Model Hestona i stochastyczna zmienność — wyjaśnienie

Model Blacka–Scholesa wykorzystuje jedną stałą zmienność przez cały okres życia kontraktu. Rynkowe ceny opcji implikują natomiast różne zmienności w zależności od kursu wykonania, terminu wygaśnięcia i czasu

Modele zmienności stochastycznej traktują wariancję jako kolejną losową zmienną stanu. Jutrzejsza niepewność zależy zarówno od poziomu aktywa, jak i od wariancji osiągniętej na ścieżce

Dodaje to realistyczną dynamikę, ale także niebędące przedmiotem obrotu źródło ryzyka. Pełna wycena wymaga założeń dotyczących sposobu wyceny ryzyka wariancji

Dyfuzja aktywa wykorzystuje √vₜ jako chwilową zmienność. Wariancja podąża za dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ względem wybranej miary wyceny

Bieżąca wariancja v₀ ustala punkt początkowy. Theta to długookresowy poziom wariancji, kappa to szybkość powrotu do średniej, a xi to zmienność wariancji

Człon pierwiastkowy skaluje wstrząsy wariancji bieżącym stanem. Parametry są wyrażone w jednostkach wariancji, więc theta nie należy odczytywać bezpośrednio jako procentowej zmienności

Gdy wariancja jest powyżej theta, dryf ściąga ją w dół; poniżej theta dryf podciąga ją w górę. Kappa kontroluje szybkość tego oddziaływania

Szybki powrót do średniej sprawia, że bieżący szok ma większe znaczenie dla krótkich terminów niż dla odległych. Powolny powrót rozkłada jego wpływ dalej wzdłuż struktury terminowej

Kappa i theta mogą wzajemnie się kompensować podczas kalibracji. Wiarygodne dopasowanie krzywej nie gwarantuje, że którykolwiek z tych parametrów jest precyzyjnie zidentyfikowany

Wstrząsy Browna dla ceny spot i wariancji mają korelację rho. Ujemne rho oznacza, że ujemne wstrząsy spot mają tendencję do współwystępowania z dodatnimi wstrząsami wariancji

Ten kanał podobny do efektu dźwigni pomaga wytworzyć ujemną skośność dla akcji: spadek spot i wzrost wariancji wzajemnie wzmacniają wartość opcji spadkowych

Rho nie jest historyczną korelacją między stopami zwrotu a notowaną serią IV. Jest chwilowym parametrem modelu względem wybranej miary i kalibracji

Xi kontroluje losowość wariancji. Wyższe xi poszerza rozkład przyszłej wariancji i może zwiększać krzywiznę między kursami wykonania i terminami

Jego wpływ współdziała z rho, kappa, theta i v₀. Jeden parametr nie przekłada się w prosty sposób na jedną widoczną cechę powierzchni zmienności implikowanej

Warunek Fellera 2κθ ≥ ξ² jest wystarczającym warunkiem ściśle dodatniej wariancji w procesie idealnym, ale implementacja i dyskretyzacja nadal mają znaczenie

Kalibracja wybiera parametry minimalizujące błędy między cenami opcji modelu a cenami rynkowymi lub zmiennościami implikowanymi dla wybranej siatki

Wyniki zależą od wag funkcji celu, sposobu traktowania spreadu bid–ask, terminów zapadalności, kursów wykonania, ograniczeń, optymalizatora, stóp, dywidend i wyborów dotyczących całkowania numerycznego

Kilka zbiorów parametrów może dopasować się podobnie. Należy podawać błędy cenowe i stabilność parametrów oraz testować skalibrowany model na kontraktach niewykorzystanych podczas dopasowania

Podstawowy model Hestona ma ciągłe ścieżki, jeden czynnik wariancji i stałe parametry. Rynki rzeczywiste mogą skakać, zmieniać reżimy, przenosić zdarzenia i inaczej poruszać skośnością

Dalekie skrzydła i bardzo krótkie terminy mogą ujawnić brak skoków. Długie terminy mogą wskazywać niestabilny powrót do średniej lub potrzebę użycia wielu czynników

Używaj Hestona jako spójnego silnika scenariuszy, a nie dowodu istnienia prawdziwego procesu. Stresuj skoki, parametry, ruchy powierzchni, płynność i błąd zabezpieczenia poza dopasowanym modelem