Martyngały w wycenie opcji — wyjaśnienie

Niech Mₜ będzie procesem, a Fₜ informacją dostępną w czasie t. Martyngał spełnia E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ dla każdego późniejszego czasu u, przy warunkach całkowalności

Warunkowanie jest kluczowe. Prognoza wykorzystuje wszystko, co już wiadomo, a nie tylko bezwarunkową średnią długoterminową

Definicja zawsze wskazuje miarę prawdopodobieństwa i filtrację informacji. Proces może być martyngałem względem jednej miary, ale nie względem innej

Gra fair nie oznacza, że następna wartość jest równa bieżącej. Oznacza, że dodatnie i ujemne zmiany warunkowe równoważą się w oczekiwaniu

Duże skoki, szerokie rozkłady i niepewność zależna od ścieżki są zgodne z własnością martyngału, jeśli istnieją wymagane oczekiwania

Martyngał nie oznacza również niezależnych przyrostów. Zależność może pozostać, o ile utrzymuje się ograniczenie średniej warunkowej

Aktywo zbywalne zwykle ma carry, dywidendy albo wpływ finansowania, więc jego niedyskontowana cena nie musi być martyngałem względem miary wyceny

Podziel wartość całkowitego zwrotu przez wybrany numeraire, taki jak rachunek rynku pieniężnego. Przy odpowiednich założeniach braku arbitrażu proces zdyskontowany staje się martyngałem

Zmiana numeraire zmienia powiązaną miarę i to, które ceny względne są martyngałami. Jednostka rozliczeniowa jest częścią tego stwierdzenia

Dla odtwarzalnej wypłaty H w czasie T jej dzisiejsza zdyskontowana wartość równa się warunkowemu oczekiwaniu zdyskontowanej wypłaty względem miary wyceny

To nie jest uśrednianie według historycznych częstości. Miarę wybiera się tak, aby zdyskontowane ceny aktywów zbywalnych były zgodne z brakiem arbitrażu

Wzór kondensuje dynamiczny argument replikacji. Nie usuwa założeń dotyczących handlu, stanów modelu, dywidend ani finansowania

Wybierz wagi wyceny wzrostu i spadku tak, aby oczekiwana następna wartość zdyskontowanego instrumentu bazowego była równa jego bieżącej zdyskontowanej wartości

Zastosuj te same wagi do wartości opcji w następnym węźle i dyskontuj wstecz. Powtarzanie tego kroku daje cenę w korzeniu

Prawdopodobieństwo neutralne względem ryzyka w drzewie jest zatem wagą martyngału. Nie jest twierdzeniem, że rzeczywista akcja ma zerową oczekiwaną nadwyżkową stopę zwrotu

Submartyngał ma warunkową oczekiwaną przyszłą wartość co najmniej tak dużą jak bieżąca; supermartyngał ma ją co najwyżej tak dużą

Pojęcia te pojawiają się przy ograniczeniach, konsumpcji, wykonaniu amerykańskim i superzabezpieczaniu, gdzie dokładne równanie może zostać zastąpione ograniczeniem jednostronnym

Sam prefiks nie prognozuje zbywalnego zysku. Miara, dyskontowanie, dopuszczalność i całkowalność nadal kontrolują interpretację

Kusi myśl, że każda zasada zatrzymania uczciwej gry zachowuje jej oczekiwanie. Twierdzenia o zatrzymaniu opcjonalnym wymagają ograniczoności, całkowalności lub powiązanych warunków

Strategie podwajania mogą naruszać dopuszczalność albo wymagać nieograniczonego kapitału. Nie tworzą praktycznego arbitrażu na podstawie definicji martyngału

Problemy zatrzymania opcji amerykańskich używają starannie zdefiniowanych czasów wykonania i procesów wartości, a nie nieograniczonej obietnicy, że czas nie może mieć znaczenia

Obserwowane ceny obejmują spready, nieaktualne kwotowania, ograniczenia i handel dyskretny. Martyngał modelowy jest stwierdzeniem obowiązującym w określonych idealizacjach

Ścisłe martyngały lokalne, bańki, nieograniczone roszczenia i problemy istnienia miary pokazują, dlaczego nie zawsze można pomijać warunki techniczne

Przed zastosowaniem wzoru martyngału określ proces, miarę, numeraire, filtrację, całkowalność wypłaty i dostępne strategie handlowe