Stopy par, spot i forward: co pokazuje krzywa dochodowości

Krzywą obligacji buduje się na podstawie cen lub rentowności papierów o różnych terminach płatności i zapadalności. Cena rynkowa obligacji kuponowej sprowadza wiele przyszłych przepływów pieniężnych do jednej rentowności do wykupu. Stopa spot zero-coupon wycenia jedną płatność w określonym dniu. Stopa forward opisuje stopę dla okresu rozpoczynającego się później. Miary te wynikają z tych samych zależności dyskontowych, ale podsumowują różne pytania dotyczące przepływów pieniężnych.

Jeśli ekran pokazuje „rentowność dwuletnią”, może chodzić o rentowność konkretnego dwuletniego Treasury Note, punkt stałej zapadalności odczytany z dopasowanej krzywej par, stopę spot zero-coupon albo forward rozpoczynający się w przyszłym terminie. Sama etykieta zapadalności nie identyfikuje miary. Sprawdź źródło krzywej, instrument, konwencję kapitalizacji oraz to, czy dana liczba oznacza bieżącą rentowność papieru, stopę par, stopę zero czy stopę dla przyszłego okresu.

Trzy praktyczne pytania pomagają rozdzielić te pojęcia: jaka stopa dyskontuje jedną płatność w określonym dniu? Jaki kupon sprawiłby, że obligacja byłaby notowana po wartości nominalnej? Jaka stopa dla późniejszego okresu zrównałaby dwie ścieżki inwestycji o tym samym początku i końcu? To odpowiednio pytania o stopy spot, par i forward.

Stopa spot, nazywana też stopą zero-coupon dla odpowiedniej zapadalności, służy do dyskontowania jednej płatności przypadającej w tym terminie. Jeśli hipotetyczne dwuletnie roszczenie zero-coupon wypłaca 100 USD pod koniec drugiego roku, a jego roczna efektywna stopa spot wynosi 4%, to przy uproszczonej konwencji jego dzisiejsza wartość wynosi 100 USD ÷ (1,04)², czyli około 92,46 USD. W tym przepływie nie ma pośrednich kuponów do zdyskontowania.

Współczynnik dyskontowy wyraża tę samą relację bez annualizowania rentowności. Niech DF(T) oznacza dzisiejszą wartość 1 USD otrzymanego w chwili T. Przy kapitalizacji rocznej DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, gdzie z(T) jest stopą spot dla zapadalności T wyrażonej w latach. Przepływ pieniężny C płatny w terminie T jest wart C × DF(T), przed uwzględnieniem korekt o inne ryzyka lub konwencje. Współczynnik dyskontowy bywa bardziej bezpośrednim elementem wyceny, ponieważ można go osobno zastosować do każdej płatności w konkretnym dniu.

Obligacja kuponowa ma płatności w kilku terminach, dlatego zazwyczaj potrzebuje współczynników dyskontowych dla każdej daty płatności. Dyskontowanie wszystkich kuponów jedną rentownością do wykupu jest użytecznym skrótem tylko przy określonych konwencjach YTM; nie jest tym samym co dyskontowanie każdego przepływu wzdłuż krzywej spot. Różnica ma znaczenie, gdy krzywa jest nachylona, daty przepływów są nieregularne albo dwie obligacje o różnych kuponach mają zbliżone końcowe terminy zapadalności.

Rentowność par to stopa kuponu, przy której teoretyczna obligacja kuponowa jest warta tyle, ile jej wartość nominalna, przy danych współczynnikach dyskontowych krzywej i założonych terminach płatności. W przypadku obligacji o wartości nominalnej 100 USD, płacącej kupon raz w roku od roku 1 do T, kupon par c spełnia równanie: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). Przy płatnościach półrocznych lub nieregularnych uwzględnia się także upływającą część okresu kuponowego i odpowiadające jej daty dyskontowania.

Ta definicja odróżnia rentowność par od kuponu i rentowności do wykupu istniejącej obligacji. Kupon wyemitowanego papieru określają jego warunki; rentowność rynkowa zmienia się wraz z ceną. Rentowność par to natomiast kupon wyprowadzony z krzywej dla teoretycznej nowej obligacji wycenianej po wartości nominalnej. Departament Skarbu USA opisuje publikowaną krzywą jako dopasowaną krzywą rentowności par opartą na orientacyjnych kwotowaniach bid, a nie listę cen transakcyjnych teoretycznych obligacji par. Metoda przekształca ceny rynkowe w rentowności, bootstrapuje stopy forward w wejściowych terminach zapadalności, a następnie interpoluje krzywą, która odtwarza ceny wejściowe z niewielkim błędem. Metodologia krzywej Treasury opisuje tę konstrukcję.

Rentowność par pomaga porównywać hipotetyczne papiery kuponowe o wybranej zapadalności przy użyciu spójnej krzywej. Nie oznacza, że istniejąca obligacja o tej samej zapadalności wypłaca taki kupon, i nie obejmuje płynności, opodatkowania, opcji wbudowanych ani warunków rozliczenia konkretnego papieru. Dla jednej określonej obligacji użyj jej faktycznej ceny, dat kuponowych, warunków wykupu i właściwej konwencji obliczania rentowności.

Stopa forward to stopa implikowana przez dzisiejsze ceny dla pożyczania lub inwestowania w przyszłym okresie. Można ją wyprowadzić, pytając, jaka stopa okresowa sprawia, że dwie ścieżki inwestycji o tych samych datach rozpoczęcia i zakończenia dają tę samą kwotę końcową. W uproszczonym modelu bez arbitrażu z kapitalizacją roczną stopa roczna rozpoczynająca się za rok wynosi:

Stopa forward od roku 1 do roku 2 = [(1 + dwuletnia stopa spot)² ÷ (1 + roczna stopa spot)] − 1.

Jeśli inwestycja 1 USD na dwa lata przy dwuletniej stopie spot daje inną kwotę niż inwestycja na rok przy rocznej stopie spot, a następnie reinwestycja na drugi rok przy stopie forward, inwestor mógłby teoretycznie wybrać korzystniejszą ścieżkę. Na rzeczywistych rynkach stopy pożyczek i depozytów, koszty transakcyjne, zabezpieczenia, podatki, jakość kredytowa i konwencje instrumentów sprawiają, że takie podręcznikowe odtworzenie nie jest dokładne dla każdego uczestnika. Wzór pomaga zrozumieć wewnętrzną zależność cenową krzywej, ale nie obiecuje stopy, którą można zawrzeć transakcję w dowolnej kwocie.

Na przykład, jeśli roczna efektywna stopa spot dla jednego roku wynosi 3%, a dla dwóch lat 4%, inwestycja dwuletnia jest mnożona przez (1.04)² = 1.0816. Alternatywna ścieżka mnoży kwotę inwestycji przez 1.03 w pierwszym roku. Implikowany czynnik wzrostu w drugim roku to zatem 1.0816 ÷ 1.03 = 1.050097, co oznacza roczną stopę forward dla drugiego roku około 5.01%. Dwuletnia stopa spot wynosi 4%, a stopa forward dla ostatniego roku około 5.01%; to różne miary tej samej krzywej.

Załóżmy całkowicie hipotetyczną krzywą zero przy rocznej efektywnej kapitalizacji: roczna stopa spot wynosi 3%, a dwuletnia 4%. Współczynniki dyskontowe to DF(1) = 1 ÷ 1.03 = 0.970874 i DF(2) = 1 ÷ (1.04)² = 0.924556. Płatność zero-coupon w wysokości 100 USD pod koniec pierwszego roku jest dziś warta około 97,09 USD; ta sama kwota płatna pod koniec drugiego roku jest warta około 92,46 USD. Każda stopa spot dyskontuje jedną płatność końcową w swoim terminie.

Teraz sprawdźmy, jaki kupon roczny sprawia, że hipotetyczna dwuletnia obligacja o wartości nominalnej 100 USD jest dokładnie warta 100 USD, przy kuponie płaconym na koniec każdego roku. Równanie ma postać $100 = c × 0.970874 + ($100 + c) × 0.924556. Rozwiązanie to c ≈ 3.9803 USD, czyli stopa kuponu par około 3.98%. Dwuletnia rentowność par jest nieco niższa od dwuletniej stopy spot zero 4%, ponieważ obligacja par wypłaca część wartości wcześniej, pod koniec pierwszego roku, a ten kupon jest dyskontowany niższą roczną stopą spot.

Implikowana roczna stopa forward od pierwszego do drugiego roku wynosi około 5.01%, jak obliczono wyżej. Trzy stopy odpowiadają więc na różne pytania: 4% dyskontuje pojedynczą płatność pod koniec drugiego roku; 3.98% to kupon hipotetycznej dwuletniej obligacji wycenionej po par; a 5.01% to stopa implikowana przez krzywą dla drugiego roku przy kapitalizacji rocznej. Liczby zaokrąglono na potrzeby prezentacji; obliczenia używają niezaokrąglonych współczynników dyskontowych. Są to wymyślone dane wejściowe, a nie obserwacja rynkowa ani bieżące kwotowanie Treasury.

Stopa forward wynika matematycznie z bieżących cen instrumentów przy wybranych założeniach dotyczących krzywej i kapitalizacji. Nie jest równa krótkiej stopie, która faktycznie będzie obowiązywać w przyszłym okresie. Można ją interpretować jako implikowaną przez rynek stopę break-even lub, przy dodatkowych założeniach, jako przybliżony sygnał oczekiwanych krótkich stóp. Może też zawierać wynagrodzenie za ponoszenie ryzyka stopy procentowej, inflacji i innych ryzyk.

Analiza Federal Reserve opisuje stopę forward jako wskaźnik oczekiwanej przyszłej stopy krótkoterminowej powiększonej o premię terminową. Tego dokładnego podziału nie da się bezpośrednio zaobserwować z jednej krzywej; zależy on od modelu lub dodatkowych danych, takich jak ankiety czy szacunki premii terminowej. Omówienie spreadów forward przez Federal Reserve pokazuje, dlaczego implikowana stopa forward może zawierać zarówno informacje o oczekiwaniach dotyczących polityki, jak i premię za ryzyko. Różne horyzonty i metody estymacji mogą prowadzić do różnych wniosków.

Nawet jeśli stopa forward jest użytecznym sygnałem rynkowym, zrealizowana stopa może być inna. Zmienić mogą się przyszłe decyzje banków centralnych, inflacja, wzrost, apetyt na ryzyko oraz podaż lub popyt na duration. Nie traktuj wysokiej implikowanej stopy forward jako obietnicy, że krótkoterminowy koszt finansowania osiągnie ten poziom, ani jako samodzielnej instrukcji transakcyjnej. Departament Skarbu ostrzega, że jego serie par i constant maturity opisują zaobserwowane warunki rynkowe, a nie prognozują przyszłych stóp.

Dzienna stopa Constant Maturity Treasury (CMT) jest odczytywana z punktu na dopasowanej krzywej rentowności par. Nie musi być rentownością konkretnego papieru Treasury zapadającego dokładnie w tym terminie i nie jest stopą spot zero-coupon. Departament Skarbu podaje, że dzienna krzywa par korzysta z orientacyjnych kwotowań bid dla papierów sprzedanych na ostatnich aukcjach, zebranych około 15:30 czasu wschodniego, oraz z metody krzywej monotone-convex. Punkty powstają na podstawie danych rynkowych; dokładna zapadalność CMT to odczyt z krzywej, a nie identyfikator papieru.

Skarb Państwa stwierdza również, że stopy CMT to rentowności bond-equivalent dla papierów wypłacających kupony co pół roku. Są to proste kwotowania annualizowane, a nie efektywne stopy roczne ani APY. Zgodnie z konwencją Treasury rentowność bond-equivalent 8.00% odpowiada efektywnej stopie rocznej 8.16% po kapitalizacji półrocznej. Agencja nie publikuje w tej tabeli CMT dziennej krzywej zero-coupon. Oddzielne zasoby Treasury Coupon Issues zawierają historyczne zestawy danych krzywych spot, par i forward w częstotliwości miesięcznej, kwartalnej lub na koniec miesiąca. FAQ Departamentu Skarbu dotyczące stóp procentowych wyjaśnia te różnice.

Znaczenie ma również metoda budowy krzywej. Obecna krzywa par Treasury interpoluje stopy forward wyprowadzone metodą bootstrap; inny dostawca może użyć innych danych, wygładzania lub interpolacji i uzyskać nieco inną krzywą. Wyprowadzona stopa spot lub forward jest więc powiązana z konstrukcją krzywej i konwencją kwotowania. Może być wewnętrznie spójna i użyteczna, nie będąc odrębnym papierem Treasury notowanym na rynku.

Aby wycenić obiecane przepływy pieniężne, zdyskontuj każdą płatność w jej terminie współczynnikiem dyskontowym z krzywej odpowiedniej dla papieru i daty wyceny. Krzywa spot zero-coupon ma odzwierciedlać wartość pieniądza w czasie dla każdego terminu płatności; ryzyko kredytowe, płynnościowe, podatkowe i opcyjne może wymagać dodatkowych korekt. Nie dyskontuj każdego kuponu jedną stopą dla całej zapadalności, chyba że celowo stosujesz metodę YTM.

Do porównania kuponu hipotetycznej nowej emisji po par użyj odpowiedniej rentowności par i częstotliwości płatności kuponu. Opisując rentowność istniejącego benchmarku Treasury, wskaż, czy chodzi o konkretną obligację, czy punkt krzywej CMT. Do analizy stopy implikowanej przez rynek dla przyszłego okresu użyj forward, podając datę rozpoczęcia, zakończenia, kapitalizację i źródło krzywej. Do porównania oczekiwanych stóp krótkoterminowych z premią terminową sama stopa forward nie wystarczy; potrzebny jest model lub miara z ankiety.

Te rozróżnienia wyjaśniają też, dlaczego wykres krzywej dochodowości może wyglądać inaczej niż wrażliwość ceny obligacji na zmiany krzywej. O tym, jak portfel obligacji reaguje na ruchy krzywej w wybranych terminach, przeczytaj w materiale o key-rate duration i ryzyku krzywej dochodowości. O wkładzie szacunków premii terminowej w długoterminowe rentowności przeczytaj w materiale o premii terminowej Treasury i szacunkach modelowych. Porównanie kuponu, bieżącej rentowności i YTM jednego papieru opisuje artykuł oprocentowanie kuponowe obligacji a bieżąca rentowność i YTM.

Najpierw zapisz rodzaj i źródło krzywej. Czy dane wejściowe to rentowność do wykupu jednego papieru, punkt par Treasury CMT, szacowana stopa spot czy stopa forward dla okresu? Następnie sprawdź, czy stopy są nominalne czy realne, efektywne rocznie czy bond-equivalent oraz czy opierają się na płatnościach rocznych, półrocznych czy o innej częstotliwości. Porównanie liczb może być odwrócone lub mylące, jeśli różnią się okresy albo konwencje kapitalizacji.

Potem dopasuj przepływy pieniężne i daty. Kupon par zależy od założonych dat kuponowych; spotowy współczynnik dyskontowy od czasu do każdej płatności; obliczenie forward od dokładnego okresu początkowego i końcowego. W praktycznej krzywej wynik zależy też od konwencji liczby dni, dni wolnych, opóźnienia rozliczenia, narosłych odsetek i interpolacji między kwotowanymi zapadalnościami. Różnica kilku punktów bazowych może wynikać z innej konwencji lub godziny odcięcia danych, a nie z istotnej rozbieżności opinii o przyszłości.

Na koniec oddziel obliczenie krzywej od własnego wniosku. Stopy par, spot i forward to powiązane sposoby podsumowania cen, a nie wymienne prognozy. Krzywa może pokazać dyskontowanie implikowane przez bieżące kwotowania i względną wycenę w różnych terminach zapadalności. Sama nie wyznacza jednak przyszłej ścieżki polityki, nie dowodzi, że obligacja jest tania lub droga, ani nie określa, ile faktycznie zapłaci kredytobiorca po uwzględnieniu spreadów kredytowych, opłat i warunków.

Źródła: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.