^(1/t) − 1, em que t é o tempo transcorrido em anos

Um exemplo separado cresce de 10,000 para 15,000 ao longo de cinco anos. O ganho total é de 50%, mas o CAGR é (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, e não 50% ÷ 5 = 10%

[A explicação da FINRA sobre retorno anualizado](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) também diferencia a anualização composta de dividir um ganho total pelos anos

Dois anos de +10% e +10% têm a mesma média aritmética que +40% e −20%. Ainda assim, 10,000 crescem para 12,100 no primeiro caso e para 11,200 no segundo

Para fatores de crescimento positivos, a média geométrica não é maior que a média aritmética. Elas são iguais quando o retorno de cada período é o mesmo. Aplique essa afirmação às mesmas observações, não a fundos sem relação entre si

A diferença não é uma comissão adicional a ser subtraída do saldo. O valor final capitalizado já reflete os retornos. A comparação também não prova que todo investimento de menor volatilidade necessariamente superará outro

[A discussão do CFA Institute sobre as duas médias](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) explica por que a capitalização é um produto, e não uma soma

Reordenar esse par fixo de retornos deixa o produto inalterado quando não há fluxos de caixa. Ainda assim, pode mudar a trajetória e os drawdowns observados

Uma média geométrica de observações mensais é uma taxa mensal. Se doze meses consecutivos tiverem retorno exatamente de 1%, o crescimento anual será (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, e não 12%

Esse exemplo especifica todos os doze meses. Anualizar um único mês observado de 1% descreveria uma repetição hipotética, não o desempenho realizado de um ano nem uma previsão

Para intervalos de observação desiguais, uma média geométrica por observação não é automaticamente uma taxa anual. Use os anos efetivamente transcorridos para um CAGR válido entre os pontos inicial e final e informe a convenção de contagem de dias para anos parciais

Um número anualizado suaviza os pontos inicial e final. Ele não diz que a conta ganhou essa taxa em todos os anos nem evita grandes perdas intermediárias

Suponha que 100 sejam investidos no ativo A e 900 no ativo B durante o mesmo período. A ganha 50%, enquanto B perde 10%. Seus valores finais são 150 e 810, totalizando 960

O retorno da carteira é (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. De forma equivalente, os pesos iniciais dão 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%

A média não ponderada de +50% e −10% é +20%, ignorando a alocação. Multiplicar 1.50 por 0.90 também está errado aqui: essas posições coexistem, em vez de representarem dois períodos do mesmo capital

Depósitos e saques externos criam outro limite. Um saldo que sobe de 10,000 para 15,000 após um depósito de 5,000 não é necessariamente um ganho de investimento de 50%

[A metodologia da GIPS para fluxos de caixa](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) diferencia o desempenho ponderado pelo tempo dos retornos que refletem o momento e o tamanho dos fluxos de caixa

Um ganho percentual sobre um pequeno prêmio de opção não é o mesmo que um ganho percentual sobre a conta inteira. Tamanhos de operações diferentes, posições sobrepostas e dinheiro parado impedem a multiplicação casual de retornos por operação

[O guia da OIC sobre alavancagem](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) explica por que os prêmios de opções podem mostrar ganhos e perdas percentuais ampliados

Para futuros, a margem depositada é uma garantia, não o preço de compra da exposição. Mudar esse denominador não cria um novo retorno sobre o ativo subjacente

[A explicação do CME sobre margem](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) identifica o que esses recursos representam

Use denominadores de retorno de futuros para comparar operações e avaliações consistentes da conta inteira para a capitalização da carteira. Inclua posições abertas e conte cada custo uma única vez

Comece pela pergunta declarada: média de observações, crescimento de um investimento ou retorno de uma carteira com posições simultâneas. Cada caso exige um cálculo diferente

As fórmulas com fatores positivos pressupõem que cada retorno seja maior que −100%. Em uma perda total, não resta capital para capitalizar. Patrimônio líquido negativo exige análise de fluxos de caixa e passivos, não uma comparação normal de CAGR [!TRYMARK] Auditoria de retorno médio do TryMark Na próxima revisão de desempenho, vá até o valor final informado. Reconstrua-o a partir dos retornos datados da conta e confira novamente o resultado quando custos, premissas de reinvestimento ou fluxos de caixa externos mudarem [!WARNING] Uma média histórica não promete crescimento repetível Nem a média aritmética nem a geométrica estabelecem o retorno do próximo ano. Um ganho maior necessário ou um CAGR suave não justifica mais alavancagem. Estes exemplos explicam uma medição, não são uma recomendação de investimento

• Registre datas, duração dos períodos, moeda e valores inicial e final.
• Identifique renda, reinvestimento, taxas e depósitos ou saques externos.
• Reconstrua o valor final a partir dos fatores de crescimento sucessivos antes de anualizar.
• Rotule separadamente média aritmética, retorno acumulado, retorno geométrico do período e CAGR.